?高一年級5月質(zhì)量檢測試卷·數(shù)學(xué)
注意事項：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知為虛數(shù)單位，若，則（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運算即可得到，再求出其模長即可得到結(jié)果.
【詳解】因為，則，所以.
故選：B
2. 已知，，，若，則（ ）
A. 1 B. 5 C. 8 D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出，的坐標(biāo)，依題意，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.
【詳解】因為，，，
所以，，
因為，所以，解得.
故選：D
3. 若向量，，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出、，再根據(jù)投影向量的定義計算可得.
【詳解】因為，，所以，，
所以在上的投影向量為.
故選：C
4. 魏晉南北朝時期，祖沖之利用割圓術(shù)以正4576邊形，求出圓周率約為，和真正的值相比，其誤差小于八億分之一，這個記錄在一千年后才給打破.若已知的近似值還可以表示成，則的值為（ ）
A. B. C. 8 D.
【答案】C
【解析】
【分析】將的近似值代入，利用倍角公式和誘導(dǎo)公式進行化簡即可.
【詳解】的近似值還可以表示成，
，
故選：C.
5. 設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列說法中錯誤的是（ ）
A. 若平面，，，則 B. 若，，，則
C. 若，，則 D. 若，，則
【答案】D
【解析】
【分析】由面面垂直的判定定理可判斷A、B；線面垂直的性質(zhì)定理可判斷C；由面面平行的判定定理可判斷D.
【詳解】對于A，因為平面，，所以平面，又因為，
所以，故A正確；
對于B，若，，則，又因為，所以，故B正確；
對于C，若，，則，故C正確；
對于D，若，，則可能與相交，故D錯誤.
故選：D.
6. 已知中，角，，的對邊分別為，，，的面積為，，，，則（ ）
A. 或 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由三角形的面積公式即可得到角，再由正弦定理即可得到結(jié)果.
【詳解】因為，所以，即，
且，所以，又，，
由正弦定理可得，，
因為，為銳角，所以.
故選：B
7. 在長方體中，已知，，為的中點，則直線與平面所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用線面垂直以及線線平行可得為直線與平面所成角的線面角，又三角形邊角關(guān)系即可求解，或者建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角公式即可求解．
【詳解】方法一：連接相交于，取中點，中點為,連接，
則,,
由于底面，平面，所以,
又,平面，所以平面，
所以平面,因此為直線與平面所成角，
,,所以,
則,

方法二：建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則,2,,,2,,,0,，
,2,，,0,，

由于所以平面的法向量為,2,，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
則直線與平面所成角的余弦值為．
故選：B．
8. 在三角形中，，，，若點滿足，則（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合平面向量數(shù)量積的線性運算求解即可.
【詳解】，
，
因為，，，
所以.
故選：D.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 關(guān)于復(fù)數(shù)的命題正確的有（ ）
A. 若復(fù)數(shù)，則
B. 若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則
C. 若，則的最小值為1
D. 若，則
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類即可判斷AB,根據(jù)復(fù)數(shù)模長的計算，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C，根據(jù)模長公式即可判斷D.
【詳解】由復(fù)數(shù)定義可知，若復(fù)數(shù)，則，，A正確；
若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，則，B錯誤；
設(shè)，的幾何意義是的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，
令，，
則，即的最小值為1，C正確；
若，但不一定成立，
比如，則，，D錯誤．
故選：AC．
10. 下列關(guān)于平面向量的說法中，正確的是（ ）
A. 對于任意向量、，有恒成立
B. 若平面向量，滿足，則的最大值是5
C. 若向量，為單位向量，，則向量與向量夾角為
D. 若非零向量，滿足，且，不共線，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】由平面向量的線性運算的幾何性質(zhì)可判斷A，根據(jù)模長的計算公式即可判斷B，數(shù)由夾角公式即可利用模長求解C，根據(jù)共線的性質(zhì)即可判斷D.
【詳解】對于A，由向量減法的三角形法則及三角形兩邊之差小于第三邊知恒成立，故A正確；
對于B，，
，故B正確；
對于C，向量，為單位向量，，，，，
對于D，，不共線，當(dāng)時，由，則，此時與，不共線矛盾，若時，此，也與，不共線矛盾，故，故D正確．
故選：ABD．
11 已知，，其中，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)相關(guān)知識進行等量代換即可求得答案.
【詳解】，∴，
∴A正確；
∴，
∴B錯誤；
，，
∴，
∴
∴D正確；


∴C正確.
故選:ACD.
12. 如圖，在正方體中，，分別為線段，的中點，在棱上.則下列命題正確的是（ ）

A. 直線直線
B. 直線平面
C. 直線平面
D. 設(shè)直線與直線所成的角為，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)題意作出輔助線結(jié)合線面垂直及平行的判定定理證明A、B、C，取的中點，連接、、，則即為直線與直線所成的角，再由銳角三角函數(shù)計算即可判斷D.
【詳解】對于A：連接交于點，連接、，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得為的中點，又為的中點，所以，
設(shè)正方體棱長為，
所以，，，
所以，顯然，故直線與直線不垂直，故A錯誤；

對于B：由正方體的性質(zhì)可得，平面，平面，所以，
，平面，所以平面，
平面，所以，同理可證，
，平面，所以直線平面，故B正確；

對于C：連接，交于點，連接，由正方體的性質(zhì)且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
平面，平面，所以平面，故C正確；

對于D：取中點，連接、、，因為，，所以，
則即為直線與直線所成的角，即，
設(shè)正方體的棱長為，，則，則，，
所以，
因為，所以，，
即，，，，
即，故D正確.

故選：BCD
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.
13. 若復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限，則實數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運算性質(zhì)，結(jié)合復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的特征進行求解即可.
【詳解】
因為復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限，
所以有，
故答案為：
14. 中國古典神話故事《白蛇傳》中“水漫金山寺”中的金山寺位于鎮(zhèn)江金山公園內(nèi)，唐宋時期，寺里有南北相向的兩座寶塔，一名薦慈塔，一名薦壽塔，后雙塔毀于火，明代重建該塔，當(dāng)年值逢慈禧60大壽，地方官員以此塔作為賀禮進貢，故取名慈壽塔.某校高一研究性學(xué)習(xí)小組為了實地測量該塔的高度，選取與塔底中心在同一個水平面內(nèi)的兩個測量基點與，在點測得：塔頂?shù)难鼋菫?，在的北偏東處，在的正東方向41米處，且在點測得與的張角為，則慈壽塔的高度約為__________米（四舍五入，保留整數(shù)）.

【答案】
【解析】
【分析】在中利用正弦定理求出，依題意為等腰直角三角形，即可得到.
【詳解】由題意可得在中，，，米，
所以，
在中利用正弦定理可得，
所有
，
因為，所以為等腰直角三角形，所以米．
故答案為：．
15. 在邊長為2的正方體中，是的中點，那么過點、、的截面圖形為__________（在“三角形、矩形、正方形、菱形”中選擇一個）；截面圖形的面積為__________.
【答案】 ①. 菱形 ②.
【解析】
【分析】利用直線與直線的平行關(guān)系確定截面；再利用菱形的面積公式求截面面積.
【詳解】
如圖，取的中點為，連接,
因為且,
所以四邊形為菱形，
所以過點、、的截面圖形為菱形；
連接,則,
所以截面圖形的面積為，
故答案為: 菱形；.
16. 已知，，，則的值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】先對已知條件變形，從而得到關(guān)于的方程，解出，從而求得.
【詳解】因為，
，，
所以，解得，
又因為，所以，所以.
故答案為：.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.
17. 已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若，求值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式及兩角和的正弦公式化簡，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；
（2）依題意可得，再由誘導(dǎo)公式及二倍角公式計算可得.
【小問1詳解】
因為
，
由，，解得，，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為，.
【小問2詳解】
因為，
所以，所以，
所以
.
18. 已知，，其中，均為銳角.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求出，即可求出，再由二倍角正切公式計算可得；
（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，，再根據(jù)利用兩角差的余弦公式計算可得.
【小問1詳解】
因為且為銳角，
所以，所以，
所以.
【小問2詳解】
因為、均為銳角，
所以，又，所以，
又且，
解得，（負值舍去），
所以
.
19. 如圖，和都垂直于平面，且，是的中點

（1）證明：直線//平面；
（2）若平面平面，證明：直線平面.
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】
【分析】（1）取中點，連接，由中位線定理可得，，進而可得為平行四邊形，由線面平行的判定定理，即可證明；
（2）過作于，利用面面垂直的性質(zhì)可得，結(jié)合垂直于平面即可證明．
【小問1詳解】
證明：取中點，連接，，
因為為的中點，所以，，
因為，均垂直面，所以，
因為，所以且，
所以為平行四邊形，
所以，面，面，
所以面．
【小問2詳解】
如圖，過作于，
平面平面，且兩平面的交線為,平面,
平面，
由平面，．
平面，平面，，
又平面，
平面．
.
20. 條件①；②；③（其中為的外接圓半徑）.在這三個條件中任選一個，補充到下面橫線上，并解答.
在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足__________.
（1）求角的大?。?br /> （2）若，求面積的最大值.（注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個計分）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）若選①，由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得，可求，進而可得的值；若選②，由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得，結(jié)合，可求的值；若選③，由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得，結(jié)合，可求的值．
（2）由題意利用余弦定理以及基本不等式可求的最大值，進而利用三角形的面積公式即可求解．
【小問1詳解】
若選①，因為，
由正弦定理可得，
因為，
可得，
可得，
又為三角形內(nèi)角，，
所以，
可得，
因為，
可得，
所以，
可得；
若選②，因為，
由正弦定理可得，
可得，
又為三角形內(nèi)角，，
可得，
因為，
所以；
若選③，因為（其中為的外接圓半徑），
又由正弦定理可得，
所以，
可得，
又為三角形內(nèi)角，，
所以，
因為，
所以．
【小問2詳解】
因為，，
所以余弦定理可得，
可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以面積的最大值為．
21. 如圖，在正方形中，，分別是，的中點，為的中點，若沿，及把這個正方形折成一個四面體，使，，三點重合，重合后的點記為.

（1）在四面體中，請寫出不少于3對兩兩垂直的平面，并證明其中的一對；
（2）若正方形的邊長為4，求點到平面的距離.
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）依題意可得，，，根據(jù)面面垂直的判定定理證明即可；
（2）根據(jù)，利用等體積法計算可得.
【小問1詳解】
依題意可得平面平面，平面平面，平面平面．
證明如下：
在折前正方形中，
，，
折成四面體后，，，
又，平面，平面．
平面，平面，
平面平面；
因為平面，平面平面；
又令正方體的邊長為，則，，
所以，所以，，平面，
所以，因為平面，所以平面平面.
【小問2詳解】
若正方形的邊長為，則，，
，
所以，
由（1）可知平面，所以，
設(shè)點到平面的距離為，又，
所以，即，解得．
22. 已知的內(nèi)角，，的對邊分別記為，，，且.
（1）證明：；
（2）若為銳角三角形，求的取值范圍.
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先通過正弦定理進行角化邊，再結(jié)合兩角和的正弦公式進行化簡即可證明；
（2）先求出的范圍，由正弦定理可得，利用三角恒等變換以及二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【小問1詳解】
由正弦定理可得：，
，即，
，所以，
即
∵，∴，即；
【小問2詳解】
∵A＝2C，∴，
∵為銳角三角形，所以,∴，
由正弦定理得，


因為，所以
，
令，則，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，.
故的取值范圍為.



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