1．（5分）（2025?鹽城一模）已知集合S＝（﹣1，1），集合T＝{y|y＝sinx}，則S∪T＝（ ）
A．?B．SC．TD．R
2．（5分）（2025?鹽城一模）已知向量a→=（1，m），b→=（2，﹣1），且a→⊥b→，則m＝（ ）
A．-12B．12C．2D．﹣2
3．（5分）（2025?鹽城一模）設(shè)a為實(shí)數(shù)，則“a＜1”是“（a﹣1）（a﹣2）＞0”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
4．（5分）（2025?鹽城一模）在(1+33x)8的展開(kāi)式中，系數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)數(shù)是（ ）
A．9B．4C．3D．2
5．（5分）（2025?鹽城一模）若函數(shù)f（x）＝x2﹣2xsinα+1有零點(diǎn)，則cs2α的取值集合為（ ）
A．{﹣1，1}B．{0}C．{1}D．{﹣1}
6．（5分）（2025?鹽城一模）設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，若f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），且f（x）在[0，π]上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是（ ）
A．[53，+∞)B．[116，176)C．[53，83)D．[116，+∞)
7．（5分）（2025?鹽城一模）第15屆中國(guó)國(guó)際航空航天博覽會(huì)于2024年11月12日至17日在珠海舉行．本屆航展規(guī)?？涨埃状未蛟臁翱铡⒑?、陸”一體的動(dòng)態(tài)演示新格局，盡顯逐夢(mèng)長(zhǎng)空的中國(guó)力量．航展共開(kāi)辟了三處觀展區(qū)，分別是珠海國(guó)際航展中心、金鳳臺(tái)觀演區(qū)、無(wú)人系統(tǒng)演示區(qū)．甲、乙、丙、丁四人相約去參觀，每個(gè)觀展區(qū)至少有1人，每人只參觀一個(gè)觀展區(qū)．在甲參觀珠海國(guó)際航展中心的條件下，甲與乙不到同一觀展區(qū)的概率為（ ）
A．56B．34C．23D．12
8．（5分）（2025?鹽城一模）已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2是橢圓Ω的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓Ω上一點(diǎn)，△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心為Q．若5QF→1+3QF2→+3QP→=0→，則橢圓Ω的離心率為（ ）
A．12B．25C．37D．38
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，計(jì)18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
（多選）9．（6分）（2025?鹽城一模）某體育器材廠生產(chǎn)一批籃球，設(shè)單個(gè)籃球的質(zhì)量為X（單位：克）．若X～N（600，σ2），其中σ＞0，則（ ）
A．P(X＜600)=12
B．P（592＜X＜598）＜P（602＜X＜606）
C．P（X＜595）＝P（X＞605）
D．σ越小，P（X＜598）越大
（多選）10．（6分）（2025?鹽城一模）設(shè)z1，z2為復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的有（ ）
A．|z1|+|z2|＝|z1+z2|
B．z1+z2=z1+z2
C．若|z1|＝|z2|，則z12=z22
D．若z12＜0，則z1為純虛數(shù)
（多選）11．（6分）（2025?鹽城一模）已知曲線C：x3+y3＝1，則（ ）
A．曲線C關(guān)于直線y＝x對(duì)稱
B．曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
C．曲線C在直線x+y＝0的上方
D．曲線C與坐標(biāo)軸圍成的封閉圖形的面積大于π4
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，計(jì)15分.請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定位置上。
12．（5分）（2025?鹽城一模）函數(shù)f（x）＝x2+lnx的圖象在點(diǎn)（1，1）處的切線的斜率為 ．
13．（5分）（2025?鹽城一模）已知四棱錐P﹣ABCD的底面是平行四邊形，點(diǎn)E滿足PE→=13PD→．設(shè)三棱錐P﹣ACE和四棱錐P﹣ABCD的體積分別為V1和V2，則V1V2的值為 ．
14．（5分）（2025?鹽城一模）已知等差數(shù)列{an}的公差不為0．若在{an}的前100項(xiàng)中隨機(jī)抽取4項(xiàng)，則這4項(xiàng)按原來(lái)的順序仍然成等差數(shù)列的概率為 ．（用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)作答）
四、解答題：本大題共5小題，計(jì)77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)。
15．（13分）（2025?鹽城一模）在△ABC中，AB＝6，BC＝5．
（1）若C＝2A，求sinA的值；
（2）若△ABC為銳角三角形，csA=916，求△ABC的面積．
16．（15分）（2025?鹽城一模）如圖，在所有棱長(zhǎng)都為2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點(diǎn)E是棱AA1的中點(diǎn)，AB1⊥CE．
（1）求證：平面A1ABB1⊥平面ABC；
（2）若∠A1AB=π3，點(diǎn)P滿足A1C1→=3A1P→，求直線CP與平面A1ABB1所成角的正弦值．
17．（15分）（2025?鹽城一模）已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)F1到雙曲線E的漸近線的距離為22，點(diǎn)A為雙曲線E的右頂點(diǎn)，且AF1＝2AF2．
（1）求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若四邊形ABCD為矩形，其中點(diǎn)B，D在雙曲線E上，求證：直線BD過(guò)定點(diǎn)．
18．（17分）（2025?鹽城一模）設(shè)函數(shù)f（x）＝ax+ka﹣x（k∈R，a＞0，a≠1）．
（1）當(dāng)k＝4時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）討論函數(shù)f（x）的圖象是否有對(duì)稱中心．若有，請(qǐng)求出；若無(wú)，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)k＝0時(shí)，?x∈(-∞，12)都有f(x)≤11-2x，求實(shí)數(shù)a的取值集合．
19．（17分）（2025?鹽城一模）若數(shù)列{an}滿足：對(duì)任意n∈N*（n≥3），總存在i、j∈N*，使得an＝aiaj（i≠j，i＜n，j＜n），則稱{an}是融積數(shù)列．
（1）判斷數(shù)列{e2n}是否為融積數(shù)列，并說(shuō)明理由；
（2）若等差數(shù)列{an}是融積數(shù)列，求{an}的通項(xiàng)公式；
（3）若融積數(shù)列{an}單調(diào)遞增，a1＝2，a2＝8，求使an=2123成立的n的最值．
2025年江蘇省鹽城市、南京市高考數(shù)學(xué)一模試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
二．多選題（共3小題）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙的指定位置填涂答案選項(xiàng)。
1．（5分）（2025?鹽城一模）已知集合S＝（﹣1，1），集合T＝{y|y＝sinx}，則S∪T＝（ ）
A．?B．SC．TD．R
【解答】解：因?yàn)榧蟂＝（﹣1，1），集合T＝{y|y＝sinx}＝{y|﹣1≤y≤1}＝[﹣1，1]，
所以S∪T＝[﹣1，1]＝T．
故選：C．
2．（5分）（2025?鹽城一模）已知向量a→=（1，m），b→=（2，﹣1），且a→⊥b→，則m＝（ ）
A．-12B．12C．2D．﹣2
【解答】解：a→=（1，m），b→=（2，﹣1），
若a→⊥b→，則2﹣m＝0，解得：m＝2，
故選：C．
3．（5分）（2025?鹽城一模）設(shè)a為實(shí)數(shù)，則“a＜1”是“（a﹣1）（a﹣2）＞0”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【解答】解：由（a﹣1）（a﹣2）＞0，解得a＜1或a＞2，
由a＜1能推出（a﹣1）（a﹣2）＞0，
但由（a﹣1）（a﹣2）＞0不一定能得到a＜1，
所以“a＜1”是“（a﹣1）（a﹣2）＞0”的充分不必要條件．
故選：A．
4．（5分）（2025?鹽城一模）在(1+33x)8的展開(kāi)式中，系數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)數(shù)是（ ）
A．9B．4C．3D．2
【解答】解：二項(xiàng)式(1+33x)8展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：
Tk+1=C8k(33x)k=C8k(313x)k=C8k313kxk，k=0，1，2，3，4，5，6，7，8，
因?yàn)?3k∈Z，
所以k＝0，3，6，
所以系數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)為：1，4，7，
故有3項(xiàng)．
故選：C．
5．（5分）（2025?鹽城一模）若函數(shù)f（x）＝x2﹣2xsinα+1有零點(diǎn)，則cs2α的取值集合為（ ）
A．{﹣1，1}B．{0}C．{1}D．{﹣1}
【解答】解：函數(shù)f（x）＝x2﹣2xsinα+1有零點(diǎn)，
所以Δ＝4sin2α﹣4≥0，解得sin2α≥1，
又由正弦函數(shù)的有界性可得：sin2α≤1，
所以sin2α＝1，則cs2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×12＝﹣1，
所以cs2α的取值集合為{﹣1}．
故選：D．
6．（5分）（2025?鹽城一模）設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，若f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），且f（x）在[0，π]上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是（ ）
A．[53，+∞)B．[116，176)C．[53，83)D．[116，+∞)
【解答】解：由題意f（0）＝1，可得sinφ=12，
又|φ|＜π2，
可得φ=π6，
所以f(x)=2sin(ωx+π6)，ω＞0，
由x∈[0，π]，可得ωx+π6∈[π6，ωπ+π6]，
由題意f（x）在[0，π]上恰有2個(gè)零點(diǎn)，
可得2π≤ωπ+π6＜3π，
解得116≤ω＜176，即實(shí)數(shù)ω的取值范圍是[116，176)．
故選：B．
7．（5分）（2025?鹽城一模）第15屆中國(guó)國(guó)際航空航天博覽會(huì)于2024年11月12日至17日在珠海舉行．本屆航展規(guī)?？涨埃状未蛟臁翱?、海、陸”一體的動(dòng)態(tài)演示新格局，盡顯逐夢(mèng)長(zhǎng)空的中國(guó)力量．航展共開(kāi)辟了三處觀展區(qū)，分別是珠海國(guó)際航展中心、金鳳臺(tái)觀演區(qū)、無(wú)人系統(tǒng)演示區(qū)．甲、乙、丙、丁四人相約去參觀，每個(gè)觀展區(qū)至少有1人，每人只參觀一個(gè)觀展區(qū)．在甲參觀珠海國(guó)際航展中心的條件下，甲與乙不到同一觀展區(qū)的概率為（ ）
A．56B．34C．23D．12
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)事件A＝甲參觀珠海國(guó)際航展中心，事件B＝甲與乙不到同一觀展區(qū)，
航展共開(kāi)辟了三處觀展區(qū)，每人只能隨機(jī)去一個(gè)展區(qū)，則P(A)=13，
因?yàn)槊總€(gè)觀展區(qū)至少有1人，每人只參觀一個(gè)觀展區(qū)，
則先將4個(gè)人分為3組，再將這三組分配給三個(gè)展區(qū)，
基本事件的總數(shù)為n(Ω)=C42A33=36，
若事件A、B同時(shí)發(fā)生，即甲參觀珠海國(guó)際航展中心而乙沒(méi)有參觀珠海國(guó)際航展中心，
分2種情況討論：
若參觀珠海國(guó)際航展中心有2人，則另外一人為丙或丁，
此時(shí)，不同的參觀情況種數(shù)為2A22=4，
若參觀珠海國(guó)際航展中心只有甲一人，將另外三人分成兩組，再將這兩組分配給另外兩個(gè)展區(qū)，
此時(shí)，不同的參觀情況種數(shù)為C32A22=6種，
因此，P(AB)=n(AB)n(Ω)=4+636=518，
由條件概率公式可得P(B|A)=P(AB)P(A)=518×3=56．
故選：A．
8．（5分）（2025?鹽城一模）已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2是橢圓Ω的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓Ω上一點(diǎn)，△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心為Q．若5QF→1+3QF2→+3QP→=0→，則橢圓Ω的離心率為（ ）
A．12B．25C．37D．38
【解答】解：不妨設(shè)橢圓的方程為：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，P（x0，y0），Q（x，y），
則有F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），
所以QF1→=(-c-x，-y)，QF2→=(c-x，-y)，QP→=(x0-x，y0-y)，
因?yàn)?QF→1+3QF2→+3QP→=0→，
所以5QF→1+3QF2→+3QP→=5(-c-x，-y)+3(c-x，-y)+3(x0-x，y0-y)
＝（3x0﹣11x﹣2c，3y0﹣11y）＝（0，0），
所以x=3x0-2c11，y=3y011，
所以△PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為3|y0|11，由橢圓定義可得|PF1|+|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，
所以S△PF1F2=12(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)×3|y0|11=12|F1F2|×|y0|?12(2a+2c)×3|y0|11=12×2c×|y0|?3a=8c?e=ca=38．
故選：D．
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，計(jì)18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
（多選）9．（6分）（2025?鹽城一模）某體育器材廠生產(chǎn)一批籃球，設(shè)單個(gè)籃球的質(zhì)量為X（單位：克）．若X～N（600，σ2），其中σ＞0，則（ ）
A．P(X＜600)=12
B．P（592＜X＜598）＜P（602＜X＜606）
C．P（X＜595）＝P（X＞605）
D．σ越小，P（X＜598）越大
【解答】解：根據(jù)題意，X～N（600，σ2），則μ＝600，該正態(tài)曲線關(guān)于μ＝600對(duì)稱，
依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于A：P(X＜600)=12，故A正確；
對(duì)于B：正態(tài)曲線關(guān)于μ＝600對(duì)稱，則P（592＜X＜598）＝P（602＜X＜608）＞P（602＜X＜606），故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：正態(tài)曲線關(guān)于μ＝600對(duì)稱，則P（X＜595）＝P（X＞605），故C正確；
對(duì)于D，σ越小，說(shuō)明數(shù)據(jù)越集中，P（X＜598）越小，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
（多選）10．（6分）（2025?鹽城一模）設(shè)z1，z2為復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的有（ ）
A．|z1|+|z2|＝|z1+z2|
B．z1+z2=z1+z2
C．若|z1|＝|z2|，則z12=z22
D．若z12＜0，則z1為純虛數(shù)
【解答】解：對(duì)于A：對(duì)于z1＝1+i，z2＝1﹣i，則|z1|+|z2|=22≠|(zhì)z1+z2|＝2，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，令z1＝a+bi，z2＝m+ni，且a，b，m，n∈R，則z1=a-bi，z2=m-ni，
所以z1+z2=(a+m)-(b+n)i=z1+z2，故B正確；
對(duì)于C：對(duì)于z1＝1，z2＝i，滿足|z1|＝|z2|，顯然z12≠z22，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，令z1＝a+bi，z2＝m+ni，且a，b，m，n∈R，
z12=(a+bi)2=a2-b2+2abi＜0，
則a2-b2＜0ab=0，可得a=0b≠0，即z1為純虛數(shù)，故D正確．
故選：BD．
（多選）11．（6分）（2025?鹽城一模）已知曲線C：x3+y3＝1，則（ ）
A．曲線C關(guān)于直線y＝x對(duì)稱
B．曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
C．曲線C在直線x+y＝0的上方
D．曲線C與坐標(biāo)軸圍成的封閉圖形的面積大于π4
【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)點(diǎn)（x1，y1）在曲線x3+y3＝1上，
點(diǎn)（x1，y1）關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的點(diǎn)為（y1，x1），
此時(shí)y13+x13=1成立，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：點(diǎn)（x1，y1）在曲線x3+y3＝1上，點(diǎn)
（x1，y1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為（﹣x1，﹣y1），
此時(shí)-y13-x13=1，該式x3+y3＝1不成立，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：x3+y3＝（x+y）（x2+y2﹣xy）＝1＞0，
因?yàn)閤2+y2-xy=(x-y2)2+34y2＞0，
所以x+y＞0，
所以曲線C在直線x+y＝0的上方，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：易知曲線x3+y3＝1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，1），（1，0），
此時(shí)x3+y3＝1＜x2+y2，
即曲線x3+y3＝1在第一象限的點(diǎn)（x，y）到原點(diǎn)的距離x2+y2＞1，
所以曲線在第一象限的圖像比單位圓凸出，
則圍成的面積大于四分之一單位圓面積π4，故選項(xiàng)D正確．
故選：ACD．
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，計(jì)15分.請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定位置上。
12．（5分）（2025?鹽城一模）函數(shù)f（x）＝x2+lnx的圖象在點(diǎn)（1，1）處的切線的斜率為 3 ．
【解答】解：根據(jù)題意，f（x）＝x2+lnx，其導(dǎo)數(shù)f'(x)=2x+1x，
則f′（1）＝3．
故函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，1）處的切線的斜率k＝3．
故答案為：3．
13．（5分）（2025?鹽城一模）已知四棱錐P﹣ABCD的底面是平行四邊形，點(diǎn)E滿足PE→=13PD→．設(shè)三棱錐P﹣ACE和四棱錐P﹣ABCD的體積分別為V1和V2，則V1V2的值為 16 ．
【解答】解：四棱錐P﹣ABCD的底面是平行四邊形，點(diǎn)E滿足PE→=13PD→，
設(shè)三棱錐P﹣ACE和四棱錐P﹣ABCD的體積分別為V1和V2，
設(shè)點(diǎn)C到平面PAD的距離為h，
∵PE→=13PD→，∴S△PAE=12S△DAE，
∴VC-PAEVC-EAD=13S△PAE?h13S△DAE?h=12，其中三棱錐P﹣ACE的體積為V1，
則VC﹣EAD＝2V1，VP﹣ACD＝VC﹣PAE+VC﹣EAD＝V1+2V1＝3V1，
∵VP﹣ABCD＝2VP﹣ACD，∴V2＝6V1，則V1V2=16．
故答案為：16．
14．（5分）（2025?鹽城一模）已知等差數(shù)列{an}的公差不為0．若在{an}的前100項(xiàng)中隨機(jī)抽取4項(xiàng)，則這4項(xiàng)按原來(lái)的順序仍然成等差數(shù)列的概率為 12425 ．（用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)作答）
【解答】解：選取的4項(xiàng)按原來(lái)的順序仍然成等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為am，公差為kd（k∈N*），
則四項(xiàng)分別為am，am+k，am+2k，am+3k，
則m≥1且m+3k≤100，即1≤m≤100﹣3k，
∵m∈N*，且100﹣3k≥1，可得k≤33．
即當(dāng)該四項(xiàng)公差為kd時(shí)，共有（100﹣3k）種方法，其中k∈N*且1≤k≤33，
則共有97+94+91+...+1=33(97+1)2=1617種方法．
而從100項(xiàng)中任取4項(xiàng)共有C1004=100!4!?96!=100×99×98×974×3×2×1=3921225．
∴則這4項(xiàng)按原來(lái)的順序仍然成等差數(shù)列的概率為P=16173921225=12425．
故答案為：12425．
四、解答題：本大題共5小題，計(jì)77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)。
15．（13分）（2025?鹽城一模）在△ABC中，AB＝6，BC＝5．
（1）若C＝2A，求sinA的值；
（2）若△ABC為銳角三角形，csA=916，求△ABC的面積．
【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得ABsinC=BCsinA，
結(jié)合AB＝6，BC＝5，C＝2A，可得6sin2A=5sinA，
即62sinAcsA=5sinA，解得csA=35，結(jié)合A∈（0，π），可得sinA=1-cs2A=45；
（2）因?yàn)樵阡J角△ABC中，csA=916，所以sinA=1-cs2A=5716（舍負(fù)），
根據(jù)正弦定理，可得sinC=ABBCsinA=65×5167=387，
結(jié)合C∈（0，π2），可得csC=1-sin2C=1-(387)2=18，
所以sinB＝sin（A+C）＝sinAcsC+csAsinC=5167×18+916×387=74．
可得△ABC的面積S△ABC=12×AB×BC×sinB=12×6×5×74=1547．
16．（15分）（2025?鹽城一模）如圖，在所有棱長(zhǎng)都為2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點(diǎn)E是棱AA1的中點(diǎn)，AB1⊥CE．
（1）求證：平面A1ABB1⊥平面ABC；
（2）若∠A1AB=π3，點(diǎn)P滿足A1C1→=3A1P→，求直線CP與平面A1ABB1所成角的正弦值．
【解答】解：（1）證明：取AB的中點(diǎn)O，連接EO，A1B，OC，
因?yàn)镋為AA1中點(diǎn)，O為AB中點(diǎn)，所以EO∥A1B，
在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，則四邊形ABB1A1是菱形，所以AB1⊥A1B，
則AB1⊥EO，又AB1⊥CE，EO∩CE＝E，EO，CE?平面EOC，
所以AB1⊥平面EOC，又因?yàn)镺C?平面EOC，
所以O(shè)C⊥AB1，
因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，O為AB中點(diǎn)，所以O(shè)C⊥AB．
又因?yàn)镺C⊥AB1，AB∩AB1＝A，AB，AB1?平面A1ABB1，
所以O(shè)C⊥平面A1ABB1，又因?yàn)镺C?面ABC，
所以平面A1ABB1⊥平面ABC．
（2）連接A1O．
因?yàn)椤螦1AB=π3，AB＝AA1，所以△A1AB是等邊三角形，所以A1O⊥AB，
又平面A1ABB1⊥平面ABC，平面A1ABB1∩平面ABC＝AB，A1O?平面A1ABB1，
所以A1O⊥平面ABC，由OC，OB?平面ABC，
得A1O⊥OC，A1O⊥OB，又OC⊥AB，
如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OC、OB、OA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，
則O（0，0，0），C(3，0，0)，B（0，1，0），A1(0，0，3)，B1(0，2，3)．
設(shè)C1（x，y，z），又CC→1=BB1→，
即(x-3，y，z)=(0，1，3)，
得x=3，y=1，z=3，
所以C1(3，1，3)，CA1→=(-3，0，3)，A1C1→=(3，1，0)，
則CP→=CA1→+13A1C1→=(-3，0，3)+13(3，1，0)=(-233，13，3)，
易知平面A1ABB1的一個(gè)法向量n→=(1，0，0)，
所以cs＜CP→，n→＞=CP→?n→|CP→|?|n→|=-3010，
設(shè)直線CP與平面A1ABB1所成角為θ，
則sinθ=|cs＜CP→，n→＞|=3010．
17．（15分）（2025?鹽城一模）已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)F1到雙曲線E的漸近線的距離為22，點(diǎn)A為雙曲線E的右頂點(diǎn)，且AF1＝2AF2．
（1）求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若四邊形ABCD為矩形，其中點(diǎn)B，D在雙曲線E上，求證：直線BD過(guò)定點(diǎn)．
【解答】解：（1）設(shè)雙曲線E的焦距為2c，
此時(shí)F1（﹣c，0），
已知點(diǎn)F1到雙曲線E的漸近線bx±ay＝0的距離為|bc|b2+a2=b=22，
因?yàn)锳F1＝2AF2，
所以c+a＝2（c﹣a），
解得c＝3a，
又c2＝a2+b2，
解得a2＝1，
則雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-y28=1；
（2）證明：①當(dāng)直線BD的斜率不存在時(shí)，
因?yàn)锳B⊥AD，
設(shè)直線BD的方程為x＝t，
當(dāng)t＜0時(shí)，則B（t，﹣t+1）在雙曲線x2-y28=1，
此時(shí)t2-(1-t)28=1，
解得t=-97，
當(dāng)t＞0時(shí)，則B（t，t﹣1）在雙曲線x2-y28=1，
此時(shí)t2-(t-1)28=1，
所以t＝1不合題意舍，
則直線BD的方程為x=-97，
②當(dāng)直線BD的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線BD的方程為y＝kx+m，B（x1，y1），D（x2，y2），
聯(lián)立y=kx+mx2-y28=1，消去y并整理得（8﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣8＝0，
此時(shí)8﹣k2≠0且Δ＞0，
由韋達(dá)定理得x1+x2=2km8-k2，x1x2=-m2+88-k2，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，
所以AB⊥AD，
所以AB→?AD→=(x1-1，y1)?(x2-1，y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0，
即(x1-1)(x2-1)+(kx1+m)(kx2+m)=(k2+1)x1x2+(km-1)(x1+x2)+m2+1=0，
因?yàn)閤1+x2=2km8-k2，x1x2=-m2+88-k2，
所以-(k2+1)(m2+8)8-k2+2km(km-1)8-k2+(8-k2)(m2+1)8-k2=0
整理得（m+k）（7m﹣9k）＝0，
解得m＝﹣k或m=97k，
當(dāng)m＝﹣k時(shí)，直線BD的方程為y＝kx﹣k＝k（x﹣1），
此時(shí)直線BD恒過(guò)定點(diǎn)A（1，0），不合題意；
當(dāng)m=97k時(shí)，直線BD的方程為y=kx+97k=k(x+97)，
此時(shí)直線BD恒過(guò)定點(diǎn)(-97，0)．
綜上所述，直線BD恒過(guò)定點(diǎn)(-97，0)．
18．（17分）（2025?鹽城一模）設(shè)函數(shù)f（x）＝ax+ka﹣x（k∈R，a＞0，a≠1）．
（1）當(dāng)k＝4時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）討論函數(shù)f（x）的圖象是否有對(duì)稱中心．若有，請(qǐng)求出；若無(wú)，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)k＝0時(shí)，?x∈(-∞，12)都有f(x)≤11-2x，求實(shí)數(shù)a的取值集合．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝ax+ka﹣x（k∈R，a＞0，a≠1），
（1）當(dāng)k＝4時(shí)，f（x）＝ax+4a﹣x≥2ax?4a-x=4，
當(dāng)且僅當(dāng)ax＝4a﹣x，即x＝lga2時(shí)取等號(hào)，f（x）取最小值4．
（2）設(shè)點(diǎn)P（m，n）為函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心，則f（x）+f（2m﹣x）＝2n，
所以ax+ka﹣x+a2m﹣x+ka﹣2m+x＝2n，所以a2x（1+ka﹣2m）﹣2nax+（k+a2m）＝0，
于是1+ka﹣2m＝0，且k+a2m＝0，且2n＝0，
即a2m＝﹣k，n＝0，
所以當(dāng)k≥0時(shí)，m無(wú)解，此時(shí)函數(shù)f（x）的圖象沒(méi)有對(duì)稱中心；
當(dāng)k＜0時(shí)，m=12lga(-k)，此時(shí)函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱中心為P(12lga(-k)，0)．
（3）當(dāng)k＝0時(shí)，?x∈(-∞，12)都有f(x)≤11-2x，
所以ax≤11-2x在(-∞，12)上恒成立，即xlna+ln（1﹣2x）≤0．
令φ（x）＝xlna+ln（1﹣2x），則φ（0）＝0，
所以φ'(x)=lna-21-2x，令h(x)=φ'(x)=lna-21-2x，則h'(x)=-4(1-2x)2＜0，
所以φ′（x）在(-∞，12)上單調(diào)遞減，
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，φ′（x）＜0，則φ（x）在(-∞，12)上單調(diào)遞減，此時(shí)當(dāng)x＜0時(shí)，φ（x）＞φ（0）＝0，舍去；
②當(dāng)a＞1時(shí)，由φ'(x)=lna-21-2x=0，解得x=12-1lna＜12，
1°當(dāng)a＝e2時(shí)，x∈（﹣∞，0）時(shí)，φ′（x）＞0，則φ（x）單調(diào)遞增；
x∈(0，12)時(shí)，φ′（x）＜0，則φ（x）單調(diào)遞減；
所以x＝0時(shí)，φ（x）取極大值，則φ（x）≤φ（0）＝0，所以a＝e2滿足；
2°當(dāng)1＜a＜e2時(shí)，12-1lna＜0，
因?yàn)閤∈(12-1lna，12)時(shí)，φ′（x）＜0，則φ（x）單調(diào)遞減，
所以x∈(12-1lna，0)時(shí)，φ（x）＞φ（0）＝0，舍去；
3°當(dāng)a＞e2時(shí)，12-1lna＞0，
因?yàn)閤∈(-∞，12-1lna)時(shí)，φ′（x）＞0，則φ（x）單調(diào)遞增，
所以x∈(0，12-1lna)時(shí)，φ（x）＞φ（0）＝0，舍去；
綜上，實(shí)數(shù)a的取值集合為{e2}．
19．（17分）（2025?鹽城一模）若數(shù)列{an}滿足：對(duì)任意n∈N*（n≥3），總存在i、j∈N*，使得an＝aiaj（i≠j，i＜n，j＜n），則稱{an}是融積數(shù)列．
（1）判斷數(shù)列{e2n}是否為融積數(shù)列，并說(shuō)明理由；
（2）若等差數(shù)列{an}是融積數(shù)列，求{an}的通項(xiàng)公式；
（3）若融積數(shù)列{an}單調(diào)遞增，a1＝2，a2＝8，求使an=2123成立的n的最值．
【解答】解：（1）{e2n}是融積數(shù)列，證明如下：
設(shè)bn=e2n，當(dāng)n≥3時(shí)，取i＝1＜j＝n﹣1＜n，則bibj=e2ie2j=e2e2n-2=e2n=bn，
即存在i、j∈N*，i≠j，i＜n，j＜n，使得bn＝bibi，則{e2n}是融積數(shù)列．
（2）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d．
又{an}是融積數(shù)列，所以對(duì)任意的n∈N*（n≥3），總存在i、j∈N*，
使得an＝aiaj（i≠j，i＜n，j＜n），則a3＝a1a2．
考察a4，有下列三情況：
①若a3=a1a2a4=a1a3，即a1+2d=a1(a1+d)a1+3d=a1(a1+2d)，則a1=0d=0或a1=1d=0；
②若a3=a1a2a4=a1a2，即a1+2d=a1(a1+d)a1+3d=a1(a1+d)，則a1=0d=0或a1=1d=0；
③若a3=a1a2a4=a2a3，即a1+2d=a1(a1+d)a1+3d=(a1+d)(a1+2d)，則a1=0d=0或a1=1d=0或a1=23d=-16；
由①②③得an＝0或an＝1或an=-16n+56．
對(duì)于an＝0，取i＝1＜j＝n﹣1＜n（n≥3），則an＝0＝0×0＝aiai，則{an}是融積數(shù)列．
對(duì)于an＝1，同上可得{an}也是融積數(shù)列．
對(duì)于an=-16n+56，則a5＝0，當(dāng)i＜5，j＜5時(shí)都有ai≠0，aj≠0，
故不存在i、j∈N*，使得a5＝aiai，故{an}不是融積數(shù)列．
綜上，an＝0或an＝1．
（3）因?yàn)閧an}是單調(diào)遞增的融積數(shù)列，a1＝2，a2＝8，所以an+2≤an+1an，
所以a3=a1a2=24，a4≤a2a3=27，a5≤a3a4≤211，a6≤a4a5≤218，
a7≤a5a6≤229，a8≤a6a7≤247，a9≤a7a8≤276，a10≤a8a9≤2123，
所以an=2123≥a10．
又因?yàn)閧an}單調(diào)遞增，所以n≥10，
當(dāng)以上各式等號(hào)同時(shí)成立時(shí)a10=2123，故（n）min＝10．
因?yàn)閧an}是融積數(shù)列，所以對(duì)任意的n∈N*（n≥3），總存在i、j∈N*，使得an＝aiaj，
而a1＝2，a2=8=23，所以對(duì)任意的n∈N*（n≥3），必存在k∈N*，使得an=2k．
又因?yàn)閧an}是單調(diào)遞增數(shù)列，所以an+1≥2an，則anan-1?an-1an-≥2n-2(n≥3)，
則an≥2n+1，由an=2123≥2n+1，得n≤122，
當(dāng)an=-2，n=1-2n+1，n≥2時(shí)取等號(hào)，故（n）max＝122，
綜上，（n）min＝10，（n）max＝122．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2025/4/6 22:54:57；用戶：高中數(shù)學(xué)朱老師；郵箱：rFmNt90mRiXzEYJeDrg1uSD0fc@；學(xué)號(hào)：37103942題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
A
C
D
B
A
D
題號(hào)
9
10
11
答案
AC
BD
ACD

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