2024-2025學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高二上冊10月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

這是一份2024-2025學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高二上冊10月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析），共21頁。試卷主要包含了單項(xiàng)選擇題，多項(xiàng)選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1. 已知直線方程為，則該直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
2. 等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0，若，，成等比數(shù)列，則（ ）
A. 15B. －15C. －13D. 13
3. 如果數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足：，那么的值為（ ）
A. 38B. 39C. 40D. 41
4. 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則等于（ ）
A. B. C. 11D. 9
5. 過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（ ）
A. B.
C. 或D. 或
6. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則取最小值時(shí)，的值為（ ）
A. B. C. D. 或
7. 記為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知，則（ ）
A. 23B. 24C. 25D. 26
8. 設(shè)等比數(shù)列前n項(xiàng)和為，且，，則的最大值為（ ）
A. 32B. 16C. 128D. 64
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分．部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 直線恒過定點(diǎn)
B. 直線的傾斜角的取值范圍是
C. 經(jīng)過點(diǎn)，直線方程均可用表示
D. 直線和都經(jīng)過點(diǎn)，則過兩點(diǎn)，的直線方程為
10. 已知等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 數(shù)列是遞增數(shù)列B.
C. 使為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)為0D. 的最小值為
11. 數(shù)列an前n項(xiàng)和為，且滿足，，則（ ）
A. B.
C. D. 數(shù)列前項(xiàng)和為
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 若平面內(nèi)三點(diǎn)，，共線，則實(shí)數(shù)______．
13. 已知是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，若，，則的值是______．
14. 如圖，將一個(gè)邊長為1的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖（2），如此繼續(xù)下去，得圖（3）…，記為第n個(gè)圖形的周長，記為第n個(gè)圖形的面積，則______，______．
四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15. 設(shè)m為實(shí)數(shù)，直線在x軸、y軸上截距之和等于1，且與x軸的交點(diǎn)記作A．
（1）求點(diǎn)A坐標(biāo)；
（2）直線過點(diǎn)A且傾斜角是直線傾斜角的2倍，求直線的方程
16. 已知等差數(shù)列an的前項(xiàng)和為，且，
（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和．
17. 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，當(dāng)時(shí)，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和.
18 已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，
（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求；
（3）對于（2）中的，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)k的最大值．
19. 記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）證明：；
（3）令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，設(shè)，記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前50項(xiàng)和．
2024-2025學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 已知直線方程為，則該直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】把直線的一般式方程化為斜截式方程，然后根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【詳解】，
由此可知該直線的斜率為，所以直線的傾斜角為，
故選：A
2. 等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0，若，，成等比數(shù)列，則（ ）
A. 15B. －15C. －13D. 13
【正確答案】C
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，
因?yàn)?，，成等比?shù)列，
所以有，或舍去，
，
故選：C
3. 如果數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足：，那么的值為（ ）
A. 38B. 39C. 40D. 41
【正確答案】B
【分析】根據(jù)與之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
故選：B
4. 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則等于（ ）
A. B. C. 11D. 9
【正確答案】C
【分析】由定比數(shù)列的項(xiàng)之間的性質(zhì)求出的值，再用等比中項(xiàng)知道，從而計(jì)算出結(jié)果.
【詳解】∵，∴，∴
∴
故選：C
5. 過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（ ）
A B.
C. 或D. 或
【正確答案】D
【分析】在用截距式求直線方程時(shí)需要討論解決是否為0，截距為0則過原點(diǎn)；截距不為0用截距式設(shè)出方程后帶點(diǎn)即可.
【詳解】設(shè)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為：，，則
①，則直線過原點(diǎn)，則直線方程為：
②則，則設(shè)直線方程為：，即，則，∴直線方程為：
綜上所述：該直線方程為或
故選：D
6. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則取最小值時(shí)，的值為（ ）
A. B. C. D. 或
【正確答案】D
【分析】由題意按等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式列出含和的方程組，解出和，再利用求和公式寫出，進(jìn)而求出取最小值時(shí)的值即可.
【詳解】由題意知：，則，
解得，所以，
所以當(dāng)或時(shí)，取最小值.
故選：D.
7. 記為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知，則（ ）
A. 23B. 24C. 25D. 26
【正確答案】C
【分析】當(dāng)時(shí)，由可得，進(jìn)一步可得數(shù)列是等差數(shù)列，并求得其通項(xiàng)公式，即可求出；
【詳解】因?yàn)闉閿?shù)列an的前n項(xiàng)積，
當(dāng)時(shí)，，所以，∴，
當(dāng)時(shí)，，所以，
化簡可得：，
所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以.
所以.
故選：C.
8. 設(shè)等比數(shù)列前n項(xiàng)和為，且，，則的最大值為（ ）
A. 32B. 16C. 128D. 64
【正確答案】D
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，結(jié)合
【詳解】設(shè)該等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)?，所以?br>由，
，
即，
顯然當(dāng)，或時(shí)，最大，最大值為，
故選：D
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是要根據(jù)指數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分．部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 直線恒過定點(diǎn)
B. 直線的傾斜角的取值范圍是
C. 經(jīng)過點(diǎn)，的直線方程均可用表示
D. 直線和都經(jīng)過點(diǎn)，則過兩點(diǎn)，的直線方程為
【正確答案】ACD
【分析】對于A：將直線方程化為點(diǎn)斜式方程即可判斷；對于B：首先求出斜率范圍，進(jìn)而得到傾斜角范圍；對于C：利用兩點(diǎn)式即可判斷；對于D：將點(diǎn)代入兩個(gè)方程分析兩個(gè)方程的即可判斷.
【詳解】對于A，直線，即，直線恒過定點(diǎn)，故A正確；
對于B，直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則,所以，故B錯(cuò)誤；
對于C，經(jīng)過點(diǎn)，的直線方程均可用表示，故C正確；
對于D，直線和都經(jīng)過點(diǎn)，則
所以點(diǎn)，的直線方程為上，故D正確.
故選：ACD.
10. 已知等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 數(shù)列是遞增數(shù)列B.
C. 使為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)為0D. 的最小值為
【正確答案】ACD
【分析】化簡已知等式由函數(shù)的單調(diào)性可得A正確；取反例結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得B錯(cuò)誤；化簡已知等式可得C正確；結(jié)合等差數(shù)列的求和公式判斷為遞增數(shù)列，再討論的取值可得D正確；
【詳解】對于A，，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故A正確；
對于B，若，
則，，
所以，故B錯(cuò)誤；
對于C，由可知無整數(shù)，故C正確；
對于D，因?yàn)閍n和bn是等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為和，
所以為遞增，
所以也為遞增，
所以最小值為時(shí)，為，故D正確；
故選：ACD.
11. 數(shù)列an前n項(xiàng)和為，且滿足，，則（ ）
A. B.
C. D. 數(shù)列的前項(xiàng)和為
【正確答案】ABD
【分析】A選項(xiàng)直接由遞推關(guān)系式即可求出；B選項(xiàng)由即可判斷；C,D選項(xiàng)由分組求和及等比數(shù)列求和公式即可判斷.
【詳解】對于A：，正確；
對于B: ，有，
兩式相加，得，又，
所以，為偶數(shù)
由，得：，也即，為奇數(shù)，
所以，正確；
對于C:由B可知：
，
則，錯(cuò)誤
對于D：數(shù)列的前項(xiàng)和記為，
，正確
故選：ABD
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 若平面內(nèi)三點(diǎn)，，共線，則實(shí)數(shù)______．
【正確答案】-1或0或3
【分析】由向量共線的坐標(biāo)表示即可求解.
【詳解】，，
因?yàn)槿c(diǎn)，，共線，所以,
解得：，或，或
故-1或0或3
13. 已知是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，若，，則的值是______．
【正確答案】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列式求解首項(xiàng)和公差，然后代入通項(xiàng)公式求解即可.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則由題意可得，
解得，則
故
14. 如圖，將一個(gè)邊長為1的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖（2），如此繼續(xù)下去，得圖（3）…，記為第n個(gè)圖形的周長，記為第n個(gè)圖形的面積，則______，______．
【正確答案】 ①. ②.
【分析】根據(jù)等邊三角形的面積公式，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)第個(gè)圖形的邊長為
由題意知，從第2個(gè)圖形開始，每一個(gè)圖形邊長均為上一圖形邊長的，即，
bn是一個(gè)以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列
從第2個(gè)圖形開始，每一個(gè)圖形的邊數(shù)都是上一個(gè)圖形邊數(shù)的4倍，
第個(gè)圖形邊數(shù)為：，設(shè)
第個(gè)圖形的周長為：；
（2）設(shè)第個(gè)圖形的面積為，則
故第個(gè)圖形的面積為.
故；
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是從邊數(shù)的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解.
四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15. 設(shè)m為實(shí)數(shù)，直線在x軸、y軸上截距之和等于1，且與x軸的交點(diǎn)記作A．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）直線過點(diǎn)A且傾斜角是直線傾斜角的2倍，求直線的方程
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）把直線一般式化為截距式方程，結(jié)合題意進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合二倍角的正切公式、直線的點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以由，
由題意可知：，
因?yàn)?，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為；
【小問2詳解】
由（1）可知，所以有直線，
設(shè)直線傾斜角為，則有，
所以直線的傾斜角為，設(shè)直線的斜率為，
則有，
所以直線直線的方程為.
16. 已知等差數(shù)列an的前項(xiàng)和為，且，
（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）由，求得，再由，得到，求得，進(jìn)而求得數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
（2）由（1），利用等差數(shù)列的求和公式，求得,令，得到時(shí)，，時(shí)，，根據(jù)，分類討論，即可求解.
【小問1詳解】
解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為，
因?yàn)?，可得，所以?br>又因?yàn)?，所以，所以?br>所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為.
【小問2詳解】
解：由（1）知，，可得,
令，即，解得，
所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，且?shù)列bn的前項(xiàng)和，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
，
綜上可得，數(shù)列bn的前項(xiàng)和.
17. 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，當(dāng)時(shí)，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和.
【正確答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先由題中條件，得到，推出數(shù)列是等差數(shù)列，得出，進(jìn)而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）先由（1）的結(jié)果，結(jié)合（2）中條件，得到，利用等比數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，所以，，
因此，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，
所以，則有，
當(dāng)時(shí)，，
又也適合，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）當(dāng)時(shí)，得，所以；
當(dāng)時(shí)，由①，
得②，
①②得，則有，
可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為
所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，(符合上式)，故.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
求解本題的關(guān)鍵在于利用題中條件，確定是等差數(shù)列，求出，利用與之間關(guān)系，即可求解.（求解時(shí)，要注意的范圍）.
18. 已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求；
（3）對于（2）中的，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)k的最大值．
【正確答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）通過取倒數(shù)法，利用構(gòu)造法，結(jié)合等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可；
（3）結(jié)合（2）條件，結(jié)合作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，利用單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)，
所以，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比等比數(shù)列，
則有；
【小問2詳解】
由（1）可知：，
所以
【小問3詳解】
由（2）可知：，
所以由，
因?yàn)椋?br>所以由，
設(shè)，
由，
由二次函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，
，，
于是有時(shí)，，
所以，，因此，
存在，使得成立，則有，
因此實(shí)數(shù)k的最大值.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵利用作差法判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.
19. 記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）證明：；
（3）令，數(shù)列前n項(xiàng)和為，設(shè)，記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前50項(xiàng)和．
【正確答案】（1）
（2）證明見解析 （3）
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合累和法進(jìn)行求解即可；
（2）運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行證明即可；
（3）運(yùn)用裂項(xiàng)相消法，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列，
所以，
則有，
當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，
，顯然也適合，
即；
【小問2詳解】
由（1）可知，
，
于是有
；
【小問3詳解】
由（1）可知：，
所以，
于是有，
，
當(dāng)時(shí)，顯然上述不等式的沒有正整數(shù)解，即，
當(dāng)時(shí)，顯然上述不等式的正整數(shù)解為即，
當(dāng)時(shí)，顯然上述不等式的正整數(shù)解為，即，
于是.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式運(yùn)用裂項(xiàng)相法進(jìn)行求解.