一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，錯(cuò)選或者多選得0分.
1. 一物體做直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為，則時(shí)，其速度為（ ）
A. －2B. －1C. 0D. 2
【正確答案】D
【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義求解即可；
【詳解】;
故選：D
2. 已知離散型隨機(jī)變量的分布列為
則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】利用離散型隨機(jī)變量的分布列求出，再利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)即可求出.
【詳解】，
．
故選：C.
3. 設(shè)函數(shù) ，的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A. B. C. 和D.
【正確答案】C
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再解不等式即得單調(diào)遞減區(qū)間.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，
由，即，解得或，
所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和.
故選：C
4. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，則下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A. 在區(qū)間上單調(diào)遞增B. 是的極大值點(diǎn)
C. 當(dāng)時(shí)，D. 在區(qū)間上單調(diào)遞減
【正確答案】C
【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的圖象，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性，推出結(jié)果．
【詳解】解：由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：導(dǎo)函數(shù)在，導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)為正，函數(shù)單調(diào)遞增，A正確；
時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以是的極大值點(diǎn)，B正確；
在區(qū)間上單調(diào)遞減，D正確；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，可能，所以C不正確；
故選：C．
5. 已知函數(shù)在處取得極小值，則的極大值為（ ）
A. 4B. 2C. D.
【正確答案】A
【分析】先由求出，再檢驗(yàn)是否符合題意即可.
【詳解】由題得，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極小值，
所以或，
當(dāng)時(shí)，，，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在處取得極小值，符合題意，
所以函數(shù)在處取得極大值為；
當(dāng)時(shí)，，，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在處取得極大值，不符合題意；
綜上，的極大值為4.
故選：A
6. 設(shè)甲袋有3個(gè)紅球，2個(gè)白球和5個(gè)黑球，乙袋有3個(gè)紅球，3個(gè)白球和4個(gè)黑球，先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，以、和分別表示由甲袋取出的球是紅球、白球和黑球的事件；再?gòu)囊掖须S機(jī)取出一球，以B表示由乙袋取出的球是紅球的事件，則（ ）
A. 與B相互獨(dú)立B. C. D.
【正確答案】C
【分析】AC選項(xiàng)，求出各個(gè)事件的概率，得到，，A錯(cuò)誤，C正確；BD選項(xiàng)，由條件概率公式進(jìn)行求解.
【詳解】AC選項(xiàng)，由題意得，，
，，
，，
故，C正確；
由于，故，
故與B不互相獨(dú)立，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，由條件概率得，B錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，，D錯(cuò)誤；
故選：C
7. 若直線l與兩函數(shù)、的圖象都相切，則該直線的斜率為（ ）
A. 0或1B. 1或C. 1或D. 或
【正確答案】C
【分析】設(shè)出直線方程，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得答案.
【詳解】設(shè)直線l的方程為，分別與兩函數(shù)相切于，
，，則，整理得①；
由，整理得②；
聯(lián)立①②可得，解得或.
故選：C
8. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可判斷，是偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，在減函數(shù)，把原不等式轉(zhuǎn)化為解不等式，進(jìn)而，解得即可.
【詳解】令，則，
當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，
即在上是增函數(shù)，由題意是定義在上的偶函數(shù)，所以，
所以，所以是偶函數(shù)，在單調(diào)遞減，
所以，，
即不等式等價(jià)為，
所以，解得或，
所以不等式解集為．
故選：D
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列命題正確的有（ ）
A. 已知函數(shù)在上可導(dǎo)，若，則
B. 已知函數(shù)，若，則
C.
D. 設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則
【正確答案】BD
【分析】通過導(dǎo)數(shù)的概念可判斷選項(xiàng)，對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)然后計(jì)算可判斷選項(xiàng)，直接用除法的求導(dǎo)法則可判斷選項(xiàng)，對(duì)于選項(xiàng)直接求導(dǎo)然后代數(shù)解方程即可.
【詳解】對(duì)于因?yàn)楹瘮?shù)在上可導(dǎo)，且，
所以，故錯(cuò)誤.
對(duì)于因?yàn)?，若則，即，故正確.
對(duì)于因?yàn)?，故錯(cuò)誤.
對(duì)于因?yàn)?故，故，正確.
故選:
10. 從含有3道代數(shù)題和2道幾何題的5道試題中隨機(jī)抽取2道題，每次從中隨機(jī)抽出1道題抽出的題不再放回，則（ ）
A. “第1次抽到代數(shù)題”與“第2次抽到代數(shù)題”相互獨(dú)立
B. “第1次抽到代數(shù)題”與“第1次抽到幾何題”是互斥事件
C. “第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題”的概率是
D. 在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率是
【正確答案】BCD
【分析】根據(jù)互斥事件，獨(dú)立事件的定義判斷AB，利用條件概率公式計(jì)算判斷CD．
【詳解】第一次抽到代數(shù)題，第二次抽到代數(shù)題為
即不獨(dú)立，故A錯(cuò)誤；
“第一次抽到代數(shù)題”與“第一次抽到幾何體”顯然不可能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，故B正確；
，故C正確；
，故D正確.
故選：BCD.
11. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)
B. 當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)
C. 點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心
D. 當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)可作曲線的三條切線
【正確答案】ABD
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求解極值點(diǎn)即可判斷A；根據(jù)函數(shù)單調(diào)性以及極值的正負(fù)即可判斷B；利用函數(shù)對(duì)稱的性質(zhì)即可判斷C；設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線的方程，結(jié)合條件把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，由題知，定義域?yàn)椋瑒t，
當(dāng)時(shí)，令，得或，
令，得或，
令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值，在處取得極小值，
所以為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
且，
，
因?yàn)?，所以，?br>所以，，
所以有三個(gè)零點(diǎn)，B正確；
對(duì)于C，若點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，則滿足恒成立，
因?yàn)椋?br>，
所以，其值不恒為0，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，設(shè)過點(diǎn)的直線與相切的切點(diǎn)為，
則，且切線斜率為，
故切線的方程為，即，
因?yàn)榍芯€過，則，
整理得，即，
構(gòu)造函數(shù)與，
對(duì)于函數(shù)，，
令，得，
令，得或，即該函數(shù)在和上單調(diào)遞增，
令，得，即該函數(shù)在上單調(diào)遞減，
時(shí)，函數(shù)有極小值；時(shí)，函數(shù)有極大值，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
作出函數(shù)與的圖象，如圖，
因?yàn)椋裕?br>所以函數(shù)與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
即方程有三個(gè)解，
即過點(diǎn)可作曲線的三條切線，D正確.
故選：ABD.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，雙空題第一空2分，第二空3分.不需要寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填在答題卡相應(yīng)位置上.
12. 設(shè)隨機(jī)變量，且，則______；若，則的方差為______．
【正確答案】 ①. ## ②.
【分析】(1)用二項(xiàng)分布的概率公式可解；
(2)用二項(xiàng)分布的方差結(jié)論即可解決.
【詳解】(1) ,則，
則，解得
(2) ，由(1)得，則．
，則
故；．
13. 已知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m最大值是__________.
【正確答案】
【分析】根據(jù)在函數(shù)的定義域上，恒成立，求參數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)椋?
所以，.
由在定義域上單調(diào)遞增，所以在上恒成立.
即，.
因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）.
所以.
所以實(shí)數(shù)的最大值為.
故
14. 若，，，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，的大小關(guān)系為__________（用“＞”連接）.
【正確答案】
【分析】求導(dǎo)，確定函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可比較大小.
【詳解】由，
，
當(dāng)，可知，
所以在單調(diào)遞減，
又，，，
所以，
故答案為.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 設(shè)某倉庫有一批產(chǎn)品，已知其中50%，30%，20%依次是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的，且甲、乙、丙廠生產(chǎn)的次品率分別為，，.
（1）現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取一件，求取到次品的概率；
（2）若從這批產(chǎn)品中取出一件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)是次品，求該件產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的概率.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）用，，分別表示事件取到的這件產(chǎn)品是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的，利用全概率公式求解即可；
（2）利用條件概率與獨(dú)立事件的概率公式求解即可.
【小問1詳解】
用，，分別表示事件取到的這件產(chǎn)品是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的，
以表示事件取到的產(chǎn)品為次品，則
，，，
，，
由全概率公式，得
.
【小問2詳解】
若從這批產(chǎn)品中取出一件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)是次品，
該件產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的概率為
.
16. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面，為棱的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）已知：
①求直線與平面所成角的正弦值；
②求點(diǎn)到平面的距離.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）①；②
【分析】（1）構(gòu)造線線平行，根據(jù)線線平行，證明線面平行.
（2）利用體積法求點(diǎn)到平面的距離，再求直線與平面所成角的正弦.
【小問1詳解】
如圖：
連接，交于，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以為中點(diǎn)，
又為中點(diǎn)，所以，又平面，平面，
所以平面.
【小問2詳解】
因?yàn)槠矫妫允侵苯侨切危?br>又為中點(diǎn)，且，所以.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則.
又因?yàn)?
所以.
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又底面為正方形，所以，平面，，
所以平面.
又平面，所以.所以為直角三角形.
中，，，.
因?yàn)椋詾橹苯侨切?，所?
所以.即點(diǎn)到平面的距離為.
又，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則.
即直線與平面所成角的正弦值為.
17. 設(shè)甲、乙、丙三人每次射擊命中目標(biāo)的概率分別為0.7，0.6和0.5．
（1）若三人各向目標(biāo)射擊一次，求至少有一人命中目標(biāo)概率；
（2）若甲單獨(dú)向目標(biāo)射擊三次，求命中次數(shù)X的分布列和均值．
【正確答案】（1）0.94
（2）分布列見解析，2.1
【分析】（1）先求出三人都不命中目標(biāo)的概率，再用1減去這個(gè)概率就能得到至少有一人命中目標(biāo)的概率.（2）甲單獨(dú)射擊三次，命中次數(shù)X服從二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求出X取不同值時(shí)的概率，進(jìn)而列出分布列，再根據(jù)均值公式求出均值.
【小問1詳解】
設(shè)甲命中目標(biāo)為事件A，乙命中目標(biāo)為事件B，丙命中目標(biāo)為事件C，
由題知，，
,
若三人各向目標(biāo)射擊一次,
則至少有一人命中目標(biāo)的概率．
【小問2詳解】
易知X的所有可能取值為0，1，2，3，
當(dāng)時(shí)，三次射擊都沒命中，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，三次射擊中有一次命中，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，三次射擊中有兩次命中，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，三次射擊都命中，此時(shí)，
則X的分布列為：
．
18. 福州某公園有一個(gè)半圓形荷花池（如圖所示），為了讓游客深入花叢中體驗(yàn)荷花美景，公園管理處計(jì)劃在半圓形荷花池中設(shè)計(jì)棧道觀景臺(tái)和棧道、、、，觀景臺(tái)在半圓形的中軸線上（如圖，與直徑垂直，與不重合），通過棧道把荷花池連接起來，使人行其中有置身花海之感．已知米，，棧道總長(zhǎng)度為．

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．
（2）若棧道的造價(jià)為每米千元，問：棧道長(zhǎng)度是多少時(shí)，棧道的建設(shè)費(fèi)用最??？并求出該最小值．
【正確答案】（1），
（2）棧道長(zhǎng)度是時(shí)建設(shè)費(fèi)用最小，最小值為千元
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的概念分別求、、的長(zhǎng)度即可；
（2）求出的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而即可求出最值.
【小問1詳解】
因?yàn)樵诎雸A形的中軸線上，，米，，
所以，，
所以，
所以棧道總長(zhǎng)度
，.
【小問2詳解】
由（1）得，，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)，即時(shí)，棧道的建設(shè)費(fèi)用最小，
建設(shè)費(fèi)用最小值為千元.
19. 已知函數(shù).
（1）討論在的單調(diào)性；
（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，.
【正確答案】（1）答案見解析
（2）證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，通過，討論導(dǎo)數(shù)符合，即可求解；
（2）不等式轉(zhuǎn)化為，設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，由解析式可知遞增，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知存在唯一的，使得，從而得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間并得到函數(shù)最小值，證明函數(shù)最小值大于等于0即可得證.
【小問1詳解】
由，
可得：，
當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)在恒成立，
所以在單調(diào)遞增；
當(dāng)，即時(shí)，由，可得，
由，可得，
所以在的單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減；
綜上：時(shí)，在單調(diào)遞增；
時(shí)，在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減；
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
原不等式即為：
即．
設(shè)，則．
由解析式易知在上單調(diào)遞增，且，，
所以存在唯一的，使得，即，．
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以，
故原命題成立．
0
1
X
0
1
2
3
P
0.027
0189
0.441
0.343

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