一、單選題
1．將式子根式外的因式移到根式內(nèi)的結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
2．如圖，一旗桿在離地面處折斷，旗桿頂部距底部，求旗桿原有多長（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．下列三條線段不能構(gòu)成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．C．D．40，50，60
4．下列計算錯誤的是 （ ）
A．B．
C．D．
5．如圖，把一塊含角的三角板放入的網(wǎng)格中，三角板三個頂點均在格點上，直角頂點與數(shù)軸上表示的點重合，則數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，在菱形中，是邊上一點，連接．將菱形沿直線折疊，點恰與點重合．若菱形的邊長為4，則的長是（ ）
A．2B．4C．D．
7．如圖，大正方形面積為，小正方形的面積為，則陰影部分的面積是（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，將沿對角線翻折，點落在點處，交于點，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
9．如圖，在中，的角平分線交于點E，的角平分線交于點F．若，，則的長是（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空題
10．若代數(shù)式有意義，則的取值范圍是 ．
11．在平面直角坐標系中，點到原點的距離為 ．
12．計算： ．
13．如圖，已知在中，，，，D是邊上一點，將沿翻折，點A恰好落在邊上的點E處，那么 ．
14．如圖，在中，，，．如果，分別為，上的動點，那么的最小值是 ．
15．如圖，將四根長度相等的細木條首尾相連，用釘子釘成四邊形，若，，則，兩點間的距離為 ．
16．如圖，在中，交對角線于點，若，則的度數(shù)是 ．
17．對于有理數(shù)和，定義了一種新運算：，例如，則為 ．
18．如圖，四邊形為菱形，延長到，在內(nèi)作射線，過點作于，若平分，，則對角線的長為 ．
三、解答題
19．計算：
(1)
(2)
(3)
(4)
20．已知，是實數(shù)，且，求．
21．如圖，在四邊形中，，，，，求的度數(shù)和四邊形的面積．
22．如圖，在直角三角形紙片中，，把這張紙片沿折疊，使點A與C重合，連接，過點B作的平行線，與的延長線交于點F．
(1)求證：四邊形為平行四邊形．
(2)當(dāng)四邊形為菱形時，求的度數(shù)．
23．如圖，在中，，，，是邊上的兩個動點，其中從出發(fā)沿方向運動且速度為，中從出發(fā)沿方向運動且速度為，它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)時間為．
(1)出發(fā)后，求的長．
(2)當(dāng)在邊上運動時，出發(fā)幾秒鐘后，是等腰三角形？
(3)當(dāng)點在邊上運動時，求能使是以為腰的等腰三角形的運動時間．
24．如圖，對角線，相交于點，過點作且，連接，，．
(1)求證：是菱形；
(2)若，，求的長．
25．如圖1，在中，點D在的延長線上，點O是邊上的一個動點，過點O作直線，設(shè)交的平分線于點E，交的平分線于點F．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，連接、，當(dāng)點運動到何處時，四邊形是矩形，并說明理由；
(3)在（2）的前提下滿足時，四邊形是正方形？（直接寫出答案，無需證明）
26．【問題提出】
勾股定理是直角三角形一個非常重要的性質(zhì)，有著及其廣泛的應(yīng)用，搭建起了幾何圖形和數(shù)量關(guān)系之間的一座橋梁．因此勾股定理與動點、方程、幾何圖形等結(jié)合就可以進行相應(yīng)的數(shù)量計算．
在中，，
【新知初探】
（1）如圖1，點從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿方向向點運動，連接．當(dāng)點運動 秒時，．
【類比分析】
（2）如圖2，當(dāng)點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線方向運動，設(shè)運動的時間為．
①當(dāng)為等腰三角形時，求的值；
②當(dāng)為直角三角形時，求的值；
【學(xué)以致用】
（3）如圖2，當(dāng)點從點出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿方向運動，設(shè)運動的時間為．若點恰好在的平分線上，求的值．
27．【發(fā)現(xiàn)】
我們將稱為一對“對偶式”，因為，所以構(gòu)造“對偶式”再將其相乘可以有效的將和中的“”去掉，于是二次根式除法可以這樣解：如，像這樣，通過分子，分母同乘以一個式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去，叫做分母有理化．
【應(yīng)用】
(1)的對偶式是 ，分母有理化得 ．
(2)①計算：
②已知：，求的值．
《期中檢測卷-2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)八年級下冊人教版》參考答案
1．C
【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)、二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)二次根式有意義的條件可得，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)計算即可得．
【詳解】解：由題意得：，且，
∴，
則
，
故選：C．
2．D
【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)實際情況找出直角三角形是解題關(guān)鍵．
利用勾股定理求得的長，從而求得旗桿折斷前的高度．
【詳解】解：如圖，根據(jù)題意，得：在中，，，，
在中，，
，
．
旗桿原有長．
故選：D．
3．D
【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進而作出判斷．熟練掌握勾股定理的逆定理是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴能構(gòu)成直角三角形，故A選項不符合題意，
∵，
∴能構(gòu)成直角三角形，故B選項不符合題意，
∵，
∴能構(gòu)成直角三角形，故C選項不符合題意，
∵，
∴不能構(gòu)成直角三角形，故D選項符合題意，
故選：D．
4．A
【分析】本題考查二次根式的加減乘除運算，根據(jù)二次根式的加減乘除運算法則計算即可．
【詳解】解：A、與的被開方數(shù)不相同，不能合并，故本選項計算錯誤；
B、，本選項的計算正確；
C、，本選項的計算正確；
D、，本選項的計算正確．
故選：A
5．C
【分析】本題考查了數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)和勾股定理，正確理解題意是解題的關(guān)鍵；
本題需要通過勾股定理求得，進而得到，然后即可求解；
【詳解】解：如圖：
，
由題意可知，，，，
∴，
∴，
∴數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為，
故選：C；
6．C
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，由菱形的性質(zhì)可得，由折疊的性質(zhì)可得，，由勾股定理可求解．靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：四邊形是菱形，
，
將菱形沿直線折疊，點恰與點重合，
，，
，
故選：C．
7．C
【分析】本題考查了算術(shù)平方根和三角形的面積和二次根式的混合運算，掌握算術(shù)平方根和二次根式的運算是解題的關(guān)鍵．
由題意得出大、小正方形的邊長，再求出，利用三角形的面積公式表示出陰影部分面積，再代入數(shù)據(jù)，利用二次根式混合運算化簡，即可得出答案．
【詳解】解：∵大正方形面積為，小正方形的面積為，
∴大正方形邊長為，小正方形的邊長為，
∴，
．
故選：C．
8．C
【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，一元一次方程解幾何問題，掌握平行四邊形、折疊的性質(zhì)是關(guān)鍵．
令，則，進而可得，由折疊可知，，，，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和列出關(guān)于的方程式即可得出答案．
【詳解】解：令，則，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
由折疊可知，，，
在中，，
即，
解得：，
∴．
故選：C．
9．A
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，從而可得，然后根據(jù)等腰三角形的判定可得，最后根據(jù)線段和差求解即可得．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，，
∴，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：A．
10．且
【分析】本題考查分式有意義的條件及二次根式有意義的條件，要使分式有意義，分母不為0，要使二次根式有意義，被開方數(shù)為非負數(shù)，據(jù)此列不等式求解即可得答案．
【詳解】解：∵代數(shù)式有意義，
∴且，
解得：且．
故答案為：且
11．5
【分析】本題考查了勾股定理．根據(jù)原點坐標為，以及點，結(jié)合勾股定理列式，即可作答．
【詳解】解：∵原點坐標為，點，
∴，
∴點到原點的距離為5，
故答案為：5．
12．
【分析】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則是解決問題的關(guān)鍵．先根據(jù)積的乘方與冪的乘方得到, 然后利用平方差公式計算.
【詳解】解：原式，
，
，
故答案為：.
13．
【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)以及含角的直角三角形，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先利用互余計算出，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形外角性質(zhì)計算出，再根據(jù)含角的直角三角形進行計算即可．
【詳解】解：，
，
將沿翻折，點A恰好落在邊上的點E處，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
．
故答案為：．
14．
【分析】延長到點F，使得，則直線是線段的垂直平分線，連接，于是得到，，于是就變成了，根據(jù)點到直線的距離以垂線段最短原理，得到的最小值就是的高，過點F作于點G，求即可．
此題考查了軸對稱最短路徑問題，垂線段的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)三角形的面積求高等，熟練掌握以上性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
【詳解】解：延長到點F，使得，
∵，
∴直線是線段的垂直平分線，
連接，
∴，，
∴就變成了，
根據(jù)點到直線的距離以垂線段最短原理，得到的最小值就是的高，
過點F作于點G，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
15．2
【分析】此題重點考查菱形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．由題意可知，連接，因為，所以是等邊三角形，則，于是得到問題的答案．
【詳解】解：將四根長度相等的細木條首尾相連，用釘子釘成四邊形，，
，
四邊形是菱形，
連接，
，
是等邊三角形，
，
，兩點間的距離為2，
故答案為：2．
16．/105度
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，垂線的定義、三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于基礎(chǔ)題．由四邊形是平行四邊形，推出，推出，由，推出，根據(jù)計算即可．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
故答案為：．
17．/
【分析】本題考查二次根式的混合運算，根據(jù)新定義代入計算求值即可．
【詳解】解：由題意得：，
故答案為：．
18．
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，過點作于，
可證明，得到，再根據(jù)菱形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：過點作于，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵四邊形為菱形，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
19．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．
（1）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡二次根式，再進行二次根式的加減運算即可；
（2）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡二次根式，再根據(jù)二次根式乘除法運算法則計算即可；
（3）先計算乘方，負整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，再進行加減運算即可；
（4）先根據(jù)完全平方公式和平方差公式展開，再進行加減運算即可．
【詳解】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式
20．1
【分析】根據(jù)題意可以求得x、y的值，從而可以解答本題；
本題考查二次根式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式化簡求值的方法．
【詳解】解：由題意，得，
，
解得，
∴，
∴
21．，
【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理．連接，可得是等腰直角三角形，因此，，從而得到，可判定是直角三角形，，因此，，根據(jù)三角形的面積公式即可求解．
【詳解】解：連接，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴
．
22．(1)見解析
(2)
【分析】本題考查的是平行四邊形的判定和菱形的邊的性質(zhì)．
（1）根據(jù)，，證明，得到結(jié)論；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)證明，得到的度數(shù)．
【詳解】（1）證明：由題意得，，
又∵，
∴，
又∵，
∴四邊形為平行四邊形；
（2）解：∵四邊形為菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
23．(1)
(2)
(3)秒或秒
【分析】本題主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，注意分類討論是解題關(guān)鍵．
（1）設(shè)，，出發(fā)后，求出，利用勾股定理即可求解；
（2）當(dāng)在邊上運動時，得，根據(jù)題意，得，將、代入，即可求解；
（3）當(dāng)點在邊上運動時，能使是以為腰的等腰三角形的情況有三種：①當(dāng)時，則，可證得，得，即可求解的值；②當(dāng)時，得，即可求解的值．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得：，，
出發(fā)后，，，
，
，
在中，．
（2）解：當(dāng)在邊上運動時，
，即時，
由（1）得：，，，且，
只有當(dāng)時，是等腰三角形，
，解得，符合題意，
出發(fā)秒后，是等腰三角形．
（3）解：，，，
在中，．
①如圖，當(dāng)時，
，
，，
，
，
，
，解得；
②如圖，當(dāng)時，
，
，解得；
綜上所述，運動時間為秒或秒時，是以為腰的等腰三角形．
24．(1)見解析
(2)
【分析】（1）先證四邊形是平行四邊形．再證平行四邊形是矩形，則，得，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論；
（2）證明是等邊三角形，得，再由勾股定理得，然后由矩形的在得，，即可解決問題．
【詳解】（1）證明：，，
四邊形是平行四邊形．
，
平行四邊形是矩形，
，
，
是菱形；
（2）解：四邊形是菱形，
，，，
，
是等邊三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
由（1）可知，四邊形是矩形，
，，
，
即的長為．
【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25．(1)見解析
(2)當(dāng)點O在邊上運動到中點時，四邊形是矩形，理由見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)平行線得到，，從而利用等腰三角形說明，從而得到結(jié)論；
（2）當(dāng)O為中點時，結(jié)合(1)可得四邊形為平行四邊形，然后根據(jù)得出矩形；
（3）當(dāng)時，可得，對角線互相垂直的矩形是正方形．
【詳解】（1）解： 平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
．
（2）解：當(dāng)點O在邊上運動到中點時，四邊形是矩形．
，，
四邊形是平行四邊形，
，，，
，
，即，
四邊形是矩形．
（3）解：在（2）前提下，當(dāng)?shù)臅r，四邊形是正方形．
，，
，
矩形是正方形．
【點睛】本題綜合考查了平行線性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行四邊形、矩形、正方形的性質(zhì)與判定等知識，熟練掌握它們的性質(zhì)和判定是解決問題的關(guān)鍵．
26．（1）；（2）①當(dāng)為等腰三角形時，的值為5或8或；②當(dāng)為直角三角形時，的值為或4；（3）的值為或．
【分析】（1）利用勾股定理求得，設(shè)，在中，由勾股定理列式計算即可求解；
（2）①分三種情況討論，分別列式計算即可求解；②分兩種情況討論，利用勾股定理列式計算即可求解；
（3）分兩種情況討論，利用勾股定理結(jié)合角平分線的性質(zhì)列式計算即可求解．
【詳解】解：（1）∵在中，，
∴，
設(shè)，
∴，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
∴，
∴點運動秒時，．
故答案為：；
（2）①當(dāng)時，則，
解得；
當(dāng)時，則，
解得，；
當(dāng)時，由（1）得，
∴，
解得；
綜上，當(dāng)為等腰三角形時，的值為5或8或；
②當(dāng)，，，
在中，由勾股定理得，
在中，，
∴，
即，
解得；
當(dāng)，則P與C重合，則，
解得；
綜上，當(dāng)為直角三角形時，的值為或4；
（3）如圖，作，
∵點P恰好在的平分線上，，
∴，
∴，
∴，，
由題意得，，
由勾股定理得，解得；
當(dāng)點P運動到點A時，也在角平分線上，此時，．
綜上，的值為或．
【點睛】本題考查了勾股定理，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題．
27．(1)，
(2)①；②
【分析】此題主要考查了二次根式的有理化因式，分母有理化，二次根式的混合運算，代數(shù)式求值等，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握閱讀材料中二次根式的有理化因式的定義，分母有理化的定義及計算，二次根式的加減計算，完全平方公式，整體代入法求代數(shù)式的值．
（1）根根據(jù)材料中的方法即可求解；
（2）①原式各分母有理化，合并即可得到結(jié)果．
②將x與y分母有理化求得和的值，把化為，再整體代入計算即可得到結(jié)果．
【詳解】（1）解：的對偶式是，分母有理化得：；
故答案為：，；
（2）解：①
；
②∵，
∴，
，
．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9

答案
C
D
D
A
C
C
C
C
A

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