1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置.
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，
用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上
無效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是
符合題目要求的.
1. 若集合 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由交集的運(yùn)算可得.
【詳解】由題意可得 ，
所以 .
故選：B.
2. 若復(fù)數(shù) ，則 （ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分別求得 ， ，然后得到結(jié)果.
【詳解】 ， ，
∴ ，
故選：C
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3. 已知 ，點(diǎn) D 滿足 ，則 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由圖形結(jié)合向量的加法法則可得.
【詳解】
.
故選：B
4. 圓臺的上、下底面半徑分別為 2 和 4，一個球與該圓臺的兩個底面和側(cè)面均相切，則這個球的表面積為
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知作圖，然后得到其軸截面，根據(jù)題意得到線段長，由切線長得到圓臺母線長，由等腰梯形
求得梯形的高，即可得到求得半徑，然后得到表面積.
【詳解】如圖，
則該幾何體的軸截面如下：
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所以 ， ，
∵ 與圓 相切，點(diǎn) 切點(diǎn)，
∴ ，
過點(diǎn) 作 與點(diǎn) ，
∴ ，∴ ，則 ，
即球的半徑 ，∴這個球的表面積 ，
故選：D.
5. 已知實(shí)數(shù) ，則使 和 最小的實(shí)數(shù) 分別為 的（ ）
A. 中位數(shù)；平均數(shù) B. 中位數(shù)；中位數(shù)
C. 平均數(shù)；平均數(shù) D. 平均數(shù)；中位數(shù)
【答案】A
【解析】
【分析】結(jié)合絕對值的幾何意義和二次函數(shù)，根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的定義判斷即可.
【詳解】 ，表示 11 個絕對值之和，
根據(jù)絕對值的幾何意義知，絕對值的和的最小值表示距離和的最小值，
因?yàn)?11 為奇數(shù)，所以 取 的中位數(shù)時， 有最小值；
為關(guān)于 的
一元二次函數(shù)，
第 3頁/共 22頁
故當(dāng) 時， 有最小值，
即 為 的平均數(shù)時， 有最小值.
故選：A
6. 已知雙曲線 ，作垂直于 x 軸的垂線交雙曲線于 兩點(diǎn)，作垂直于 y 軸的垂線交雙曲線于
兩點(diǎn)，且 ，兩垂線相交于點(diǎn) ，則點(diǎn) 的軌跡方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題目條件建立方程化簡即可求解.
【詳解】設(shè) ，
則 ，
則由 得： ，
化簡得： ，
即 點(diǎn)的軌跡是 ，
故選：C
7. 若 ，若 為偶函數(shù)，則 （ ）
A. B. C. 0 D. 2
【答案】A
【解析】
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【分析】先令 解得 的值，再利用定義檢驗(yàn) 為偶函數(shù).
【詳解】 ，
，
若 為偶函數(shù)，則 ，
左右兩邊同時乘以 得， ，即 ，
得 ，解得 ；
檢驗(yàn)：當(dāng) 時， ，
，則 ，故 為偶函數(shù).
故選：A
8. 設(shè)函數(shù) ，若 恒成立，則 的最小值為（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】找到 的零點(diǎn)可得 ，構(gòu)造函數(shù) ，由導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性找到最小值即可.
【詳解】當(dāng) 時， ，不滿足 恒成立；
當(dāng) 時，令 ，可得 或 ，
函數(shù) 的零點(diǎn)為 和 ，
因?yàn)?恒成立，所以 ，
所以 ，
令 ，則 ，
令 ，
所以當(dāng) 時， ， 單調(diào)遞減；
當(dāng) 時， ， 單調(diào)遞增，
第 5頁/共 22頁
則 ，
所以 的最小值為 1.
故選：D
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目
要求.全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分.
9. 下列函數(shù)中同時滿足：①在 上是增函數(shù)；②最小正周期為 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式結(jié)合函數(shù)圖像變換的規(guī)則逐個選項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對于選項(xiàng) A， 在 上是增函數(shù)，但不具有周期性，
不合題意，A 錯誤；
對于選項(xiàng) B， 在 上是增函數(shù)，最小正周期為 ，
符合題意，B 正確；
對于選項(xiàng) C， ，最小正周期為 ，但在 上是減函數(shù)，
不符合題意，C 錯誤；
對于 D 選項(xiàng)， 在 上是增函數(shù)，最小正周期為 ，符合題意，
D 正確.
故選：BD
10. 已知函數(shù) ，則（ ）
A. 有兩個零點(diǎn) B. 在 上是增函數(shù)
C. 有極小值 D. 若 ，
【答案】BCD
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【解析】
【分析】令 ，得到出方程解的個數(shù)，然后判斷 A 選項(xiàng)；對函數(shù) 求導(dǎo)，然后得到函數(shù)的遞增
區(qū)間，判斷 B 選項(xiàng)；由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到函數(shù)的極值判斷 C 選項(xiàng)；構(gòu)造函數(shù) ，由
導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù) 的單調(diào)性，從而求出當(dāng) 時， 的最小值，即能判斷 D 選項(xiàng).
【詳解】令 ，即 ，∵ ，∴只有一個解 ，即函數(shù) 有一個零點(diǎn)，A 選項(xiàng)錯
誤;
，令 ， ，∵ ，∴ ，∴ 在 上是增函數(shù)，
B 選項(xiàng)正確；
在 上單調(diào)減，在 上單調(diào)遞增，∴函數(shù) 有極小值 ，C 選項(xiàng)正確；
令 ， ， ，
令 ，則 ， ， ，
∴當(dāng) 時， ，即 在 單調(diào)遞增，∴ ，
即 ， 在 單調(diào)遞增，∴ ，即 ，D 選項(xiàng)正確.
故選：BCD.
11. 已知點(diǎn) Q 在圓 上， ，動點(diǎn) 滿足：在 中，
．則（ ）
A. 記 的軌跡方程為軌跡： B. 的最大值為
C. 的最小值是 D. （點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最小值為 7
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)題意作出示意圖，設(shè)點(diǎn) 坐標(biāo)，然后表示出 ，即可建立方程，求得 的
軌跡方程，判斷 A 選項(xiàng)；設(shè)點(diǎn) 在一象限，化簡 ，由基本不等式求得 的最值，
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從而得到角的范圍，判斷 B 選項(xiàng)；由拋物線的性質(zhì)化簡得 ，由 的范圍求得結(jié)果
判斷 C 選項(xiàng)；由圖可知當(dāng) 在圓與 軸的左交點(diǎn)處時，此時 同時取最小，即可判斷 D 選項(xiàng).
【詳解】由題意可知 ，設(shè) ，過點(diǎn) 作 軸于點(diǎn) ，如圖：
則 ， ，
∴ ，即 ，∴ ，A 選項(xiàng)正確；
∵由對稱性可假設(shè)點(diǎn) 在一象限，則 ，∵
，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時取等號，
所以 ，∴ ，B 選項(xiàng)錯誤；
，∴ ，C 選項(xiàng)正確；
當(dāng) 在圓與 軸的左交點(diǎn)處時，此時 同時取最小， ，∴ 的
最小值為：7，D 選項(xiàng)正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 已知等比數(shù)列 中， ， ，則 ______.
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【答案】
【解析】
【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)和等比數(shù)列的性質(zhì)計算即可.
【詳解】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得 ，
設(shè)等比數(shù)列的公比為 ，
因?yàn)?，
所以 ，
故答案為：6.
13. 已知 ，則 _________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】由切化弦結(jié)合三角恒等變換和拆角可得.
【詳解】由 可得 ，
，
，
，
，
.
故答案為： .
14. 如圖 1，把一個圓分成 n（ ）個扇形，每個扇形用 k 種顏色之一染色，要求相鄰扇形不同色，有
種方法．
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如圖 2，有 4 種不同顏色的涂料，給圖中的 12 個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域的顏色不相同，則不同的涂色方
法共有_________種（用數(shù)字作答）
【答案】
【解析】
【分析】利用已知條件可計算 八個空格染色問題，剩下的可用分步分類計數(shù)即可.
【詳解】染色問題按以下步驟進(jìn)行：
第一步：給 染色有 4 種方法；
第二步：給 染色，
若 與 的顏色均不同，則可用顏色有 3 種，
根據(jù)已知條件可知： 種；
若 與 其中一個的顏色相同，則有 種方法；
若 與 兩個的顏色相同，則有 種方法
若 與 其中三個的顏色相同，則有 種方法；
若 與 顏色都相同，則有 種方法：
第三步：給 染色，因?yàn)?已經(jīng)染了色，所以分以下兩類:
當(dāng) 與 同色，給 染色有： 種；
當(dāng) 與 不同色，給 染色有： 種；
利用分類分步原理可得：總有： 種，
故答案為： .
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 心流是由心理學(xué)家米哈里提出的概念，指人們在進(jìn)行某項(xiàng)活動時，完全投入并享受其中的狀態(tài)．某中學(xué)
的學(xué)習(xí)研究小組設(shè)計創(chuàng)新性學(xué)習(xí)活動，用來研究學(xué)生在創(chuàng)新性學(xué)習(xí)活動中體驗(yàn)到心流是否與性別有關(guān)．若
從該班級中隨機(jī)抽取 1 名學(xué)生，設(shè) “抽取的學(xué)生在創(chuàng)新性學(xué)習(xí)活動中體驗(yàn)到心流”， “抽取的學(xué)生為
第 10頁/共 22頁
女生”， ．
（1）求 和 ，并解釋所求結(jié)果大小關(guān)系的實(shí)際意義；
（2）為進(jìn)一步驗(yàn)證（1）中的判斷，該研究小組用分層抽樣的方法在該地抽取了一個容量為 的
樣本，利用獨(dú)立性檢驗(yàn)，計算得 ．為提高檢驗(yàn)結(jié)論的可靠性，現(xiàn)將樣本容量調(diào)整為原來的
倍，使得能有 的把握肯定（1）中的判斷，試確定 k 的最小值．
參考公式及數(shù)據(jù)： ， ．
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
【答案】（1）答案見解析
（2）4
【解析】
【分析】（1）由對立事件的概率公式結(jié)合條件概率、全概率公式計算即可；實(shí)際意義由題干中結(jié)合所求概
率可得；
（2）完成列聯(lián)表，計算卡方可得.
【小問 1 詳解】
因?yàn)?，
所以由對立事件概率公式關(guān)系可得
代入 ，
所以 ，
由全概率公式可得 ，
即 ，
所以 .
說明學(xué)生在創(chuàng)新性學(xué)習(xí)活動中是否體驗(yàn)到心流與性別有關(guān).
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【小問 2 詳解】
完成列聯(lián)表如下：
學(xué)生體驗(yàn)到心流 學(xué)生未體驗(yàn)到心流 合計
男生
女生
總計
，
所以 ，所以 的最值小值為 4.
16. 在 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，滿足 ．
（1）求證： ；
（2）若 是銳角三角形，且角 A 的平分線交 BC 邊于 D，且 ，求邊 b 的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用正弦定理以及兩角和差的正弦公式化簡得到 ，再根據(jù)
角的范圍即可證明；
（2）根據(jù)三角形形狀及交的關(guān)系確定角 的范圍，在 中利用正弦定理求得 關(guān)于角 的表達(dá)式，
構(gòu)造函數(shù) ，利用函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
小問 1 詳解】
因?yàn)?，由正弦定理有： ，
所以 ，
，
，
，
第 12頁/共 22頁
因?yàn)?、 ，所以 ，
又因?yàn)?，所以 ，所以 ，
因?yàn)?，
所以有： ， ，或 ， （舍），
所以 得證.
【小問 2 詳解】
因?yàn)?是銳角三角形， ，所以 ，
所以 ，解得 ，
因?yàn)?為 的平分線，且 ，
所以 ，所以 ，
在 中， ， ，
由正弦定理有： ，即 ，
所以
，
因?yàn)?，所以 ，
令 ，則 ， ，
令 ， ，
根據(jù)函數(shù)解析式， 上單調(diào)遞減，
第 13頁/共 22頁
因?yàn)?， ，所以 ，
所以 .
17. 已知函數(shù) ．
（1）討論函數(shù) 在區(qū)間 上的單調(diào)性；
（2）證明：函數(shù) 在 上有兩個零點(diǎn)．
【答案】（1） 在 單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減．
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，即可根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求解，
（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可求解函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.
【小問 1 詳解】
由函數(shù) ，可得 ，
當(dāng) 時，令 ，可得 ，
故當(dāng) 時， ， 單調(diào)遞增；
當(dāng) 時， ， 單調(diào)遞減，
所以 在 單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減．
【小問 2 詳解】
，
則 ，
當(dāng) 時， 故 ，此時 在 單調(diào)遞增，
第 14頁/共 22頁
當(dāng) 時，記 ，則 ，
由于 ，則 故 ，因此 在 單調(diào)遞減，由于
，故存在唯一的 使得 ，
當(dāng) 單調(diào)遞增，當(dāng) 單調(diào)遞減，
綜上知： 在 單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減，
且 ，
因此 在 上有兩個零點(diǎn).
18. 如圖，在直三棱柱 中， ， ， 為 的中點(diǎn)． 的面積為
；請從條件①、②中選擇一個條件作為已知，并解答下面的問題：
條件①： ；條件②： 點(diǎn)到平面 的距離為 ．
（1）求平面 與平面 夾角的余弦值；
（2）點(diǎn) 是矩形 （包含邊界）內(nèi)任一點(diǎn)，且 ，求 與平面 所成角的正弦值的取值
范圍．
【答案】（1）
（2）
第 15頁/共 22頁
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件，確定底面三角形得邊長，再利用空間向量的方法求二
個平面所成角即可；
（2）根據(jù)已知條件分析確定點(diǎn) 的軌跡是以 為圓心， 為半徑的圓，設(shè)出點(diǎn) 坐標(biāo)，根據(jù)已知條件求
出 ，利用空間向量的方法求出 與平面 所成角的正弦值表達(dá)式，根據(jù) 范圍即可求解.
【小問 1 詳解】
根據(jù)題意建立如圖所示以 為坐標(biāo)原點(diǎn)，
、 、 為 、 、 軸的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè) ， ，
因?yàn)槿庵?為直三棱柱，所以側(cè)面 為矩形，
所以 為直角三角形， ，
因?yàn)槿龢侵?為直三棱柱，所以 平面 ，
平面 ，所以 ，又因?yàn)?，
平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 為直角三角形，因?yàn)?的面積為 ，
所以 ，
若選條件①： ，
， ， ， ， ，
第 16頁/共 22頁
， ，因?yàn)?，
所以 ，即 ，解得 ，
代入 ，解得 ，
所以 ， ， ， ，
， ，
設(shè)平面 的法向量為 ，
，所以 ，令 ，
解得 ，所以 ，
，設(shè)平面 的法向量為 ，
，所以 ，令 ，
解得 ，所以 ，
設(shè)平面 與平面 夾角為 ，
所以 ，
所以平面 與平面 夾角余弦值為： .
若選條件②： 點(diǎn)到平面 距離為 ，
， ， ， ，
第 17頁/共 22頁
， ， ，
設(shè)平面 的法向量為 ，
所以 ， ，令 ，
解得 ，所以 ，
因?yàn)?點(diǎn)到平面 的距離為 ，
所以 ，即 ，解得 ，
代入 ，解得 ，
所以 ， ， ， ，
， ，
設(shè)平面 的法向量為 ，
，所以 ，令 ，
解得 ，所以 ，
，設(shè)平面 的法向量為 ，
，所以 ，令 ，
解得 ，所以 ，
設(shè)平面 與平面 夾角為 ，
第 18頁/共 22頁
所以 ，
所以平面 與平面 夾角余弦值為： .
【小問 2 詳解】
取 中點(diǎn) ，連結(jié) 、 ，則 ，
因?yàn)?， ，所以 ，
在 ， ，所以 ， ，
平面 ， 平面 ，所以 ，
平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因?yàn)?平面 ， 平面 ，所以 ，
因?yàn)?， ，所以 ，
所以點(diǎn) 的軌跡是以 為圓心， 為半徑的圓，
設(shè) ，則 , ， ，
因?yàn)?， ，所以 ，
整理得： ，
由（1）知，平面 的法向量為 ，
設(shè) 與平面 的夾角為 ，則
第 19頁/共 22頁
，
因?yàn)?，所以 ，
所以 與平面 所成角的正弦值的取值范圍為 .
19. 已知曲線 ，當(dāng) 變化時得到一系列的橢圓，我們把它稱為“2~1橢圓群”．
（1）若“2~1 橢圓群”中的兩個橢圓 ，對應(yīng)的 分別為 ，如圖所示，直線
與橢圓 依次交于 M，N，P，Q 四點(diǎn)，證明： ．
（2）當(dāng) 時，直線 與橢圓 在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)分別為 ，設(shè)
．
（i）求證： 為等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式；
（ii）令數(shù)列 ，求證 ．
【答案】（1）證明見解析；
（2）（i）證明見解析， ；（ii）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理表示交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和，可發(fā)現(xiàn)線段 的中點(diǎn)與線段
中點(diǎn)重合，根據(jù)線段長度的減法可證得結(jié)論；
（2）（i）根據(jù)題意聯(lián)立方程組，求出點(diǎn) 和 的橫坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求得 ，即證得結(jié)
第 20頁/共 22頁
論并得到通項(xiàng)公式；（ii）由已知條件得到 ，利用放縮法構(gòu)造出新數(shù)列的不等式，利用裂項(xiàng)相消法求
前 項(xiàng)和即可證得結(jié)論.
【小問 1 詳解】
由題意，聯(lián)立方程 可得 ，
，即 ，
由圖可知，橢圓 與直線的交點(diǎn)為點(diǎn) ，設(shè) ，則 ，
同理，將 與直線聯(lián)立可得： ，
，即 ，
可得 ，則線段 的中點(diǎn)與線段 中點(diǎn)重合，設(shè)為點(diǎn) ，
即有 ，所以 ，即 .
【小問 2 詳解】
（i）由題意，聯(lián)立方程 可得 ，即 .
因?yàn)榻稽c(diǎn) 在第一象限內(nèi)，所以點(diǎn) 的橫坐標(biāo) ，同理可得點(diǎn) 的橫坐標(biāo) ，
則 .
所以，數(shù)列 是首項(xiàng)為 2，公比為 2 的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為 .
（ii）由（i）可知， ，則 .
設(shè) ，
設(shè) ，
由 時， ，可得 ，
第 21頁/共 22頁
，
即 .
，
即 得證.
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遼寧省大連市2023屆高三（一模）數(shù)學(xué)試題(含解析)

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遼寧省錦州市2023屆高三（一模）數(shù)學(xué)試題(含解析)

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