一、單選題（每小題5分共40分）
1. 直線的傾斜角為（ ）
A. 45°B. 60°C. 135°D. 150°
【正確答案】C
【分析】根據(jù)直線的方程，算出直線的斜率，利用即可算出所求的傾斜角大?。?br>【詳解】根據(jù)題意：，
所以該直線的斜率為，設(shè)該直線的傾斜角為，且，
可得．
故選：C
2. 已知，則的值為（ ）
A. 2B. -2C. 1D. -1
【正確答案】B
分析】對(duì)求導(dǎo)代入求出得到，代入0可得答案.
【詳解】根據(jù)題意,，
則其導(dǎo)數(shù)，
令可得：，解可得，
則有，
故.
故選：B.
3. 已知的圓心C在x軸上，且與x軸相交于坐標(biāo)原點(diǎn)O和，則的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)已知條件可確定圓心和半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.
【詳解】由已知圓心坐標(biāo)為，半徑為1，
所以圓的方程為.
故選.
4. 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】對(duì)求導(dǎo)后，解不等式即可.
【詳解】因?yàn)?),
所以,
令,解得：,
故函數(shù)()的單調(diào)增區(qū)間是 .
故選：B.
5. 在四面體中，點(diǎn)滿足，若，則（ ）
A. B. C. D. 1
【正確答案】B
【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而求得的值，即可求解.
【詳解】如圖所示，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則，
可得，
因?yàn)?，可得?br>所以.
故選：B.
6. 若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. B. C. D. 或
【正確答案】B
【分析】根據(jù)已知條件可得a的值，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)分別計(jì)算與時(shí)函數(shù)的極大值點(diǎn)即可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋沂堑臉O值點(diǎn)．
所以，解得或．
①若，則．
當(dāng)或時(shí)；當(dāng)時(shí)，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以是的極小值點(diǎn)，
所以不合題意．
②若，則．
當(dāng)或時(shí)；當(dāng)時(shí)，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
所以是的極大值點(diǎn)，
所以符合題意．
綜述：
故選：B．
7. 某產(chǎn)品的銷售收入（萬元）是產(chǎn)量（千臺(tái)）的函數(shù)，且函數(shù)解析式為，生產(chǎn)成本（萬元）是產(chǎn)量（千臺(tái)）的函數(shù)，且函數(shù)解析式為，要使利潤(rùn)最大，則該產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)（ ）
A. 6千臺(tái)B. 7千臺(tái)C. 8千臺(tái)D. 9千臺(tái)
【正確答案】A
【分析】根據(jù)題意，得到利潤(rùn)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極大值（最大值），即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)利潤(rùn)為萬元，則，所以，
令，解得（舍去）或，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，也為最大值，
所以應(yīng)生產(chǎn)6千臺(tái)該產(chǎn)品時(shí)，利潤(rùn)最大.
故選:A.
8. 某五面體木塊的直觀圖如圖所示，現(xiàn)準(zhǔn)備給其5個(gè)面涂色，每個(gè)面涂一種顏色，且相鄰兩個(gè)面（有公共棱的兩個(gè)面）所涂顏色不能相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（ ）
A. 600種B. 1080種C. 1200種D. 1560種
【正確答案】D
【分析】分三類：用5種、4種、3種顏色涂在5個(gè)面上，再由分步計(jì)數(shù)及排列組合數(shù)求不同的涂色方案.
【詳解】若用5種顏色，從6種顏色任選5種再作全排，即種；
若用4種顏色，從6種顏色任選4種有種，
再任選一種顏色涂在其中一組對(duì)面上有種，其它3種顏色作全排有，
所以，共有種；
若用3種顏色，從6種顏色任選3種有種，
再任選兩種顏色涂在兩組對(duì)面上種，余下的一種顏色涂在底面有1種，
所以，共有種；
綜上，不同的涂色方案有種.
故選：D
二、多選題（每小題5分共20分：選錯(cuò)不得分，漏選得2分）
9. 下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】BC
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算可得.
【詳解】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：，故B正確；
對(duì)于C：，故C正確；
對(duì)于D：，故D錯(cuò)誤.
故選：BC
10. 已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】BD
【分析】分類討論焦點(diǎn)的位置，根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算即可.
【詳解】易知直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，
當(dāng)焦點(diǎn)為時(shí)，可知拋物線方程為：；
當(dāng)焦點(diǎn)為時(shí)，可知拋物線方程為.
故選：BD
11. 某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A. 若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為
B. 若物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)為
C. 若物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為
D. 若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不同時(shí)選，選法總數(shù)為
【正確答案】ABD
【分析】利用組合的概念進(jìn)行計(jì)算即可判斷A；分類討論物理和化學(xué)只選一門，物理化學(xué)都選然后進(jìn)行計(jì)算判斷B；利用間接法進(jìn)行分析判斷即可判斷C，將問題分三類討論：只選物理，只選化學(xué)，同時(shí)選物理和化學(xué)，由此進(jìn)行計(jì)算和判斷D.
【詳解】對(duì)于A：若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：若物理和化學(xué)選一門，有種方法，其余兩門從剩余的五門中選，有種選法；
若物理和化學(xué)選兩門，有種選法，剩下一門從剩余的五門中選，有種選法，所以總數(shù)為，而，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：若物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為，故C正確；
對(duì)于D：有3種情況：①選物理，不選化學(xué)，有種選法；
②選化學(xué)，不選物理，有種選法；
③物理與化學(xué)都選，有種選法.
故總數(shù)，故D錯(cuò)誤.
故選：ABD
12. 已知數(shù)列滿足，則（ ）
A. 為等比數(shù)列
B. 的通項(xiàng)公式為
C. 為單調(diào)遞減數(shù)列
D. 的前n項(xiàng)和
【正確答案】BCD
【分析】，則得到為等差數(shù)列，即可判斷A，求出其通項(xiàng)，即可判斷A，利用函數(shù)單調(diào)性即可判斷C，利用等差數(shù)列的前和公式即可判斷D.
【詳解】因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
，即，故選項(xiàng)B正確；
根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)?，，則數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，故選項(xiàng)C正確；
前項(xiàng)和，故選項(xiàng)D正確,
故選：BCD.
三、填空題（每小題5分共20分）
13. 若，則_____________.
【正確答案】
【分析】根據(jù)排列數(shù)、組合數(shù)公式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?，且?br>又，所以，即，
解得或（舍去）.
故
14. 由數(shù)字1，2，3，4可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字且比1300大的正整數(shù)__________.
【正確答案】22個(gè)
【分析】根據(jù)千位為1和不為1，由排列組合即可求解.
【詳解】當(dāng)千位和百位分別為1，3時(shí)，則十位和個(gè)位有個(gè)符合條件的,
當(dāng)千位和百位分別為1，4時(shí)，則十位和個(gè)位有個(gè)符合條件的,
當(dāng)千位為不為1時(shí)，共有個(gè)符合條件,
故共有個(gè),
故答案為:22個(gè)
15. 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)B為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為___．
【正確答案】18
【分析】根據(jù)給定條件，求出橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及半焦距即可得解.
【詳解】橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，則半焦距，
因此，
所以的周長(zhǎng)為.
故18
16. 若直線是曲線與曲線的公切線，則______．
【正確答案】5
【分析】由直線是曲線的切線求解，可得切線方程，再設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)，由切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率，且切點(diǎn)處的函數(shù)值相等列式求解n，則答案可求．
【詳解】由，得，由，解得，
則直線與曲線相切于點(diǎn)，
∴，得，
∴直線是曲線的切線，
由，得，設(shè)切點(diǎn)為，
則，且，聯(lián)立可得，
解得，所以．
∴．
故5．
四、解答題（17題10分，18-22每題12分）
17. 已知函數(shù)在處取得極值.
（1）求實(shí)數(shù)的值和函數(shù)的極值；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值.
【正確答案】（1），，
（2）
【分析】（1）由題意得，代入求值，再求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值；
（2）結(jié)合（1）可得函數(shù)的單調(diào)性，求端點(diǎn)函數(shù)值，從而求出函數(shù)的最小值．
【小問1詳解】
函數(shù)，則，
又函數(shù)在處取得極值，
所以有；
此時(shí)，則，
所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值，在處取得極小值，符合題意，
所以，；
【小問2詳解】
由（1）可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上的最小值為和中較小的一個(gè)，
又，，
故函數(shù)在上的最小值為.
18. 已知圓
（1）若直線過定點(diǎn)，且與圓C相切，求直線的方程；
（2）若圓D的半徑為3，圓心在直線上，且與圓C外切，求圓D的方程．
【正確答案】（1）或
（2）或
【分析】（1）由點(diǎn)到直線的距離等于半徑，即可分情況求解，
（2）由兩圓外切圓心距與半徑之和的關(guān)系，即可列方程求解.
【小問1詳解】
圓
化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，
所以圓C的圓心為，半徑為
①若直線的斜率不存在，即直線為，符合題意．
②若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為即
由題意知，圓心到已知直線的距離等于半徑2，
所以，即，
解得，所以直線方程為
綜上，所求直線的方程為或
【小問2詳解】
依題意，設(shè)
又已知圓C的圓心為，半徑為2，
由兩圓外切，可知，
所以，
解得或所以或，
所以所求圓D的方程為或
本題考查圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系及圓與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．
先求出圓心和半徑，然后分成直線斜率存在或不存在兩種情況，利用圓心到直線的距離等于半徑列方程可求得直線的方程．
設(shè)出圓D圓心坐標(biāo)，利用兩圓外切，連心線等于兩圓半徑的和列方程，可求得a的值，從而求得圓D的方程．
19. 已知等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為10，且成等比數(shù)列
（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和
【正確答案】（1）或；（2）見解析.
【分析】
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可得解；
（2）由分組求和法結(jié)合等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得解.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由題意，得，解得或，
所以或；
（2）當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí).
20. 名男生和名女生站成一排．
（1）甲不在中間也不在兩端的站法有多少種？
（2）甲、乙兩人必須站在兩端的站法有多少種？
（3）男、女分別排在一起的站法有多少種？
（4）男、女相間的站法有多少種？
（5）甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種？
【正確答案】（1）種
（2）種
（3）種
（4）種
（5）種
【分析】（1）按有特殊位置元素的排列方法求解；
（2）按有特殊位置元素的排列方法求解；
（3）按捆綁法排列即可；
（4）按插空法排列即可；
（5）按部分均勻的排列方法求解即可.
【小問1詳解】
先排甲有種，其余有種，
共有種排法.
【小問2詳解】
先排甲、乙，再排其余人，
共有種排法.
【小問3詳解】
把男生和女生分別看成一個(gè)元素，
男生和女生內(nèi)部還有一個(gè)全排列，共種.
【小問4詳解】
先排名男生有種方法，
再將名女生插在男生形成的個(gè)空上有種方法，
故共有種排法.
【小問5詳解】
人共有種排法，
其中甲、乙、丙三人有種排法，
因而在種排法中每種對(duì)應(yīng)一種符合條件的排法，
故共有種排法．
21. 如圖，在平行六面體中，，，，，設(shè)，，.
（1）用向量，，表示并求
（2）求的值和異面直線與的夾角余弦值.
【正確答案】（1），；
（2）1，.
【分析】（1）利用空間向量的基底表示，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算得.
（2）利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及夾角公式求解即得.
【小問1詳解】
在平行六面體中，，
由，，得，，
所以.
【小問2詳解】
依題意，，則，
，則，
所以異面直線與的夾角余弦值為.
22. 設(shè)函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（3）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，試求的取值范圍．
【正確答案】（1）；
（2）單調(diào)區(qū)間見解析，函數(shù)有極小值，無極大值．
（3）
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，因?yàn)?，所以根?jù)點(diǎn)斜式可得切線方程；
（2）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再討論導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)，在上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值；當(dāng)時(shí)，一個(gè)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，確定單調(diào)性，并根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律確定極值；
（3）由（2）知，再由零點(diǎn)存在定理解得的取值范圍．
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，則，
所以，又，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．
【小問2詳解】
由，得（）．
①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)既無極大值，也無極小值；
②當(dāng)時(shí)，由，得或（舍去）．
于是，當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表：
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．
函數(shù)在處取得極小值，無極大值．
綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)既無極大值也無極小值；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)有極小值，無極大值．
【小問3詳解】
當(dāng)時(shí)，由（2）知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故函數(shù)在區(qū)間上至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．
當(dāng)時(shí)，由（2）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上的最小值為．
若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則需滿足，
即，整理得，所以．
故所求的取值范圍為．
方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法
（1）利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.
（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.
（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增

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