數(shù)學
考生注意：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知向量，，則（ ）
A. B.5 C.3 D.
2.在正六邊形中，（ ）
A. B. C. D.
3.在中，已知，，且的面積為3，則A=（ ）
A. B. C.或 D.或
4.已知單位向量，滿足，則（ ）
A. B. C. D.
5.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，則C=（ ）
A. B. C. D.
6.已知非零向量，滿足，則“”是“”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
7.已知等邊三角形ABC的邊長為4，D為邊的中點，E是邊上的動點，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
8.在中，已知，，角A的平分線與交于點D，點E滿足，則（ ）
A. B. C. D.
二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.已知向量，，則下列說法中正確的是（ ）
A.，能作為平面內(nèi)的基底
B.若，則
C.若，則存在唯一實數(shù)使得
D.若（為實數(shù)），則
10.在中，，，（a為常數(shù)），若滿足條件的三角形有且僅有兩個，則a的取值可能為（ ）
A.7 B.14 C.15 D.16
11.已知向量，滿足，，則（ ）
A.的最大值是3 B.的最小值是0
C.的最大值是 D.的最小值是4
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知向量，，，其中，命題p：若，則.能說明p為假命題的一組和的坐標分別為________，________.
13.“一江奔海萬千里，兩記呼樓六百年”.這副絕妙的對聯(lián)，是南京閱江樓六百年風雨滄桑的真實寫照.閱江樓，始建于明朝洪武七年（1374年），但明太祖朱元璋欲修未成，僅建有閱江樓地基后停工；1999年2月續(xù)建；2001年9月，閱江樓正式竣工.如圖，某同學為測量閱江樓的高度，在閱江樓的正東方向找到一座建筑物，在地面上點C處（B，C，N三點共線）測得建筑物頂部A?閱江樓頂部M的仰角分別為和，在A處測得閱江樓頂部M的仰角為，且，則閱江樓的高度為________.
14.已知在中，，則的最小值為________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（13分）
如圖，在中，M是邊的中點，N是線段的中點，設(shè)，.
（1）用，分別表示，；
（2）若，，，求.
16.（15分）
已知向量，，非零向量（其中）.
（1）當，時，，求的值；
（2）當時，求的最小值.
17.（15分）
在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
（1）求A；
（2）若的面積為，周長為18，求a.
18.（17分）
如圖，在中，已知M是邊的中點，，線段與交于點O.
（1）若，求的值；
（2）若，求的取值范圍.
19.（17分）
在中，已知，，E為邊的中點，以為邊作等邊三角形.
（1）如圖（1），若，求的面積；
（2）如圖（2），若，求.
2023—2024學年高一年級階段性測試（三）
數(shù)學·答案
一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.
1.答案B
命題意圖本題考查平面向量的運算與向量的模.
解析因為，所以，所以.
2.答案A
命題意圖本題考查平面向量的運算.
解析.
3.答案C
命題意圖本題考查三角形的面積公式與解三角形.
解析因為，所以，解得，又因為，所以或.
4.答案B
命題意圖本題考查向量的數(shù)量積.
解析，所以，所以.
5.答案C
命題意圖本題考查正弦定理的應(yīng)用與解三角形.
解析由及正弦定理得，因為，所以，易知，則，所以.
6.答案B
命題意圖本題考查向量的平行及充要條件的判斷.
解析若，當方向相反時，，所以充分性不成立；若，則，則的方向相同，所以，即必要性成立.
7.答案D
命題意圖本題考查平面向量的應(yīng)用.
解析設(shè)邊的中點為，連接，以為原點，分別以直線為軸?軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則.設(shè)當時，取最小值，最小值為，當時，取最大值，最大
值為的取值范圍是.
8.答案C
命題意圖本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式?平面向量的應(yīng)用及解三角形.
解析設(shè)的角的對邊分別為.因為，所以或，又因為，所以，所以，所以.因為，所以，平方得，所以，所以.
二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.答案AD
命題意圖本題考查平面向量基本定理及概念.
解析對于，因為，所以，所以兩個向量不共線，可以作為基底，故A正確；對于B，若，則向量與的大小一樣，方向不確定，不一定共線，故B錯誤；對于C，當時，雖然，但不存在實數(shù)使得，故C錯誤；D顯然正確.
10.答案BC
命題意圖本題考查解三角形.
解析因為滿足條件的有兩個，所以，即，而，故B，C正確.
11.答案ACD
命題意圖本題考查平面向量的綜合問題.
解析設(shè)向量的夾角為，故的最大值是3，故A正確；同理可得，故的最小值是1，故B錯誤；令，則，因為，所以，故，因為，所以，故的最大值是，最小值是4，故C，D正確.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.答案；（答案不唯一，縱坐標相同?橫坐標不相同即可，不符合要求不給分）
命題意圖本題考查平面向量的運算及假命題.
解析只需與的縱坐標相同，橫坐標不相同即可，如，此時.
13.答案52
命題意圖本題考查正弦定理的應(yīng)用.
解析由題意及圖知，則，在中，由正弦定理得，即，得.
14.答案3
命題意圖本題考查平面向量的應(yīng)用.
解析由得邊上的高.設(shè)邊上靠近的三等分點為，則，即，由三角形的性質(zhì)可知，所以.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.命題意圖本題考查平面向量的應(yīng)用及數(shù)量積.
解析（1）因為是的中點，所以，
因為是的中點，所以.
（2）因為，
所以.
由（1）知，，
所以
.
16.命題意圖本題考查平面向量基本定理及坐標表示.
解析（1）當時，，
所以，
所以，所以.
（2）由題意得，
.
因為，所以，即，
所以，
所以當時，取最小值，最小值為.
17.命題意圖本題考查正余弦定理?三角形的面積公式及解三角形.
解析（1）由及正弦定理得，
因為，所以，即.
又，故，即.
（2）由題得的面積，故，①
由余弦定理得，
又，故，
整理得，②
由①②得，所以.
18.命題意圖本題考查平面向量的運算.
解析（1）因為，
又因為，所以，
所以.
（2）因為三點共線，
所以，
又，且，
所以消去可得，
又因為，所以的取值范圍為.
19.命題意圖本題考查正余弦定理?三角恒等變換及解三角形.
解析（1）在中，由余弦定理可得
12，即，
所以，所以.
因為為等邊三角形，所以.
因為，且為邊的中點，所以，
又，
所以的面積為.
（2）因為，
所以，即，
所以.
因為為等邊三角形，所以，
所以，
所以，
故.

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