一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合 ?， 則?（ ）
A. ?B. ?C. ?D. ?
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次不等式求集合A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求集合B，進(jìn)而求交集.
【詳解】因?yàn)榧?，
?，
所以?．
故選：D．
2. 命題“，”是真命題的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將不等式成立的存在性問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，得到的取值范圍，再由充分不必要條件的定義得到結(jié)果.
【詳解】因“，”，所以，所以．
結(jié)合選項(xiàng)及充分不必要條件知“”是“”的充分不必要條件．
故選：D．
3. 已知奇函數(shù)，則（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】由即可求解.
【詳解】，
是奇函數(shù)，，
，，．
故選:A．
4. 設(shè)公差的等差數(shù)列中，，，成等比數(shù)列，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等比數(shù)列求出首項(xiàng)與公差的關(guān)系，然后利用等差中項(xiàng)化簡(jiǎn)所求表達(dá)式即可．
【詳解】解：因?yàn)楣畹牡炔顢?shù)列an中，，，成等比數(shù)列，
所以，即，解得，
所以，
故選： C．
5. 已知，都是銳角，，，求（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系可求得，，再利用兩角差的余弦公式可得結(jié)果.
【詳解】由，以及，都是銳角可得，；
所以
.
故選：A
6. 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A. 1B. 0C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，即可判斷出答案.
【詳解】由，可得，即定義域?yàn)?1,1，
所以，
由于，故，
即f′x≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，
即在?1,1上為單調(diào)遞增函數(shù)，又，
所以僅有一個(gè)零點(diǎn)．
故選：A．
7. 在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若成等差數(shù)列，則的最小值為（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)和三角恒等變換化簡(jiǎn)得，然后結(jié)合和差公式將所求化簡(jiǎn)為關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式可得.
【詳解】由題知，由正弦定理得，
即，
因?yàn)?，所以?br>又，
所以，得，
所以最多有一個(gè)是鈍角，所以，
因?yàn)?br>，
由基本不等式得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為3.
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要在于利用三角恒等變換和三角形內(nèi)角和定理，將已知和所求轉(zhuǎn)化為的表達(dá)式，即可利用基本不等式求解.
8. 已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 方程有解
C. 是偶函數(shù)D. 是偶函數(shù)
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知得到，應(yīng)用遞推式及累加法求解析式，進(jìn)而判斷各項(xiàng)正誤.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，
由，，取，得，
取，得，故A錯(cuò)誤．
取，得，
所以，，?，，
以上各式相加得，
所以，不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
令，得，解得x=1或2，故B正確；
因?yàn)?，所以不是偶函?shù)，故D錯(cuò)誤.
故選：B
二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則（ ）
A. 的最小值為B. 的最小值為
C. 的最小值為D. 的最小值為
【答案】BD
【解析】
【分析】利用基本不等式判斷A，利用基本不等式“1”的妙用判斷B，利用平方法，結(jié)合基本不等式判斷C，利用完全平方公式，結(jié)合基本不等式判斷D，從而得解.
【詳解】對(duì)于A，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取最大值，故A不正確；
對(duì)于B，因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為，故B正確；
對(duì)于C，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即最大值為2，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值為，故D正確.
故選：BD
10. 已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)和，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B
C. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)值域?yàn)?br>D. 函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)和的范圍即可得，進(jìn)而根據(jù)可得即可判斷AB，根據(jù)整體法即可求解C ，利用函數(shù)圖象即可求解D.
【詳解】解：點(diǎn)代入解析式得，，即，
又 故A項(xiàng)正確.
由，解得， 又，，
由A項(xiàng)可知，則有，
因此， 又因?yàn)楹秃停?br>可知，，解得故B項(xiàng)正確.
由AB選項(xiàng)可知，， 則時(shí)，，此時(shí)函數(shù)值域?yàn)楣蔆項(xiàng)錯(cuò)誤.
由五點(diǎn)作圖法作出的圖象及的圖象，如下圖所示。
通過圖象可知與的圖像有3個(gè)不同交點(diǎn)，
因此函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).因此D項(xiàng)正確。
故選：ABD
11. 已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則下列選項(xiàng)中正確的是（ ）
A.
B.
C. 若，則
D. 若數(shù)列單調(diào)遞增，則的取值范圍是
【答案】ABC
【解析】
【分析】由推出，兩式相減即可判斷A；由推出，兩式相減即可判斷B；由分析知，an中奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，再由等差數(shù)列得前項(xiàng)和公式求和可判斷C；根據(jù)數(shù)列an單調(diào)遞增可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，①，②.
由①②式可得；，A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋?br>所以，
兩式相減得：，所以B正確；
對(duì)于C，因?yàn)椋?br>令，得，因?yàn)?，所以?br>令，得，因?yàn)椋?br>可得，
因?yàn)?，而，所以?br>所以an奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
所以
，所以C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D，，
令，則，所以，則，
又因?yàn)?，令，則，
所以，
同理：
，
，
因?yàn)閿?shù)列an單調(diào)遞增，所以，
解得：，
解得：，
解得：，
解得：，
解得：，
所以的取值范圍是，所以D不正確.
故選：ABC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用得出an的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，，若是數(shù)列的前項(xiàng)積，則當(dāng)取最大值時(shí)的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，列出方程求得，得到，結(jié)合，，進(jìn)而得到答案.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，其中，
因?yàn)?，可得，所以?br>解得或（舍去），則，
又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
所以當(dāng)取最大值時(shí)的值為．
故答案為：.
13. 為了測(cè)量隧道口、間的距離，開車從點(diǎn)出發(fā)，沿正西方向行駛米到達(dá)點(diǎn)，然后從點(diǎn)出發(fā)，沿正北方向行駛一段路程后到達(dá)點(diǎn)，再?gòu)狞c(diǎn)出發(fā)，沿東南方向行駛400米到達(dá)隧道口點(diǎn)處，測(cè)得間的距離為1000米.則隧道口間的距離是___________.

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理、余弦定理列式計(jì)算即得.
【詳解】在中，，由正弦定理得，
而，則，在中，，
由余弦定理得：.
故答案為：1000
14. 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若在的定義域內(nèi)存在一個(gè)區(qū)間在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則稱區(qū)間為函數(shù)的一個(gè)“漸緩增區(qū)間”．若對(duì)于函數(shù)，區(qū)間是其一個(gè)漸緩增區(qū)間，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】先通過f′x在區(qū)間上單調(diào)遞減，得到其導(dǎo)函數(shù)不大于零恒成立，通過參變分離求最值得的范圍，再通過在區(qū)間上單調(diào)遞增，得到其導(dǎo)函數(shù)不小于零恒成立，通過單調(diào)性求得的范圍，綜合可得答案.
【詳解】對(duì)于函數(shù)，
，令，
則，因?yàn)閒′x在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以恒成立，即恒成立，又，
所以，
又在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以恒成立，
所以，解得，
綜合得.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共60分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知
（1）證明：
（2）若，，求的周長(zhǎng).
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦函數(shù)的和差公式，結(jié)合正弦定理與余弦定理的邊角變換，化簡(jiǎn)整理即可得證；
（2）利用（1）中結(jié)論與余弦定理分別求得，從而求得，由此得解.
【小問1詳解】
已知，
可化為，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
整理得.
小問2詳解】
當(dāng)，時(shí)，，
，
所以，解得，
所以的周長(zhǎng)為
16. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用兩角和的正、余弦公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再由整體角范圍求解不等式可得單調(diào)區(qū)間；
（2）由伸縮變換與平移變換得解析式，得，根據(jù)整體角范圍求余弦值，再由角的關(guān)系，利用兩角和的余弦公式求解可得.
【小問1詳解】
.
由，
解得
即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；
【小問2詳解】
將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），
則得到函數(shù)的圖象，再向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，
所以.
若，則， .
由，得，又，
所以，則，
故
.
故的值為.
17. 已知數(shù)列是以公比為3，首項(xiàng)為3的等比數(shù)列，且.
（1）求出的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由利用累加法求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出an的通項(xiàng)公式.
（2）由得，利用錯(cuò)位相減法求出，不等式可轉(zhuǎn)化為，利用的單調(diào)性求出最小值即可.
【小問1詳解】
∵數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，∴，
∴當(dāng)時(shí)，，
即，∴，∴.
又也滿足上式，∴數(shù)列an的通項(xiàng)公式為；
【小問2詳解】
由（1），可得，
∴①，
②，
由①-②，得，
∴，
∴不等式可化為，
即對(duì)任意的恒成立，
令且為遞增數(shù)列，即轉(zhuǎn)化為.
又，所以，
綜上，λ的取值范圍是.
18. 已知函數(shù)，其中是實(shí)數(shù).
（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)不具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若恒成立，求的最小值.
【答案】（1）在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，解不等式即可求解；
（2）由題意在定義域內(nèi)有異號(hào)零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理列不等式求解即可；
（3）易知當(dāng)時(shí)，，再證能成立，即證：存在，使得恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其最值即可求解.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，則，
令，解得，令，解得，
所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；
【小問2詳解】
函數(shù)的圖象是連續(xù)的，且不具有單調(diào)性，
在定義域內(nèi)有正有負(fù)（有異號(hào)零點(diǎn)），
記，則在為負(fù)，為正，
在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
故存在，使得，
只需，即.
【小問3詳解】
對(duì)任意都成立，當(dāng)時(shí)，，
下證：能成立，即證：存在，使得恒成立，
記，故（必要性），
而，則，解得，
只需證：恒成立，
，由（2）知，其在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
在為正，在為負(fù)，在為負(fù)，
在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，得證；
綜上，的最小值為0.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：
一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；
二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問題處理．
19. 對(duì)于任意正整數(shù)n，進(jìn)行如下操作：若n為偶數(shù)，則對(duì)n不斷地除以2，直到得到一個(gè)奇數(shù)，記這個(gè)奇數(shù)為；若n為奇數(shù)，則對(duì)不斷地除以2，直到得出一個(gè)奇數(shù)，記這個(gè)奇數(shù)為.若，則稱正整數(shù)n為“理想數(shù)”.
（1）求20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)“理想數(shù)”；
（2）已知.求m的值；
（3）將所有“理想數(shù)”從小至大依次排列，逐一取倒數(shù)后得到數(shù)列，記的前n項(xiàng)和為，證明：.
【答案】（1）2和5為兩個(gè)質(zhì)數(shù)“理想數(shù)”
（2）的值為12或18
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“理想數(shù)”概念，結(jié)合列舉法可解；
（2）分析題意知道必為奇數(shù)，則必為偶數(shù)，結(jié)合整除知識(shí)得解；
（3）將數(shù)列適當(dāng)放縮，后分組，結(jié)合等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可.
【小問1詳解】
以內(nèi)質(zhì)數(shù)為，
，故，所以為“理想數(shù)”；
，而，故不是“理想數(shù)”；
，而，故是“理想數(shù)”；
，而，故不是“理想數(shù)”；
，而，故不是“理想數(shù)”；
，而，故不是“理想數(shù)”；
，而，故不是“理想數(shù)”；
，而，故不是“理想數(shù)”；
和5為兩個(gè)質(zhì)數(shù)“理想數(shù)”；
【小問2詳解】
由題設(shè)可知必為奇數(shù)，必為偶數(shù)，
存在正整數(shù)，使得，即：
，且，
，或，或，解得，或，
，或，即的值為12或18．
【小問3詳解】
顯然偶數(shù)"理想數(shù)"必為形如的整數(shù)，
下面探究奇數(shù)"理想數(shù)"，不妨設(shè)置如下區(qū)間：，
若奇數(shù)，不妨設(shè)，
若為"理想數(shù)"，則，且，即，且，
①當(dāng)，且時(shí)，；
②當(dāng)時(shí)，；
，且，
又，即，
易知為上述不等式的唯一整數(shù)解，
區(qū)間]存在唯一的奇數(shù)"理想數(shù)"，且，
顯然1為奇數(shù)"理想數(shù)"，所有的奇數(shù)"理想數(shù)"為，
所有奇數(shù)"理想數(shù)"的倒數(shù)為，
，即．

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