1．（5分）（2025?深圳模擬）集合M＝{x|x＜2}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，則M∩N＝（ ）
A．{1}B．{1，2}
C．{0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}
2．（5分）（2025?深圳模擬）已知z=1+2i2-i（i為虛數(shù)單位），則|z|＝（ ）
A．1B．2C．2D．4
3．（5分）（2025?深圳模擬）已知向量a→=（﹣1，1），b→=（1，3），若a→⊥（a→+λb→），則λ＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
4．（5分）（2025?深圳模擬）已知sin(α+β)sin(α-β)=3，則tanαtanβ=（ ）
A．13B．12C．2D．3
5．（5分）（2025?深圳模擬）已知函數(shù)f（x）的周期為2，且在（0，1）上單調(diào)遞增，則f（x）可以是（ ）
A．f（x）＝sinπxB．f（x）＝|sinπ2x|
C．f（x）＝cs2πxD．f（x）＝tanπx
6．（5分）（2025?深圳模擬）已知雙曲線E的中心為原點，焦點在x軸上，兩條漸近線夾角為60°，且點（1，1）在E上，則E的離心率為（ ）
A．3B．233C．2D．233或2
7．（5分）（2025?深圳模擬）已知曲線y＝ex﹣1與曲線y＝alnx+a（a＞0）只有一個公共點，則a＝（ ）
A．1eB．1C．eD．e2
8．（5分）（2025?深圳模擬）如圖，已知圓臺形水杯盛有水（不計厚度），杯口的半徑為4，杯底的半徑為3，高為6.5，當杯底水平放置時，水面的高度為水杯高度的一半，若放入一個半徑為r的球（球被完全浸沒），水恰好充滿水杯，則r＝（ ）
A．1.5B．2C．3D．3.25
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
（多選）9．（6分）（2025?深圳模擬）一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi），i∈（1，2，3，…，100），其中xi＞1895，i=1100 xi=2×105，i=1100 yi=970，求得其經(jīng)驗回歸方程為：y?=-0.02x+a?1，殘差為e1．對樣本數(shù)據(jù)進行處理：xi′＝ln（xi﹣1895），得到新的數(shù)據(jù)（xi′，y1），求得其經(jīng)驗回歸方程為：y?=-0.42x+a?2，其殘差為ui?．ei?，ui?分布如圖所示，且e?～N（0，σ12），u?～N（0，σ22），則（ ）
A．樣本（xi，yi）負相關(guān)
B．a(chǎn)1=49.7
C．σ12＜σ22
D．處理后的決定系數(shù)變大
（多選）10．（6分）（2025?深圳模擬）已知函數(shù)f（x）＝sinx+sin2x，則（ ）
A．f（x）為周期函數(shù)
B．存在t∈R，使得y＝f（x）的圖象關(guān)于x＝t對稱
C．f（x）在區(qū)間(π3，3π4)上單調(diào)遞減
D．f（x）的最大值為2
（多選）11．（6分）（2025?深圳模擬）已知O（0，0），A（a，0），B（a，1），C（0，1），D（0，﹣1），其中a≠0．點M，N分別滿足AM→=λAB→，ON→=(1-λ)OA→，其中0＜λ＜1，直線CM與直線DN交于點P，則（ ）
A．當λ=12時，直線CM與直線DN斜率乘積為-1a2
B．當a＝﹣1時，存在點P，使得|DP|＝2
C．當a＝2時，△PAC面積最大值為2-12
D．若存在λ，使得|DP|＞2，則a∈(-∞，-2)∪(2，+∞)
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。把答案填在答題卡中的橫線上。
12．（5分）（2025?深圳模擬）（理）在(2x+1x2)6的展開式中，常數(shù)項等于 ．（結(jié)果用數(shù)值表示）
13．（5分）（2025?深圳模擬）在等比數(shù)列{an}中，已知a1a3＝9，a2+a4＝9，則a4＝ ．
14．（5分）（2025?深圳模擬）某次考試共5道試題，均為判斷題．計分的方法是：每道題答對的給2分，答錯或不答的扣1分，每個人的基本分為10分．已知趙、錢、孫、李、周、吳6人的作答情況及前5個人的得分情況如下表，則吳的得分為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）（2025?深圳模擬）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，c2＝a2+b2﹣ab，cs2B＝sinC．
（1）求B；
（2）若b＝1，求△ABC的面積．
16．（15分）（2025?深圳模擬）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝23，∠BAC＝120°，D為AA1的中點，E為BC，的中點．
（1）證明：DE⊥平面B1BCC1；
（2）若BB1＝6，求直線A1B與平面DBC1所成角的正弦值．
17．（15分）（2025?深圳模擬）甲參加圍棋比賽，采用三局兩勝制，若每局比賽甲獲勝的概率為p（0＜p＜1），輸?shù)母怕蕿?﹣p，每局比賽的結(jié)果是獨立的．
（1）當p=23時，求甲最終獲勝的概率；
（2）為了增加比賽的趣味性，設(shè)置兩種積分獎勵方案．方案一：最終獲勝者得3分，失敗者得﹣2分：方案二：最終獲勝者得1分，失敗者得0分，請討論選擇哪種方案，使得甲獲得積分的數(shù)學期望更大．
18．（17分）（2025?深圳模擬）已知拋物線y2＝2x，過點N（2，0）作兩條直線l1，l2分別交拋物線于A，B和C，D（其中A，C在x軸上方）．
（1）當l1垂直于x軸，且四邊形ACBD的面積為45，求直線l2的方程；
（2）當l1，l2傾斜角互補時，直線AC與直線BD交于點M，求△MAB的內(nèi)切圓的圓心橫坐標的取值范圍．
19．（17分）（2025?深圳模擬）已知無窮數(shù)列{an}滿足，a1，a2為正整數(shù)，an＝|an+1﹣an+2|，n∈N*．
（1）若a1＝1，a3＝2，求a4；
（2）證明：“存在k∈N*，使得ak＝0”是“{an}是周期為3的數(shù)列”的必要不充分條件；
（3）若a1≠a2，是否存在數(shù)列{an}，使得an＜2025恒成立？若存在，求出一組a1，a2的值；若不存在，請說明理由．
2025年廣東省深圳市高考數(shù)學一調(diào)試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
二．多選題（共3小題）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．（5分）（2025?深圳模擬）集合M＝{x|x＜2}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，則M∩N＝（ ）
A．{1}B．{1，2}
C．{0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}
【解答】解：M＝{x∈N|0≤x＜4}＝{0，1，2，3}．
又N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
所以M∩N＝{0，1，2}．
故選：C．
2．（5分）（2025?深圳模擬）已知z=1+2i2-i（i為虛數(shù)單位），則|z|＝（ ）
A．1B．2C．2D．4
【解答】解：z=1+2i2-i=(1+2i)(2+i)(2-i)(2+i)=i，
則|z|＝1．
故選：A．
3．（5分）（2025?深圳模擬）已知向量a→=（﹣1，1），b→=（1，3），若a→⊥（a→+λb→），則λ＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【解答】解：若a→⊥（a→+λb→），
則a→?(a→+λb→)=a→2+λa→?b→=0，
向量a→=（﹣1，1），b→=（1，3），
則2+2λ＝0，解得λ＝﹣1．
故選：B．
4．（5分）（2025?深圳模擬）已知sin(α+β)sin(α-β)=3，則tanαtanβ=（ ）
A．13B．12C．2D．3
【解答】解：由sin(α+β)sin(α-β)=sinαcsβ+csαsinβsinαcsβ-csαsinβ=tanα+tanβtanα-tanβ=3可得：tanα＝2tanβ，
所以tanαtanβ=2．
故選：C．
5．（5分）（2025?深圳模擬）已知函數(shù)f（x）的周期為2，且在（0，1）上單調(diào)遞增，則f（x）可以是（ ）
A．f（x）＝sinπxB．f（x）＝|sinπ2x|
C．f（x）＝cs2πxD．f（x）＝tanπx
【解答】解：f（x）＝sinπx的周期為T=2ππ=2，當x∈（0，1）時，πx∈（0，π），f（x）在（0，1）上不單調(diào)，A錯誤；
f（x）＝|sinπ2x|的周期為T=ππ2=2，當x∈（0，1）時，π2x∈（0，π2），f（x）＝|sinπ2x|＝sinπ2x在（0，1）上單調(diào)遞增，B正確；
f（x）＝cs2πx的周期為T=2π2π=1，C錯誤；
f（x）＝tanπx的周期為T=ππ=1，D錯誤．
故選：B．
6．（5分）（2025?深圳模擬）已知雙曲線E的中心為原點，焦點在x軸上，兩條漸近線夾角為60°，且點（1，1）在E上，則E的離心率為（ ）
A．3B．233C．2D．233或2
【解答】解：已知雙曲線E的中心為原點，焦點在x軸上，
設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b2=1，其中a＞0，b＞0，
則雙曲線的漸近線方程為y=±bax，
又兩條漸近線夾角為60°，
則ba=3或ba=33，
又點（1，1）在E上，
則1a2-1b2=1，
則a＜b，
即ba=3，
則e=ca=a2+b2a2=2．
故選：C．
7．（5分）（2025?深圳模擬）已知曲線y＝ex﹣1與曲線y＝alnx+a（a＞0）只有一個公共點，則a＝（ ）
A．1eB．1C．eD．e2
【解答】解：f（x）＝ex﹣1﹣alnx﹣a（x＞0），則f′(x)=ex-1-ax，
令g（x）＝f′（x），則g'(x)=ex-1+ax2＞0，
所以f′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
①若a＝1，則f′（1）＝0，所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞） 上單調(diào)遞增，所以f（x）min＝f（1）＝0，即f（x）只有一個零點，符合題意；
②若a≠1，f′（1）≠0，因為f′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以存在x0∈（0，+∞），使得f'（x0）＝0，
即f′（x）在（0，x0）上小于零，在（x0，+∞） 上大于零，
所以f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，而f（1）＝1﹣a≠0，所以f（x0）＜0，
又因為當x→0時，f（x）→+∞；當x→+∞時，f（x）→+∞，根據(jù)零點存在性定理，f（x）在（0，x0）和（x0，+∞） 上各有一個零點，不符合題意．
綜上，a＝1．
故選：B．
8．（5分）（2025?深圳模擬）如圖，已知圓臺形水杯盛有水（不計厚度），杯口的半徑為4，杯底的半徑為3，高為6.5，當杯底水平放置時，水面的高度為水杯高度的一半，若放入一個半徑為r的球（球被完全浸沒），水恰好充滿水杯，則r＝（ ）
A．1.5B．2C．3D．3.25
【解答】解：根據(jù)題意可得放球前水面圓的半徑為4+32=72，水的高度為6.52，
所以根據(jù)題意可得13×[π×(72)2+π×32+212π]×6.52+43πr3=13×(π×42+π×32+12π)×6.5，
解得r＝3.25．
故選：D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
（多選）9．（6分）（2025?深圳模擬）一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi），i∈（1，2，3，…，100），其中xi＞1895，i=1100 xi=2×105，i=1100 yi=970，求得其經(jīng)驗回歸方程為：y?=-0.02x+a?1，殘差為e1．對樣本數(shù)據(jù)進行處理：xi′＝ln（xi﹣1895），得到新的數(shù)據(jù)（xi′，y1），求得其經(jīng)驗回歸方程為：y?=-0.42x+a?2，其殘差為ui?．ei?，ui?分布如圖所示，且e?～N（0，σ12），u?～N（0，σ22），則（ ）
A．樣本（xi，yi）負相關(guān)
B．a(chǎn)1=49.7
C．σ12＜σ22
D．處理后的決定系數(shù)變大
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：
對于A，樣本數(shù)據(jù)（xi，yi），i∈（1，2，3，…，100）的經(jīng)驗回歸方程為：y?=-0.02x+a?1，
其相關(guān)系數(shù)為負值，則樣本（xi，yi）負相關(guān)，A正確；
對于B，樣本數(shù)據(jù)（xi，yi），i∈（1，2，3，…，100）的經(jīng)驗回歸方程為：y?=-0.02x+a?1，
其中x=1100i=1100 xi＝2×103，y=1100i=1100 xi＝9.7，則有9.7＝﹣0.02×2×103+a1，解可得a1=49.7，B正確；
對于C，由分布圖，ui?的分布更加集中，故σ12＞σ22，C錯誤；
對于D，處理后，殘差的絕對值更小，即擬合的效果變好，其決定系數(shù)變大，D正確．
故選：ABD．
（多選）10．（6分）（2025?深圳模擬）已知函數(shù)f（x）＝sinx+sin2x，則（ ）
A．f（x）為周期函數(shù)
B．存在t∈R，使得y＝f（x）的圖象關(guān)于x＝t對稱
C．f（x）在區(qū)間(π3，3π4)上單調(diào)遞減
D．f（x）的最大值為2
【解答】解：對于A，f（x+2π）＝sin（x+2π）+sin[2（x+2π）]＝sinx+sin2x＝f（x），
所以2π是f（x）的周期，故A正確；
對于B，假設(shè)存在t∈R，使得y＝f（x）的圖象關(guān)于x＝t對稱，則f（x）＝f（2t﹣x），
即sinx+sin2x＝sin（2t﹣x）+sin[2（2t﹣x）]對任意x∈R恒成立，
則當x＝0時，有sin2t+sin4t＝0，所以4t＝2t+（2k+1）π，k∈Z，
解得t＝（k+12）π，k∈Z，
此時sin（2t﹣x）＝sin（2kπ+π﹣x）＝sin（π﹣x）＝sinx，
sin[2（2t﹣x）]＝sin（4kπ+2π﹣2x）＝﹣sin2x，
故sinx+sin2x＝sin（2t﹣x）+sin[2（2t﹣x）]對任意x∈R不恒成立，
所以假設(shè)不成立，B選項錯誤；
對于C，f'（x）＝csx+2cs2x＝4cs2x+csx﹣2，
令t＝csx，則f'（x）化為y＝4t2+t﹣2，令y＜0，解得t∈（-1-338，-1+338）
x∈(π3，3π4)時，csx∈（-22，12），
因為-1-338＜-34＜-22，-1+338＞48=12，所以f'（x）＜0，
故f（x）在區(qū)間(π3，3π4)上單調(diào)遞減，C選項正確；
對于D，因為sinx≤1，sin2x≤1，所以f（x）≤2，若f（x）最大值為2，則sinx和sin2x同時取最大值1，
因為sin2x＝2sinxcsx，所以當sinx＝1時，若sin2x＝1，得csx＝1，與sin2x+cs2x＝1矛盾，
故D選項錯誤．故選：AC．
（多選）11．（6分）（2025?深圳模擬）已知O（0，0），A（a，0），B（a，1），C（0，1），D（0，﹣1），其中a≠0．點M，N分別滿足AM→=λAB→，ON→=(1-λ)OA→，其中0＜λ＜1，直線CM與直線DN交于點P，則（ ）
A．當λ=12時，直線CM與直線DN斜率乘積為-1a2
B．當a＝﹣1時，存在點P，使得|DP|＝2
C．當a＝2時，△PAC面積最大值為2-12
D．若存在λ，使得|DP|＞2，則a∈(-∞，-2)∪(2，+∞)
【解答】解：根據(jù)題意，可得M（a，λ），N（（1﹣λ）a，0），
所以kPC?kPD=λ-1a?1(1-λ)a=-1a2，即kCM?kDN=-1a2，故A項正確；
設(shè)P（x，y），則kPC?kPD=y-1x?y+1x=-1a2，整理得x2a2+y2=1(0＜x＜a)．
當a＝﹣1時，點P位于曲線x2+y2＝1（0＜x＜1）上，可知不存在點P，使得|DP|＝2，故B項錯誤；
當a＝2時，點P位于曲線x24+y2=1(0＜x＜2)上，
記點P（2csθ，sinθ），0＜θ＜π2，直線 AC方程為x+2y﹣2＝0，|AB|=5，
所以△PAB的面積S=12×5×|2csθ+2sinθ-2|5=|sinθ+csθ﹣1|=2sin（θ+π4）﹣1，
當θ=π4時，△PAB的面積的最大值為2-1，故C項錯誤；
若存在λ，使得|DP|＞2，則x2+（y+1）2＞4在x2a2+y2=1(0＜x＜a)的條件下有解，
即a2＞1+2y+1在0＜y＜1時有解，所以a2＞2，解得a∈(-∞，-2)∪(2，+∞)，故D項正確．
故選：AD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。把答案填在答題卡中的橫線上。
12．（5分）（2025?深圳模擬）（理）在(2x+1x2)6的展開式中，常數(shù)項等于 240 ．（結(jié)果用數(shù)值表示）
【解答】解：在(2x+1x2)6的展開式中，Tr+1=?6r(2x)6-r(1x2)r=26﹣r?6rx6﹣3r，令6﹣3r＝0，解得r＝2．
∴常數(shù)項=24×?62=240．
故答案為：240．
13．（5分）（2025?深圳模擬）在等比數(shù)列{an}中，已知a1a3＝9，a2+a4＝9，則a4＝ 6 ．
【解答】解：在等比數(shù)列{an}中，a1a3＝9，a2+a4＝9，
∴a1a1q2=9a1q+a1q3=9，
∴(a1q)2=9a1q(1+q2)=9，
∵1+q2＞0，∴a1q=3，q2=2，
則a4=a1q?q2=3×2＝6．
故答案為：6．
14．（5分）（2025?深圳模擬）某次考試共5道試題，均為判斷題．計分的方法是：每道題答對的給2分，答錯或不答的扣1分，每個人的基本分為10分．已知趙、錢、孫、李、周、吳6人的作答情況及前5個人的得分情況如下表，則吳的得分為 14 ．
【解答】解：根據(jù)無論答案是“√“還是“×”，一個答“√”的人和一個答“×”的人的得分和為2+（﹣1）＝1，
從而得到每道題前五人的得分比吳多2分，
∴吳的得分為4+1+4+4+1﹣10＝4，
∴加上基本分為14，
∴吳的得分為14．
故答案為：14．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）（2025?深圳模擬）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，c2＝a2+b2﹣ab，cs2B＝sinC．
（1）求B；
（2）若b＝1，求△ABC的面積．
【解答】解：（1）因為c2＝a2+b2﹣ab，
所以csC=a2+b2-c22ab=12，
因為C∈（0，π），所以C=π3，
因為cs2B＝sinC，所以cs2B=32，
因為0＜B＜2π3，所以0＜2B＜4π3，
所以2B=π6，所以B=π12；
（2）由（1）知，A=π-B-C=7π12，
由正弦定理得：asinA=bsinB，
得a=bsinAsinB=sin7π12sinπ12=sin(π3+π4)sin(π3-π4)=32×22+12×2232×22-12×22=3+13-1=2+3，
所以△ABC 的面積為12absinC=12×(2+3)×1×32=23+34．
16．（15分）（2025?深圳模擬）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝23，∠BAC＝120°，D為AA1的中點，E為BC，的中點．
（1）證明：DE⊥平面B1BCC1；
（2）若BB1＝6，求直線A1B與平面DBC1所成角的正弦值．
【解答】解：（1）證明：取BC中點M，連接AM，ME，
因為AB＝AC，所以AM⊥BC，
由于點E為正方形B1BCC1對角線的交點，E為BC1的中點，
所以EM為△BCC1的中位線，
所以EM∥CC1∥AD，
又EM=12CC1=12AA1=AD，
所以四邊形AMED為平行四邊形，
又因為AA1⊥平面ABC，AM?平面ABC，則AA1⊥AM，EM⊥AM，
由于EM，BC?平面B1BCC1，EM∩BC＝M，
所以AM⊥平面B1BCC1，
又因為DE∥AM，
所以DE⊥平面B1BCC1；
（2）由（1）可知：MA，MC，ME兩兩垂直，
如圖，以M為坐標原點，以MC所在直線為x軸，MA所在直線為y軸，ME所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，
在△A1B1C1中，由余弦定理可得：B1C12=A1B12+A1C12-2A1B1?A1C1?cs∠B1A1C1，
則B1C1＝6，
于是D(0，3，3)，B（﹣3，0，0），B1（﹣3，0，6），C1（3，0，6），A1(0，3，6)，
則BA1→=(3，3，6)，
設(shè)n→=(x，y，z)⊥平面DBC1，BD→=(3，3，3)，BC1→=(6，0，6)，
于是n→?BD→=0n→?BC1→=0，即3x+3y+3z=06x+6z=0，
令z＝1，則n→=(-1，0，1)，
設(shè)直線A1B與平面DBC1所成角為θ，
那么sinθ=|cs＜BA1→，、n1→＞|=|BA1→?n→||BA1→||n→|343×2=68，
即直線A1B與平面DBC1所成角的正弦值為68．
17．（15分）（2025?深圳模擬）甲參加圍棋比賽，采用三局兩勝制，若每局比賽甲獲勝的概率為p（0＜p＜1），輸?shù)母怕蕿?﹣p，每局比賽的結(jié)果是獨立的．
（1）當p=23時，求甲最終獲勝的概率；
（2）為了增加比賽的趣味性，設(shè)置兩種積分獎勵方案．方案一：最終獲勝者得3分，失敗者得﹣2分：方案二：最終獲勝者得1分，失敗者得0分，請討論選擇哪種方案，使得甲獲得積分的數(shù)學期望更大．
【解答】解：（1）甲在三局兩勝制中獲勝的兩種可能情況：
①前兩局連勝，其概率為23×23=49，
②前兩局一勝一負，第三局勝，其概率為2×23×13×23=827，
所以甲最終獲勝的概率為49+827=2027；
（2）方案一：甲獲勝得3分，失敗得﹣2分，
甲獲勝的概率為p2+2p2（1﹣p）＝p2（3﹣2p），
所以甲失敗的概率為1﹣p2（3﹣2p），
所以甲獲得積分的數(shù)學期望為E1＝3p2（3﹣2p）﹣2[1﹣p2（3﹣2p）]＝5p2（3﹣2p）﹣2，
方案二：甲獲勝得1分，失敗得0分，
甲獲勝的概率為p2+2p2（1﹣p）＝p2（3﹣2p），
所以甲失敗的概率為1﹣p2（3﹣2p），
所以甲獲得積分的數(shù)學期望為E2＝p2（3﹣2p）﹣0×[1﹣p2（3﹣2p）]＝p2（3﹣2p），
則E1﹣E2＝5p2（3﹣2p）﹣2﹣p2（3﹣2p）＝4p2（3﹣2p）﹣2＝﹣2（4p3﹣6p2+1），
令f（p）＝4p3﹣6p2+1，0＜p＜1，
則f′（p）＝12p2﹣12p＝12p（p﹣1）＜0，
所以f（p）在（0，1）上單調(diào)遞減，
又因為f（12）＝0，
所以當0＜p＜12時，f（p）＞0，即E1＜E2，
當p=12時，f（p）＝0，即E1＝E2，
當12＜p＜1時，f（p）＜0，即E1＞E2，
所以當0＜p＜12時，選擇方案二；當p=12時，選擇方案一和方案二相同；當12＜p＜1時，選擇方案一．
18．（17分）（2025?深圳模擬）已知拋物線y2＝2x，過點N（2，0）作兩條直線l1，l2分別交拋物線于A，B和C，D（其中A，C在x軸上方）．
（1）當l1垂直于x軸，且四邊形ACBD的面積為45，求直線l2的方程；
（2）當l1，l2傾斜角互補時，直線AC與直線BD交于點M，求△MAB的內(nèi)切圓的圓心橫坐標的取值范圍．
【解答】解：（1）當l1⊥x軸，令x＝2，則A（2，2），B（2，﹣2），|AB|＝4，
設(shè)直線l2：y＝kx﹣2k，C（xC，yC），D（xD，yD），
由于S=12×4×|xC-xD|=45，則|xC-xD|=25，
聯(lián)立y=kx-2ky2=2x，消去y得k2x2﹣（4k2+2）x+4k2＝0，則xC+xD=4+2k2xCxD=4，
所以(xC-xD)2=(4+2k2)2-16=20，則4+2k2=6，則k＝±1，
所以直線l2的方程為x+y﹣2＝0或x﹣y﹣2＝0．
（2）設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
因為kAB=y2-y1x2-x1=2y1+y2，同理：kCD=2y3+y4，kAC=2y1+y3，kBD=2y2+y4，
所以AB：y-y1=2y2+y1(x-x1)，即AB：（y1+y2）y﹣y1y2＝2x，
同理CD：（y3+y4）y﹣y3y4＝2x，AC：（y1+y3）y﹣y1y3＝2x，BD：（y2+y4）y﹣y2y4＝2x，
又因為kAB＝﹣kCD，直線AB和直線CD交于點N（2，0），
所以2y1+y2=-2y3+y4，且﹣y1y2＝﹣y3y4＝4，即y1y2=y3y4=-4y1+y2=-(y3+y4)，
y1-4y1=-y3+4y3，且y1≠y3，化簡得：y1y3＝4，于是y3＝﹣y2，y4＝﹣y1，
則(y1+4y1)y=2x+4-(y1+4y1)y=2x+4，解得x=-2y=0，所以點M（﹣2，0），
由于y4＝﹣y1，則x4＝x1，所以kMD=y4x4+2=-y1x1+2=-kMA，則x軸平分∠AMB，
設(shè)△MAB的內(nèi)切圓圓心Q（n，0），﹣2＜n＜2，則Q到MA的距離r=2n+44+(y1+4y1)2，
點Q到AB的距離r=4-2n4+(y1-4y1)2，于是4+2n4+(y1+4y1)2=4-2n4+(y1-4y1)2，
所以2+n2-n=4+(y1+4y1)24+(y1-4y1)2=(y12+16y12)+12(y12+16y12)-4=1+16(y12+16y12)-4，
由于y12+16y12＞8，當且僅當y12=4取等號（舍），
則1＜2+n2-n＜5，則0＜n＜3-5，
所以△MAB的內(nèi)切圓的圓心橫坐標的取值范圍為(0，3-5)．
19．（17分）（2025?深圳模擬）已知無窮數(shù)列{an}滿足，a1，a2為正整數(shù)，an＝|an+1﹣an+2|，n∈N*．
（1）若a1＝1，a3＝2，求a4；
（2）證明：“存在k∈N*，使得ak＝0”是“{an}是周期為3的數(shù)列”的必要不充分條件；
（3）若a1≠a2，是否存在數(shù)列{an}，使得an＜2025恒成立？若存在，求出一組a1，a2的值；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）因為an＝|an+1﹣an+2|對任意n∈N*成立，
令n＝1，得1＝a1＝|a2﹣a3|，所以1＝|a2﹣2|，則a2＝1或3，
若a2＝1，由a2＝|a3﹣a4|，則1＝|2﹣a4|，則a4＝1或3，
若a2＝3，由a2＝|a3﹣a4|，則3＝|2﹣a4|，則a4＝﹣1或5，
因為a4＝|a5﹣a6|＞0，綜上所述：a4＝1或3或5；
（2）證明：記a1＝x，a2＝y(tǒng)，
必要性：若{an}是周期為3的周期數(shù)列，a3＝a1+a2或a2﹣a1，
當a3＝a1+a2時，數(shù)列{an}的前5項為：x，y，x+y，x，y，
由a3＝|a4﹣a5|得x+y＝|x﹣y|，該式當且僅當x＝0或y＝0時成立，
與a1，a2為正整數(shù)矛盾；
當a3＝a2﹣a1時，數(shù)列{an}的前5項為：x，y，y﹣x，x，y，
由a2＝|a3﹣a4|得y＝|y﹣2x|，則y＝2x﹣y或y＝y(tǒng)﹣2x（舍去，此時x＝0），
因此x＝y(tǒng)，a3＝0，
此時數(shù)列{an}：x，x，0，x，x，0，x，x，0，…，存在k∈N*，使得ak＝0，
另一方面：取數(shù)列{an}：1，1，0，1，1，2，3，5，…，
其中當n≥3時，an+2＝an+1+an，此時數(shù)列{an} 不是周期數(shù)列，
綜上，“存在k∈N*，使得ak＝0”是“{an}是周期為3的周期數(shù)列”的必要不充分條件；
（3）不存在，理由如下：an＝|an+1﹣an+2|，等價于an+2＝an+1﹣an（*）或an+2＝an+1+an（**），
首先說明不存在k∈N*，使得ak＝0，
否則由ak﹣2＝|ak﹣1﹣ak|得ak﹣2＝ak﹣1，記為w，
所以ak﹣3＝|ak﹣2﹣ak﹣1|＝0，ak﹣4＝|ak﹣3﹣ak﹣2|＝w，ak﹣5＝|ak﹣4﹣ak﹣3|＝w，
依此類推得前k項為…，w，w，0，w，w，0，w，w，0（第k項），
則a1，a2要么相等，要么有一項為0，矛盾，
因此an≥1對任意n∈N*成立，
其次，不存在k∈N*，使得ak+2＝ak+1﹣ak以及ak+3＝ak+2﹣ak+1同時成立，
否則兩式相加得ak+3＝﹣ak，矛盾；
（i）若（*）式只對有限個正整數(shù)n才成立，
不妨設(shè)當且僅當n∈{p1，p2，…，pk}時（*）式成立，其中p1＜p2＜…＜pk，
則當n≥pk+1時，（**）式恒成立，此時an+2＝an+1+an≥an+1+1恒成立，
由此易知當n≥pk+1，an≥n﹣pk，因此數(shù)列{an}是無界數(shù)列；
（ii）若存在無限個正整數(shù)n使得（*）式成立，
不妨設(shè)當且僅當n∈{i1，i2，…，ik，…}時（*）式成立，其中i1＜i2＜…＜ik＜…，
考慮aim+1與aim，為方便書寫記im＝p，im+1＝p+j，j≥2，
則ap＝ap﹣1﹣ap﹣2，ap+1＝ap+ap﹣1，
若j＝2，則ap+j﹣1＝ap+1＝ap﹣1+ap≥ap﹣1+1，
若j＞2，則ap+2＝ap+1+ap，…，ap+j﹣1＝ap+j﹣2+ap+j﹣3，ap+j＝ap+j﹣1﹣ap+j﹣2，
則ap＜ap+1＜…＜ap+j﹣2＜ap+j﹣1，
此時ap+j﹣1＝ap+j+ap+j﹣2≥1+ap+j﹣2≥1+ap+1≥ap﹣1+2，
無論哪種情況總有ap+j﹣1≥ap﹣1+1成立，即aim+1-1≥aim-1+1恒成立，
記bk=aik-1，則bk+1≥bk+1恒成立，由此易得數(shù)列{an}是無界數(shù)列，
所以，存在n∈N*使得an≥2025，故不存在符合題意的a1，a2．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2025/4/6 22:54:52；用戶：高中數(shù)學朱老師；郵箱：rFmNt90mRiXzEYJeDrg1uSD0fc@；學號：37103942人
題號
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答案
C
A
B
C
B
C
B
D
題號
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答案
ABD
AC
AD
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題號
趙
錢
孫
李
周
吳
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