1.設(shè)AB=(2,3)，BC=(?1,4)，則AC等于( )
A. (1,?7)B. (1,7)C. (?1,?7)D. (?1,7)
2.為了得到函數(shù)y=3sin(2x?π4)的圖象，只要把函數(shù)y=3sin2x圖象上所有的點( )
A. 向右平行移動π8個單位長度B. 向左平行移動π8個單位長度
C. 向右平行移動π4個單位長度D. 向左平行移動π4個單位長度
3.將向量OA=(1,1)繞坐標(biāo)原點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到OB，則OA?AB=( )
A. 1B. ?1C. 2D. ?2
4.已知平面向量a,b滿足：|b|=2|a|=2,a與b的夾角為120°，若(λa+b)⊥(a?b)(λ∈R)，則λ=( )
A. 0B. 1C. 32D. 52
5.在△ABC中，b2+c2?a2=bc，且sinB=sinC，則△ABC的形狀是( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等邊三角形D. 等腰直角三角形
6.如圖所示，△ABC中，點D是線段BC的中點，E是線段AD上的動點，若BE=xBA+12yBC，則x+y的值為( )
A. 1
B. 3
C. 5
D. 8
7.若兩個非零向量a，b滿足|a+b|=|a?b|=2|b|，則向量a+b與a的夾角為( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
8.已知函數(shù)f(x)=2sinωx(ω>0)在區(qū)間[?π3,2π3]上是增函數(shù)，其在區(qū)間[0,π]上恰好取得一次最大值2，則ω的取值范圍是( )
A. [12,34]B. [12,52)C. [34,52)D. [52,3)
二、多選題：本題共3小題，共18。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.設(shè)e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量，則以下a，b可作為該平面內(nèi)一組基底的( )
A. a=e1+e2，b=e1B. a=2e1+e2，b=12e1+14e2
C. a=e1+e2，b=e1?e2D. a=e1?2e2，b=?e1+4e2
10.函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|?3”的充要條件
C. 若2OA+OB+3OC=0，S△AOC、S△ABC分別表示△AOC、△ABC的面積，則S△AOC：S△ABC=1：6
D. 在△ABC中，向量AB與AC滿足(AB|AB|+AC|AC|)?BC=0，且BA|BA|?BC|BC|=12，則△ABC為等邊三角形
三、填空題：本題共3小題，共15分。
12.在△ABC中，若b=5，B=π4，sinA=2 55，則a= ______．
13.已知a=(2,1)，b=(csθ,sinθ)，則a?b的最大值為______．
14.窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.如圖2，正八邊形ABCDEFGH中，若AE=λAC+μAF(λ,μ∈R)，則λ+μ的值為______；若正八邊形ABCDEFGH的邊長為2，P是正八邊形ABCDEFGH八條邊上的動點，則AP?AB的最小值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
設(shè)向量a，b滿足a?b=3，|a|=3，|b|=2．
(1)求向量a，b的夾角；
(2)求|a?b|.
16.(本小題15分)
在平面四邊形ABCD中，∠ABC=π3，∠ADC=π2，BC=4．
(1)若△ABC的面積為3 3，求AC；
(2)若AD=3 3，∠BAC=∠DAC，求tan∠DAC．
17.(本小題15分)
已知平面向量a,b,c，且a=(?2,1)．
(1)若a//c，且|c|=25，求向量c的坐標(biāo)；
(2)若b=(3,2)，求a在b方向的投影向量(用坐標(biāo)表示)．
18.(本小題17分)
已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2csB+abcsA=2c．
(1)求a；
(2)若A=2π3，且△ABC的周長為2+ 5，求△ABC的面積．
19.(本小題17分)
已知O為坐標(biāo)原點，對于函數(shù)f(x)=asinx+bcsx，稱向量OM=(a,b)為函數(shù)f(x)的相伴特征向量，同時稱函數(shù)f(x)為向量OM的相伴函數(shù)．
(1)記向量ON=(3, 3)的相伴函數(shù)為f(x)，若當(dāng)f(x)=3且x∈(?π3,π3)時，求x的值；
(2)設(shè)g(x)= 3cs(x+π3)+cs(π6?x)(x∈R)，試求函數(shù)g(x)的相伴特征向量OM，并求出與OM同向的單位向量；
(3)已知OA=(0,1)為函數(shù)?(x)的相伴特征向量，若在△ABC中，AB=2，csC=?(π6)，若點G為該△ABC的外心，求GC?AB+CA?CB的最大值．
參考答案
1.B 2.A 3.B 4.D 5.C 6.A 7.A 8.A
9.ACD 10.BC 11.ACD
12.2 10
13. 5
14. 2 ?2 2
15.解：(1)∵a?b=3，|a|=3，|b|=2，
∴cs=a?b|a||b|=33×2=12，
又∈[0,π]，∴=π3；
(2)|a?b|= (a?b)2= |a|2?2a?b+|b|2= 9?2×3+4= 7．
16.

17.解：(1)設(shè)c=(x,y),a=(?2,1)，
∵a//c，
∴x=?2y，
又|c|=25，
∴x2+y2=625，
∴y2=125，
∴y=±5 5，
∴x=?10 5y=5 5或x=10 5y=?5 5，
∴c=(?10 5,5 5)或(10 5,?5 5)；
(2)a?b=?6+2=?4，
∴a?b|b|=?4 13=?4 1313，
∴a在b上的投影向量為(?1213,?813)．
18.解：(1)由題設(shè)有a(acsB+bcsA)=2c，
則a(sinAcsB+sinBcsA)=2sinC，
所以asin(A+B)=2sinC，而A+B=π?C，
故asinC=2sinC，又sinC>0，
所以a=2．
(2)由(1)及已知，有csA=b2+c2?a22bc=b2+c2?42bc=?12，
整理得b2+c2+bc=4，
又a+b+c=2+ 5，即b+c= 5，
所以(b+c)2?bc=5?bc=4，解得bc=1，
故S△ABC=12bcsinA= 34．
19.解：(1)O為坐標(biāo)原點，對于函數(shù)f(x)=asinx+bcsx，
稱向量OM=(a, b)為函數(shù)f(x)的相伴特征向量，同時稱函數(shù)f(x)為向量OM的相伴函數(shù)．
向量ON=(3, 3)的相伴函數(shù)為f(x)，當(dāng)f(x)=3且x∈(?π3, π3)時，
根據(jù)題意知，向量ON=(3, 3)的相伴函數(shù)為：
f(x)=3sinx+ 3csx=2 3sin(x+π6)，
當(dāng)f(x)=2 3sin(x+π6)=3時，sin(x+π6)= 32，
又x∈(?π3, π3)，則x+π6∈(?π6, π2)，
∴x+π6=π3，故x=π6；
(2)∵g(x)= 3cs(x+π3)+cs(π6?x)= 3(csxcsπ3?sinxsinπ3)+csxcsπ6+sinxsinπ6=?sinx+ 3csx，
∴函數(shù)g(x)的相伴特征向量OM=(?1, 3)，
與OM=(?1, 3)同向的單位向量為OM|OM|=12(?1, 3)=(?12, 32)；
(3)OA=(0, 1)為函數(shù)?(x)的相伴特征向量，
在△ABC中，AB=2，csC=?(π6)，點G為該△ABC的外心，
由題意得，?(x)=csx，
在△ABC中，AB=2，csC=?(π6)=csπ6= 32，∴C=π6，
設(shè)△ABC外接圓半徑為R，根據(jù)正弦定理，ABsinC=2R=4，∴R=2，
∴|GA|=|GB|=|GC|=2，
GC?AB+CA?CB=GC?(GB?GA)+(GA?GC)?(GB?GC)
=GC?GB?GC?GA+GA?GB?GA?GC?GC?GB+GC2
=?2GC?GA+GA?GB+GC2=?8cs∠AGC+4cs∠AGB+4，
C=π6, ∠AGB=2C=π3, cs∠AGB=csπ3=12，
代入得GC?AB+CA?CB=6?8cs∠AGC，
∴當(dāng)∠AGC=π時，GC?AB+CA?CB的最大值為6+8=14．

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