注意事項(xiàng)：
1．答卷前，務(wù)必將自己的姓名和座位號(hào)填寫在答題卡和試卷上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改
動(dòng)，務(wù)必擦凈后再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷
上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)
是符合題目要求的．
1. 已知集合 ， ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分別化簡(jiǎn)集合 ，結(jié)合交集的運(yùn)算規(guī)律即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以 ，所以 ，
因?yàn)?，所以 ，所以 ，
，
故選： .
2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是 ，則復(fù)數(shù) 的虛部是（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到復(fù)數(shù) 的代數(shù)式，再利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可.
【詳解】由題意， ，則 .
第 1頁/共 20頁
所以復(fù)數(shù) 的虛部是
故選：A.
3. 若空間中三條不同的直線 ， ， 滿足 ， ，則 是 ， ， 共面的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】通過特例說明 不能推出 ， ， 共面，即充分性不成立；再由平面幾何知識(shí)得出同一平面
內(nèi)的直線不平行必相交，推出 一定成立，即必要條件成立，兩者綜合即可得出結(jié)果.
【詳解】
如圖所示：滿足 ， ，且 ，但是 ，
所以可知 是 ， ， 共面的不充分條件；
當(dāng) ， ， 共面時(shí)，由平面幾何知識(shí)可知同一平面內(nèi)的直線不平行必相交，
又因 ， ，所以必然有 ，
即 是 ， ， 共面的必要條件，
綜上可知 是 ， ， 共面的必要不充分條件.
故選：B.
4. 已知向量 ， ，設(shè) ， ，則 與 的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由條件結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算公式求 ， ，再求 ， ， ，再結(jié)合向量夾角公式求結(jié)論.
【詳解】因?yàn)?， ，
所以 ，
第 2頁/共 20頁
，
所以 ， ，
，
設(shè) 與 的夾角為 ，
則 ，又 ，
所以 ，即 與 的夾角為 .
故選：C.
5. 已知雙曲線 ，過頂點(diǎn) 作 的一條漸近線的垂線，交 軸于點(diǎn) ，且
，則 的離心率為（ ）
A. 3 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)已知求出點(diǎn) ，算出 ，結(jié)合已知可得 ，即可求解
【詳解】不妨令漸近線方程為 ，頂點(diǎn) 為 ，
則過頂點(diǎn) 與漸近線垂直的直線的方程為 ，
令 ，得 ，則 ，
所以 ，
又因?yàn)?，所以 ，
又因 ，所以 ，所以 ，
故選： .
6. 已知 ，則 （ ）
第 3頁/共 20頁
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)同角關(guān)系，兩角差正弦公式化簡(jiǎn)可得 ，由此可求 ，由
配方，結(jié)合平方關(guān)系可求結(jié)論.
【詳解】因?yàn)?，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故選：C.
7. 已知 為圓錐 的底面直徑， 為底面圓心，正三角形 內(nèi)接于 ，若 ，圓錐的側(cè)面
積為 ，則 與 所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出圓錐的底面半徑和 ，過點(diǎn) 作 交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ， 為 與
所成角，由余弦定理求解即可.
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為 ，母線長(zhǎng)為 ，
因?yàn)?，所以 ，
第 4頁/共 20頁
所以 ，所以 ，
所以 ，又正三角形 內(nèi)接于 ，
所以 ，解得： ，所以 ，
所以 ，
過點(diǎn) 作 交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ， ，
所以 與 所成角即為 與 所成角或其補(bǔ)角，
所以 為 與 所成角，
由余弦定理可得： ，
故選：A.
8. 已知點(diǎn) ， ， 是 與 軸的交點(diǎn)．點(diǎn) 滿足：以 為直徑的圓與 相
切，則 面積的最大值為（ ）
A. B. 8 C. 12 D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】由圖可以判定，兩圓內(nèi)切，然后根據(jù)內(nèi)切的判定得到 B 的軌跡方程為橢圓，根據(jù)橢圓的性質(zhì)即可
確定 最大值.
第 5頁/共 20頁
【詳解】
如圖，設(shè)以 為直徑的圓的圓心為 ， ，
顯然兩圓內(nèi)切，所以 ，
又 為 的中位線，所以 ，
所以 ，
所以 的軌跡為以 ， 為焦點(diǎn)的橢圓，
， ，
顯然當(dāng) 為橢圓短軸頂點(diǎn)即 時(shí)， 的面積最大，最大值為 ，
故選：B.
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題
目要求．全部選對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分．
9. 從某校高一和高二年級(jí)分別隨機(jī)抽取 100 名學(xué)生進(jìn)行知識(shí)競(jìng)賽，按得分（滿分 100 分）繪制如圖所示的
頻率分布直方圖，根據(jù)頻率分布直方圖，并用頻率估計(jì)概率記高一年級(jí)學(xué)生得分平均數(shù)的估計(jì)值為 ，高二
年級(jí)學(xué)生得分中位數(shù)與平均數(shù)的估計(jì)值分別為 ， ．從高一和高二年級(jí)各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，記事件
“高一年級(jí)學(xué)生得分不低于 60 分，高二年級(jí)學(xué)生得分不低于 80 分”，事件 “高一年級(jí)學(xué)生得分
不低于 80 分，高二年級(jí)學(xué)生得分不低于 60 分”則（ ）
A. B. C. 事件 ， 互斥 D.
第 6頁/共 20頁
【答案】AB
【解析】
【分析】由頻率分布直方圖求出對(duì)應(yīng) 的值，即可判斷 AB 選項(xiàng)；由互斥事件的定義求 來判斷
C 選項(xiàng)；求出 來判斷 D 選項(xiàng).
【詳解】
，
，
∵ ，∴ ，
∴ ，A 選項(xiàng)正確； ，B 選項(xiàng)正確；
∵ “高一年級(jí)學(xué)生得分不低于 80 分，高二年級(jí)學(xué)生得分不低于 80 分” ，C 選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由評(píng)率估計(jì)概率得： ，
，D 選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AB
10. 將函數(shù) 的圖象向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù) 的圖象，則（ ）
A. 與 圖象關(guān)于直線 對(duì)稱
B. 與 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱
C. 當(dāng) 時(shí)，
D. 當(dāng) 時(shí)， 與 的圖象恰有 4 個(gè)交點(diǎn)
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換得到 ，利用正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性判斷 AB；驗(yàn)證
即可判斷 C；求出方程 的解的個(gè)數(shù)即可判斷 D.
【詳解】由題得， ，
第 7頁/共 20頁
A：與 圖象關(guān)于直線 對(duì)稱的函數(shù)為
，故 A 正確；
B：當(dāng) 時(shí)， ，
，所以 與 的圖象不關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，故 B 錯(cuò)誤；
C： ，
當(dāng) 時(shí)， ，
令 ，則 ， 在 上恒小于 0，
所以 在 上恒大于 0，即 ，即 ，故 C 正確；
D：令 ，即 ，
得 （無解）或 ，
解得 ，
又 ，所以 ，
解得 （ ），所以 ，
即函數(shù) 圖象共有 4 個(gè)交點(diǎn)，故 D 正確.
故選：ACD
11. 已知函數(shù) 的定義域?yàn)?，且 ， ，則（ ）
A. B. ，
C. 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱 D. 為偶函數(shù)
【答案】ACD
【解析】
【分析】A 選項(xiàng)，令 得 ，令 得 ；D 選項(xiàng)，令 得
，令 得 ，故 ， 的一個(gè)周期為 1，，
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所以 ，故 為偶函數(shù)，D 正確；BC 選項(xiàng)，令 ，結(jié)合函數(shù)周期，得到
，令 得 ，所以 ，故 ，故 B 錯(cuò)誤，C 正確.
【詳解】A 選項(xiàng)， 中，令 得
，
又 ，故 ，解得 ，
中，令 得 ，故
，A 正確；
D 選項(xiàng)， 中，令 得
，即 ， ，
中，令 得
，即 ，
因?yàn)?，所以 ，故 ，
故 的一個(gè)周期為 1，
故 ，所以 ，故 為偶函數(shù)，D 正確；
B 選項(xiàng)， 中，令 得
，
由于 ， ，故 ，
由于 的一個(gè)周期為 1，故 ，
所以 ，解得 ，
中，令 得
，
又 ，故 ， ，
第 9頁/共 20頁
所以 ，故 ，
故不存在 ， ，B 錯(cuò)誤；
由上可知 ， ，故 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，C 正確.
故選：ACD
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．
12. 已知 為銳角三角形，且 ， ， 的面積為 ，則 ____________．
【答案】7
【解析】
【分析】由面積和兩邊長(zhǎng),可以求出夾角 A 的正弦值，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出余弦值，最后利用余弦
定理求出另一邊長(zhǎng)即可.
【詳解】由 ，得 ，
又 為銳角三角形，所以角 A 為銳角，所以 ，
在 中，由余弦定理 ，得： ，
.
故答案為：7.
13. 已知函數(shù) 的最小值為 ，則 ____________．
【答案】
【解析】
【分析】分類討論， 或 ，求出 的解析式，根據(jù)解析式畫出圖象，研究最值的情況即可.
【詳解】①若 ，則
時(shí)， ，且單調(diào)遞增，
時(shí)， ，則最小值為 ，
若 存在最小值 ，則有 且 ，
第 10頁/共 20頁
得 ；
②若 ，則
時(shí)， ， 時(shí)， ，
時(shí)， ，且單調(diào)遞減，
， ，
若最小值為 ，則 ，且 ，無解；
若最小值為 ，則 ，且 ，得 ，
綜上所述， 或
故答案為：
14. 如圖，在 的方格中放入棋子，每個(gè)格子內(nèi)至多放一枚棋子，若每行都放置兩枚棋子，則恰好每列
都有兩枚棋子的概率為____________．
【答案】
【解析】
第 11頁/共 20頁
【分析】根據(jù)題意，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理和列舉法求出事件數(shù)，再利用條件概率公式求概率即可.
【詳解】設(shè)“每行都放置兩枚棋子”為事件 A，“每列都有兩枚棋子”為事件 B，
則所求概率為 ，
根據(jù)題意，每行都放置兩枚棋子,即每行都在 4 個(gè)方格中選 2 個(gè)放置棋子，有 種方法，
所以， .
對(duì)于“每行每列都放置兩枚棋子”，不妨令第一行的兩枚棋子放置在左邊第一、二個(gè)方格，此時(shí)第二行有
種放置方法，則第三、四行的放置方法如圖，
圖 1 有 1 種方法，圖 2、3、4、5 各有 2 種方法，圖 6 中，第三行有 種放置方法，其選定方格后，第
四行只有唯一的放置方法.所以總共有 種方法.
因?yàn)榈谝恍衅遄佑?種放置方法，其他 5 種情況同理，故 .
所以，若每行都放置兩枚棋子，則恰好每列都有兩枚棋子的概率
故答案為：
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知 等差數(shù)列， 是等比數(shù)列，且 ， ， ．
（1）求 和 的通項(xiàng)公式；
第 12頁/共 20頁
（2）求數(shù)列 的前 項(xiàng)和．
【答案】（1） ， ；
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)出公差和公比，根據(jù)條件得到方程組，求出公差和公比，得到通項(xiàng)公式；
（2） ，利用錯(cuò)位相減法求和得到答案.
【小問 1 詳解】
設(shè)公差為 ，公比為 ，
，故 ， ，
，故 ，
聯(lián)立 ，解得 或 （舍去），
故 ， ；
【小問 2 詳解】
，設(shè)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，
則 ，①
，②
兩式①-②得 ，
所以 .
16. 如圖，三棱柱 的所有棱長(zhǎng)都為 2， , 是 的中點(diǎn)， ．
第 13頁/共 20頁
（1）證明：平面 平面 ；
（2）求 與平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中點(diǎn) ，得到 ，證得 ，再由 ，利用線面垂直的
判定定理，證得 平面 ，得到 ，結(jié)合 ，證得 平面 ，進(jìn)而證
得平面 平面 .
（2）連接 ，證得 平面 ，以 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面 的一
個(gè)法向量為 和向量 ，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
【小問 1 詳解】
證明：取 的中點(diǎn) ，連接 ，
因?yàn)?是 的中點(diǎn)，所以 ，
又因?yàn)槿庵?的所有棱長(zhǎng)都是 2，
所以四邊形 為菱形，所以 ，所以 ，
因?yàn)?，且 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因?yàn)?平面 ，所以 ，
在等邊 中，因?yàn)?為 的中點(diǎn)，所以 ，
又因?yàn)?，且 平面 ，所以 平面 ，
第 14頁/共 20頁
因?yàn)?平面 ，所以平面 平面 .
【小問 2 詳解】
解：連接 ，因?yàn)槿庵?的所有棱長(zhǎng)都為 2，且 ，
可得 為等邊三角形，且 為 的中點(diǎn)，所以 ，
由（1）知：平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，所以 平面 ，
所以 兩兩垂直，以 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 所在的直線分別為 軸， 軸和 軸，建立
空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則 ，
所以 ，
設(shè)平面 的法向量為 ，則 ，
取 ，可得 ，所以 ，
因?yàn)?，
設(shè) 與平面 所成的角為 ，則 ，
所以 與平面 所成的角的正弦值為 .
17. 已知函數(shù) ，曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為 ．
（1）求 ， 的值；
第 15頁/共 20頁
（2）討論 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明所有零點(diǎn)之和為 0．
【答案】（1） ；
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)得到 表達(dá)式，把 代入 ，能得到含 的等式，算出 .再代入 到
算出另一個(gè)未知量 b.
（2）根據(jù)第（1）問結(jié)果得到 和 . 令 ，對(duì) 處理，根據(jù)結(jié)果判斷 在不同
范圍的增減情況. 依據(jù) 正負(fù)，判斷 在不同范圍的增減，得出 最小是 . 算出 小于
，再找兩點(diǎn)使式子值大于 ，確定有兩個(gè)特殊點(diǎn). 設(shè)一個(gè)特殊點(diǎn)為 ，發(fā)現(xiàn) 也是，所以和為 .
【小問 1 詳解】
求導(dǎo)得到 ，根據(jù)函數(shù)在點(diǎn) 處的切線方程為 ，得到 .
把 代入 得 ，
因?yàn)?，所以 ，即 .
，算出 .
【小問 2 詳解】
由第（1）問知 ， .
令 ，求導(dǎo)得 .
當(dāng) ， ， 在 遞減；
當(dāng) ， ， 在 遞增.
， ，所以存在唯一 使 ，即 .
當(dāng) ， ， 在 遞減；
當(dāng) ， ， 在 遞增，所以 .
，又 ， ，
第 16頁/共 20頁
根據(jù)零點(diǎn)存在定理， 在 和 各有一個(gè)零點(diǎn)，共兩個(gè)零點(diǎn).
設(shè) 是零點(diǎn)， ，
經(jīng)計(jì)算 ，
所以 也是零點(diǎn)，零點(diǎn)和為 .
18. 已知拋物線 ， ，點(diǎn) 在 上．
（1）求 的最小值；
（2）設(shè)點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 2，過 作 的兩條切線，分別交 于 ， 兩點(diǎn)．
（?。┣笾本€ 斜率的取值范圍；
（ⅱ）證明直線 過定點(diǎn)．
【答案】（1） 取最小值為
（2）（ⅰ）直線 斜率的取值范圍為 ；
（ⅱ）證明見解析．
【解析】
【分析】（1）設(shè) ，由兩點(diǎn)間的距離公式可得 ，進(jìn)而可求最小值；
（2）記直線 的斜率分別為 ，設(shè)切線方程為 ，由題意可得 ，
進(jìn)而可得 ，聯(lián)立直線與橢圓方程可得 ，（ⅰ）
可得 ，計(jì)算可求直線 斜率的取值范圍；（ⅱ）可求得直線 的方程為
，進(jìn)而可求定點(diǎn).
【小問 1 詳解】
設(shè) ，則 ，又 ，
第 17頁/共 20頁
所以 ，
所以當(dāng) 時(shí)， 取最小值，最小值為 .
【小問 2 詳解】
記直線 的斜率分別為 ，
因?yàn)辄c(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 2，可得 ，設(shè)過 的圓 的切線方程為 ，
由題意可得 ，即 ，
因?yàn)?是方程的根，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，即 ，
（?。┮?yàn)?的斜率為 ，
所以 ，
又因?yàn)?，所以 .
即直線 斜率的取值范圍為 ；
（ⅱ）因?yàn)?，所以 ，
第 18頁/共 20頁
所以直線 的方程為 ，即 ，
即 ，即 ，
令 ，則 ，所以直線 過定點(diǎn) ．
19. 當(dāng)前，以大語言模型為代表的人工智能技術(shù)正蓬勃發(fā)展，而數(shù)學(xué)理論和方法在這些模型的研發(fā)中，發(fā)揮
著重要作用．例如，當(dāng)新聞中分別出現(xiàn)“7 點(diǎn)鐘，一場(chǎng)大火在郊區(qū)燃起”和“7 點(diǎn)鐘，太陽從東方升起”這
兩個(gè)事件的描述時(shí)，它們提供的“信息量”是不一樣的，前者比后者要大，會(huì)吸引人們更多關(guān)注．假設(shè)通
常情況下，它們發(fā)生的概率分別是 和 ，用 這個(gè)量來刻畫“信息量”的大小，
計(jì)算可得前者約為 9，后者接近于 0．現(xiàn)在假設(shè)離散型隨機(jī)變量 的分布列為 ，
， ．則稱 為 的信息熵，用來刻畫隨機(jī)變量 蘊(yùn)含的信息量的大?。?br>（1）若 的分布列為 ， ， ，求 的最大值；
（2）證明： ；
（3）若 ，且 為定值，設(shè) ，證明： ．
【答案】（1） ；
（2）證明見解析； （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）寫出 ，再求導(dǎo)即可求出其最值；
（2）轉(zhuǎn)化為證明 ，再作差放縮即可證明；
（3）根據(jù) 得到 ，兩邊同時(shí)求導(dǎo)即可證明.
【小問 1 詳解】
由題意知， ，其中 ．
令 ，則 ．
第 19頁/共 20頁
所以當(dāng) 時(shí)， ，所以 在 上單調(diào)遞增；
當(dāng) 時(shí)， ，所以 在 上單調(diào)遞減．
所以 在 時(shí)取得最大值，且最大值為 ．
【小問 2 詳解】
要證 ，即證 ，
因?yàn)?br>（當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)等號(hào)成立成立），
，
所以 .
【小問 3 詳解】
由題意知 ，
則 ，
由 ，則 ，
所以 ，則 ，即得 ．

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