1.經(jīng)歷平方差公式的探索及推導(dǎo)過(guò)程，掌握平方差 公式的結(jié)構(gòu)特征.（重點(diǎn)）2.靈活應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算和解決實(shí)際問(wèn)題.（難點(diǎn)）
1. 由多項(xiàng)式乘法計(jì)算：
（1）(3m + 1)(3m － 1)； （2）(x + 2y)(x －2y).
解（1）(3m + 1)(3m － 1)
= 9m2 － 3m + 3m－1
= 9m2 －1
（2）(x + 2y)(x －2y)
= x2 － 2xy + 2xy－4y2
請(qǐng)你根據(jù)上面多項(xiàng)式乘法的規(guī)律概括出 (a + b)(a－b)的計(jì)算公式.
(a + b)(a－b) = a2－b2
這個(gè)公式稱為平方差公式，用語(yǔ)言如何描述？
兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.
說(shuō)一說(shuō) 平方差公式有什么特點(diǎn).
（1）左邊是兩個(gè)數(shù)的和乘以這兩個(gè)數(shù)的差.
（2）右邊是兩個(gè)數(shù)的平方差.
（3）公式中的 a，b 既可代表具體的數(shù)，還可代表單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.
你能設(shè)計(jì)一個(gè)圖形來(lái)說(shuō)明上面公式嗎？
求下圖中藍(lán)色區(qū)域面積？
S = a2 － b2
= (a + b)(a－b)
左邊是兩個(gè)數(shù)的和乘以這兩個(gè)數(shù)的差.
右邊是兩個(gè)數(shù)的平方差.
公式中的 a，b 既可代表具體的數(shù)，還可代表單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.
（1）( 5 + 6x ) ( 5 – 6x ) ；
（2） ( x – 2y ) ( x + 2y ) ；
（3） (– m + n ) (– m – n) 。
解：（1）( 5 + 6x ) ( 5 – 6x ) = 52–(6x)2 = 25 – 36x2 ；
（2） ( x – 2y ) ( x + 2y ) = x2– (2y)2 =x2– 4y2；
（3） (– m + n ) (– m – n) = (– m)2 – n2 =m2– n2 。
總結(jié):關(guān)鍵是先確定相同項(xiàng)“a”和相反項(xiàng)“b”。
（2）(ab + 8)(ab – 8) 。
（2）(ab + 8)(ab – 8) = (ab)2 – 82 =a2b2 – 64 。
例 3 用平方差公式進(jìn)行計(jì)算：
（1）103×97； （2）118×122
解：（1）103×97 =(100 + 3)(100 – 3) = 1002 – 32 = 9 991；
（2）118×122 = (120 – 2)(120 + 2) = 1202 – 22 = 14 396。
(103+97)÷2=100
(118+122)÷2=120
課本例3 利用乘法公式計(jì)算：
（1）(－x + 3)(－x－3)；
（2）1 999×2 001 .
解 （1）(－x + 3)(－x－3)
= (－x)2 －32
（2）1 999×2 001
= (2 000－1)×(2 000 + 1)
= 2 0002－12
= 3 999 999
解：(1)10.3×9.7＝(10＋0.3)×(10－0.3)＝102－0.32＝100－0.09＝99.91；(2)2 025×2 027－2 0262＝(2 026－1)×(2 026＋1)－2 0262＝2 0262－12－2 0262＝－1.
10.3與9.7的平均數(shù)為10
2 025與2 027的平均數(shù)為2 026
計(jì)算：(1)10.3×9.7；(2)2 025×2 027－2 0262.
解題秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.
（1）(a + b + c)2 ；
解（1）(a + b + c)2
= [(a + b) + c]2
= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
= a2 +2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
= (a－b)(a－b)2
= (a－b)(a2－2ab + b2)
= a3－2a2b + ab2－a2b + 2ab2－b3
= a3－3a2b + 3ab2－b3
課本例5 利用乘法公式計(jì)算：(x + y + z)(x－y + z) .
解 (x + y + z)(x－y + z)
= [(x + z) + y][(x + z)－y]
= (x + z)2 －y2
= x2 +2xz + z2 －y2
1. 利用乘法公式計(jì)算：
（1）(2a + 5b)(2a－5b)； （2） .
解 （1）(2a + 5b)(2a－5b)
= (2a)2－(5b)2
（3）(y－2x)(－2x－y)； （4）(xy + 1)(xy－1).
（3）(y－2x)(－2x－y)
= (－2x + y)(－2x－y)
= (－2x)2－y2
（4）(xy + 1)(xy－1)
2. 利用乘法公式計(jì)算：
（1）598 × 602； （2）9992 .
解（1）598 × 602
= (600－2) × (600 + 2)
= 6002 － 22
= (1000－1)2
= 10002－2×1000×1 + 12
（1）(a + b)3； （2）(x－1)3； （3）(a－b－c)2 .
解 （1）(a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
（2）(x － 1)3 = (x － 1)(x － 1)2 = (x － 1)(x2 － 2x + 1) = x3 － 2x2 + x + (－x2) + 2x － 1 = x3－3x2 + 3x－1
（3） (a－ b－ c)2 = [(a － b) － c]2 = (a － b)2 － 2(a － b)c + c2 = a2 － 2ab + b2 － 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 － 2ab － 2ac + 2bc
（1）(2a + b + 1) (2a + b－1)； （2）(3x + y + z) (3x － y－z).
解 （1）(2a + b + 1) (2a + b－1) = (2a + b)2 －12 = 4a2 + 4ab + b2 －1
解 （2）(3x + y + z) (3x － y－z) = [3x + (y + z)] [3x － (y + z)] =9x2 － (y + z)2 =9x2 － (y2 +2yz+ z2) =9x2 － y2 － z2 － 2yz
1.下列各式中，不能用平方差公式計(jì)算的是( )
部分剪開(kāi)密鋪成一個(gè)平行四邊形，則該平行四邊形的面積為 ( )
4. [2024池州期末] 下列各式中不能用平方差公式計(jì)算的是( )
5. [2024沈陽(yáng)沈河區(qū)期末] 如圖，將大正方形通過(guò)剪、拼后分解成新的圖形，利用等面積法可驗(yàn)證某些乘法公式，在給出的四種拼法中，其中能夠驗(yàn)證平方差公式的是( )
A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②④
A.31B.41C.16D.54
A. 20是“完美數(shù)”B. 最小的“完美數(shù)”是4C. “完美數(shù)”一定是4的奇數(shù)倍D. 小于30的所有“完美數(shù)”之和是60
正方形.列式表示整個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的面積為_(kāi)_____________.
20. ［幾何直觀］某數(shù)學(xué)興趣小組用“等面積法”分別構(gòu)造了以下四種圖形驗(yàn)證“平方差公式”：
(1)【探究】以上四種圖形中能夠驗(yàn)證“平方差公式”的有________；(填序號(hào))
21. 閱讀材料，解決問(wèn)題.
（1） ；
（2） .
（1） (2m + 3n)(2m－3n)；
（2） ；
解（1） (2m + 3n)(2m－3n)
= (2m)2－(3n)2
（3）(－4x + y)(y + 4x)；
（4）(x + y)(x－y) + (y－z)(y + z)－(x + z)(x－z) .
（3）(－4x + y)(y + 4x)
= (y－4x)(y + 4x)
= y 2－(4x)2
= y 2－16x 2
（4）(x + y)(x－y) + (y－z)(y + z)－(x + z)(x－z)
= x 2 －y 2 + y 2－z 2－(x 2－z 2)
(a－2b－3)(a + 2b + 3) .
解 (a－2b－3)(a + 2b + 3)
= [a－(2b + 3)][a + (2b + 3)]
= a2－(2b + 3)2
= a2－(4b2 + 12b + 9)
= a2－4b2－ 12b－ 9
4. 先化簡(jiǎn)，再求值：
(5y + 1)(5y－1)－(5y + 25y2)，其中 y = .
(5y + 1)(5y－1)－(5y + 25y 2)
= 25y 2 －12－5y － 25y 2
（1） ；
（2）(x + 1)(x－1)－(x + 2)2 = 7 .
(x + 1)(x－1)－(x + 2)2 = 7
x 2－12－(x2 + 4x + 4) = 7
－4x = 7 + 5
2(x + 4)(x－4) < (x－2)(2x + 5) .
2(x 2－16) < 2x 2 + 5x －4x－10
2x 2－32 < 2x 2 + x－10
－32 + 10 < x
（1）[( ) + ( )]2 = 4x2 + ( ) + 9y2；
（2）[x + ( )][x + ( )] = x2 + ( ) + 6；
（3）x2 + 3x + ( ) = (x + )2 .
8. 如果多項(xiàng)式 4x2 + 1 加上一個(gè)單項(xiàng)式后能成為一個(gè)多項(xiàng)式的完全平方，那么這個(gè)單項(xiàng)式是什么？
解：(2x)2 + 4x + 1 = (2x + 1)2
答：這個(gè)單項(xiàng)式是 ±4x 或4x4.
(2x)2－4x + 1 = (2x－1)2
4x4 + 4x2 + 1 = (2x2 + 1)2
9. 一個(gè)圓的半徑為 r cm，若半徑減少 2 cm，那么這個(gè) 圓的面積減少多少？
πr2－π(r－2)2
= π[(r2－(r2－4r + 4)]
= π(4r － 4)
= 4π(r － 1)
答：這個(gè)圓的面積減少4π(r － 1) cm2.
緊緊抓住“一同一反”這一特征，在應(yīng)用時(shí)，只有兩個(gè)二項(xiàng)式的積才有可能應(yīng)用平方差公式；不能直接應(yīng)用公式的，要經(jīng)過(guò)變形才可以應(yīng)用
(a+b)(a-b)=a2-b2
兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差
方法:用不同方法表示 同一圖形的面積

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8.3 完全平方公式與平方差公式

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