1．（5分）（2025?杭州一模）已知集合A＝{1，2，3}，B={x|y=1-x2}，則A∩B＝（ ）
A．{1}B．{0，1}C．{﹣1，1}D．{﹣1，0，1}
2．（5分）（2025?杭州一模）函數(shù)f(x)=x-1，x≥0-x-1，x＜0是（ ）
A．奇函數(shù)
B．偶函數(shù)
C．既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)
D．既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)
3．（5分）（2025?杭州一模）已知直線y＝2x是雙曲線C：y24-x2b2=1(b＞0)的一條漸近線，則C的離心率等于（ ）
A．52B．32C．5D．52或5
4．（5分）（2025?杭州一模）將函數(shù)y＝sinx的圖像向左平移φ（0＜φ＜2π）個單位，得到函數(shù)y＝g（x）的圖像，則“y＝g（x）是偶函數(shù)”是“φ=π2”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
5．（5分）（2025?杭州一模）已知向量a→=(1，-1)，b→=(2，1)，若(ta→+b→)⊥(-2a→+tb→)，則t＝（ ）
A．1或12B．﹣2或12C．﹣1或2D．﹣2或1
6．（5分）（2025?杭州一模）設(shè)f（x）＝ex+lnx，滿足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c）．若函數(shù)f（x）存在零點x0，則（ ）
A．x0＜aB．x0＞aC．x0＜cD．x0＞c
7．（5分）（2025?杭州一模）已知1sin10°-λcs10°=4，則λ＝（ ）
A．1B．2C．3D．2
8．（5分）（2025?杭州一模）對?x∈[1，+∞），不等式（（lnax）2﹣1）（ex﹣b）≥0恒成立，則（ ）
A．若a∈(0，1e)，則b≤eB．若a∈(0，1e)，則b＞e
C．若a∈[1e，e)，則ab＝eeD．若a∈[1e，e)，則ba＝ee
二、選擇題:本大題共3小題，每小題6分，共計18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分。
（多選）9．（6分）（2025?杭州一模）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足MN⊥OP的是（ ）
A．B．
C．D．
（多選）10．（6分）（2025?杭州一模）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣x2﹣ax（x≥0），則（ ）
A．若f（x）min＝f（1），則a＝1
B．若f（x）min＝f（1），則a=-13
C．若a＝1，則f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減
D．若a=-13，則f（x）在（1，3）上單調(diào)遞增
（多選）11．（6分）（2025?杭州一模）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，若f（f（x）+yz）＝x+f（y）f（z），則（ ）
A．f（1）＝0B．f（f（x））＝x
C．f（xy）＝f（x）f（y）D．f（x+y）＝f（x）f（y）
三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共15分。
12．（5分）（2025?杭州一模）曲線y＝lnx在點M（e，1）處切線的方程為 ．
13．（5分）（2025?杭州一模）已知復(fù)數(shù)z1，z2的實部和虛部都不為0，滿足①|(zhì)z1z2|=2；②|z1z2|＝2，則z1＝ ，z2＝ ．（寫出滿足條件的一組z1和z2）
14．（5分）（2025?杭州一模）已知雙曲線C1，C2都經(jīng)過點（1，1），離心率分別記為e1，e2，設(shè)雙曲線C1，C2的漸近線分別為y＝±k1x和y＝±k2x．若k1k2＝1，則e1e2= ．
四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（2025?杭州一模）已知在△ABC中，sin2A-sin2B=sin2C-3sinBsinC，2csB=sinC．
（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）若點D在AB邊上，且BD＝2AD．若CD＝2，求△ACD的面積．
16．（2025?杭州一模）在直角坐標系xOy中，拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，點M在拋物線C上，若△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，且該圓的面積為9π64．
（1）求C的方程；
（2）若點（﹣1，1）關(guān)于直線y＝kx對稱的點在C上，求k的值．
17．（2025?杭州一模）一設(shè)隨機變量X所有可能的取值為x1，x2，?，xn，P（X＝xi）＝pi＞0（i＝1，2，?，n），且p1+p2?+pn＝1．定義事件X＝xi的信息量為Hi＝﹣lnpi，稱X的平均信息量H（X）＝﹣（p1lnp1+p2lnp2+?+pnlnpn）為信息熵．
（1）若n＝3，pk+1＝2pk（k＝1，2），求此時的信息熵；
（2）最大熵原理：對一個隨機事件的概率分布進行預(yù)測時，要使得信息熵最大．信息熵最大就是事物可能的狀態(tài)數(shù)最多，復(fù)雜程度最大，概率分布最均勻，這才是風險最?。ㄗ詈侠恚┑臎Q定．證明：H（X）≤lnn，并解釋等號成立時的實際意義．
（參考不等式：若f（x）＝lnx，則i=1n pif(xi)≤f(i=1n pixi)
18．（2025?杭州一模）已知函數(shù)f（x）＝axlnx﹣x3﹣1．
（1）若a＝1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若0≤a≤3，求證：f（x）＜0；
（3）若h(x)=f(x)+x3+1a，?x1≠x2使得h（x1）＝h（x2）＝b，求證：be+1＜|x1﹣x2|＜b+1．
19．（2025?杭州一模）已知正項有窮數(shù)列A：a1，a2，?，aN（N≥3），設(shè)T={x|x=ajai，1≤i＜j≤N}，記T的元素個數(shù)為P（T）．
（1）若數(shù)列A：1，2，4，16，求集合T，并寫出P（T）的值；
（2）若A是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列，求證：“P（T）＝N﹣1”的充要條件是“A為等比數(shù)列”；
（3）若N＝2n+1，數(shù)列A由2，4，8，?，2n，4n這n+1個數(shù)組成，且這n+1個數(shù)在數(shù)列A中每個至少出現(xiàn)一次，求P（T）的取值個數(shù)．
2025年浙江省杭州市高考數(shù)學(xué)一模試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
二．多選題（共3小題）
一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡的相應(yīng)位置。
1．（5分）（2025?杭州一模）已知集合A＝{1，2，3}，B={x|y=1-x2}，則A∩B＝（ ）
A．{1}B．{0，1}C．{﹣1，1}D．{﹣1，0，1}
【解答】解：因為A＝{1，2，3}，B={x|y=1-x2}={x|﹣1≤x≤1}，
所以A∩B＝{1}．
故選：A．
2．（5分）（2025?杭州一模）函數(shù)f(x)=x-1，x≥0-x-1，x＜0是（ ）
A．奇函數(shù)
B．偶函數(shù)
C．既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)
D．既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)
【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=x-1，x≥0-x-1，x＜0，
當x≥0時，f（x）＝x﹣1，則f（﹣x）＝﹣x﹣1＝f（x），
當x＜0時，f（x）＝﹣x﹣1，則f（﹣x）＝x﹣1＝f（x），
綜上可得，f（﹣x）＝f（x），
即函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
故選：B．
3．（5分）（2025?杭州一模）已知直線y＝2x是雙曲線C：y24-x2b2=1(b＞0)的一條漸近線，則C的離心率等于（ ）
A．52B．32C．5D．52或5
【解答】解：雙曲線C：y24-x2b2=1(b＞0)的漸近線方程為y=±2bx，
直線y＝2x是雙曲線C：y24-x2b2=1(b＞0)的一條漸近線，
因此2=2b，故b＝1，
故離心率為4+b22=52．
故選：A．
4．（5分）（2025?杭州一模）將函數(shù)y＝sinx的圖像向左平移φ（0＜φ＜2π）個單位，得到函數(shù)y＝g（x）的圖像，則“y＝g（x）是偶函數(shù)”是“φ=π2”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【解答】解：將函數(shù)y＝sinx的圖像向左平移φ（0＜φ＜2π）個單位，得到函數(shù)y＝g（x）的圖像，
則g（x）＝sin（x+φ），
由y＝g（x）是偶函數(shù)可得φ=π2+kπ，k∈Z，且0＜φ＜2π，
當k＝0時，φ=π2，當k＝1時，φ=3π2，
所以由y＝g（x）是偶函數(shù)可得φ=π2或φ=3π2，故充分性不滿足；
當φ=π2時，可得g(x)=sin(x+π2)=csx為偶函數(shù)，故必要性滿足；
所以“y＝g（x）是偶函數(shù)“是“φ=π2“的必要不充分條件．
故選：B．
5．（5分）（2025?杭州一模）已知向量a→=(1，-1)，b→=(2，1)，若(ta→+b→)⊥(-2a→+tb→)，則t＝（ ）
A．1或12B．﹣2或12C．﹣1或2D．﹣2或1
【解答】解：向量a→=(1，-1)，b→=(2，1)，
則ta→+b→=(t+2，-t+1)，-2a→+tb→=(-2+2t，2+t)，
∵(ta→+b→)⊥(-2a→+tb→)，
∴(ta→+b→)?(-2a→+tb→)=0，即（t+2）（﹣2+2t）+（﹣t+1）（2+t）＝t2+t﹣2＝0，
∴（t+2）（t﹣1）＝0，
∴t＝﹣2或t＝1．
故選：D．
6．（5分）（2025?杭州一模）設(shè)f（x）＝ex+lnx，滿足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c）．若函數(shù)f（x）存在零點x0，則（ ）
A．x0＜aB．x0＞aC．x0＜cD．x0＞c
【解答】解：易知f（x）的定義域為（0，+∞）且y＝ex，y＝lnx均為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）＝ex+lnx在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，
因為0＜a＜b＜c，
所以f（a）＜f（b）＜f（c），
滿足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c），
所以f（a），f（b），f（c）中有1個是負數(shù)一定是f（a），兩個正數(shù)或3個負數(shù)，
因為f（x）存在零點，
所以x0＞a．
故選：B．
7．（5分）（2025?杭州一模）已知1sin10°-λcs10°=4，則λ＝（ ）
A．1B．2C．3D．2
【解答】解：1sin10°-λcs10°=4，
則λ=(1sin10°-4)cs10°=cs10°-4sin10°cs10°sin10°=cs10°-2sin20°sin10°=cs10°-2sin(30°-10°)sin10°=cs10°-2×12cs10°+2×32sin10°sin10°=3sin10°sin10°=3．
故選：C．
8．（5分）（2025?杭州一模）對?x∈[1，+∞），不等式（（lnax）2﹣1）（ex﹣b）≥0恒成立，則（ ）
A．若a∈(0，1e)，則b≤eB．若a∈(0，1e)，則b＞e
C．若a∈[1e，e)，則ab＝eeD．若a∈[1e，e)，則ba＝ee
【解答】解：根據(jù)題干（（lnax）2﹣1）（ex﹣b）≥0可得（lnax﹣1）（lnax+1）（ex﹣b）≥0，
對于A、B選項，如果a∈(0，1e)，可使a=1e2，那么不等式可化為（lnx﹣3）（lnx﹣1）（ex﹣b）≥0，
當x∈[1，e]時，lnx﹣3＜0，lnx﹣1≤0，
要使（lnx﹣3）（lnx﹣1）（ex﹣b）≥0恒成立，則需ex﹣b≥0，即b≤ex恒成立，
所以b≤（ex）min＝e，
當x∈[e3，+∞）時，lnx﹣3≥0，lnx﹣1＞0，
要使（lnx﹣3）（lnx﹣1）（ex﹣b）≥0恒成立，那么需ex﹣b≥0，即b≤ex恒成立，
所以b≤(ex)min=ee3，
當x∈（e，e3）時，lnx﹣3＜0，lnx﹣1＞0，
要使（lnx﹣3）（lnx﹣1）（ex﹣b）≥0恒成立，則需ex﹣b≤0，即b≥ex恒成立，
所以b≥（ex）max，
所以b≥ee3，
綜上可得，不存在b使得不等式（lnx﹣3）（lnx﹣1）（ex﹣b）≥0恒成立，選項A、B錯誤．
對于選項C、D，若a∈[1e，e)，
因為x∈[1，+∞）
所以ax≥1e，
所以lnax+1≥0，
要使不等式（lnax﹣1）（lnax+1）（ex﹣b）≥0恒成立，則需（lnax﹣1）（ex﹣b）≥0，
因為函數(shù)y＝lnax﹣1，y＝ex﹣b在[1，+∞）為增函數(shù)，
所以函數(shù)y＝lnax﹣1，y＝ex﹣b有相同的零點，
由lnax﹣1＝0得x=ea，由ex﹣b＝0得，x＝lnb，
所以ea=lnb，即e＝alnb，
所以lnee＝lnba，
所以ba＝ee，選項D正確．
故選D．
二、選擇題:本大題共3小題，每小題6分，共計18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分。
（多選）9．（6分）（2025?杭州一模）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足MN⊥OP的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：對于A，設(shè)正方體棱長為2，MN與OP所成角為θ，
則tanθ=1124+4=22，不滿足MN⊥OP，故A錯誤；
對于B，如圖，作出空間直角坐標系，
設(shè)正方體棱長為2，則M（0，0，2），N（2，0，0），P（2，0，1），O（1，1，0），
∴MN→=（2，0，﹣2），OP→=（1，﹣1，1），
∴MN→?OP→=2﹣2＝0，滿足MN⊥OP，故B正確；
對于C，如圖，作出空間直角坐標系，
設(shè)正方體棱長為2，則M（2，2，2），N（0，2，0），O（1，1，0），P（0，0，1），
∴MN→=（﹣2，0，﹣2），OP→=（﹣1，﹣1，1），
∴MN→?OP→=0，滿足MN⊥OP，故C正確；
對于D，如圖，作出空間直角坐標系，
設(shè)正方體棱長為2，則M（0，2，0），N（0，0，2），P（2，1，2），O（1，1，0），
∴MN→=（0，﹣2，2），OP→=（1，0，2），
∴MN→?OP→=4，不滿足MN⊥OP，故D錯誤．
故選：BC．
（多選）10．（6分）（2025?杭州一模）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣x2﹣ax（x≥0），則（ ）
A．若f（x）min＝f（1），則a＝1
B．若f（x）min＝f（1），則a=-13
C．若a＝1，則f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減
D．若a=-13，則f（x）在（1，3）上單調(diào)遞增
【解答】解：易知f（x）的定義域為[0，+∞），
可得f′（x）＝3x2﹣2x﹣a，
若f（x）min＝f（1），
所以x＝1是f（x）的極小值點，
此時f′（1）＝3﹣2﹣a＝0，
解得a＝1，
則f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＝（3x+1）（x﹣1）（x≥0），
當0≤x＜1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當x＞1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
所以f（x）min＝f（1），
則a＝1，故選項A正確，選項B錯誤；
若a＝1，
此時f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＝（3x+1）（x﹣1），
當0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，故選項C正確；
若a=-13，
此時f'(x)=3x2-2x+13=13(3x-1)2(x≥0)，
當1＜x＜3時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，故選項D正確．
故選：ACD．
（多選）11．（6分）（2025?杭州一模）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，若f（f（x）+yz）＝x+f（y）f（z），則（ ）
A．f（1）＝0B．f（f（x））＝x
C．f（xy）＝f（x）f（y）D．f（x+y）＝f（x）f（y）
【解答】解：令x＝y(tǒng)＝0，z＝1，則f（f（0））＝f（0）f（1），①
令x＝y(tǒng)＝z＝0，則f（f（0））＝f（0）f（0），②
由①②可得f（0）f（0）＝f（0）f（1），
所以f（0）＝0或f（1）＝f（0），
令x＝1，y＝z＝0，則f（f（1））＝1+f（0）f（0），
若f（1）＝f（0），
則f（f（0））＝1+f（0）f（0）≠f（0）f（0），與②矛盾，
所以f（0）＝0，則f（1）≠f（0）＝0，故A選項錯誤；
令y＝z＝0，則f（f（x））＝x+f（0）f（0）＝x，故B選項正確；
令x＝0，則f（f（0）+yz）＝f（yz）＝0+f（y）f（z）＝f（y）f（z），
用x替換z，得f（xy）＝f（x）f（y），故C選項正確；
由A、C選項中結(jié)論，令x＝y(tǒng)＝1，則f（1）＝f（1）f（1），
又f（1）≠0，
則f（1）＝1，
令z＝1，則f（f（x）+y）＝x+f（y）f（1）＝x+f（y）＝f（f（x））+f（y），
即f（x+y）＝f（x）+f（y），D選項錯誤．
故選：BC．
三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共15分。
12．（5分）（2025?杭州一模）曲線y＝lnx在點M（e，1）處切線的方程為 x﹣ey＝0 ．
【解答】解：∵y＝lnx，∴y'=1x，
∴曲線y＝lnx在點M（e，1）處切線的斜率k=1e，
曲線y＝lnx在點M（e，1）處切線的方程為：
y﹣1=1e(x-e），
整理，得x﹣ey＝0．
故答案為：x﹣ey＝0．
13．（5分）（2025?杭州一模）已知復(fù)數(shù)z1，z2的實部和虛部都不為0，滿足①|(zhì)z1z2|=2；②|z1z2|＝2，則z1＝ 2+2i ，z2＝ 22+22i ．（寫出滿足條件的一組z1和z2）
【解答】解：設(shè)z1＝a+bi，z2＝c+di（abcd≠0，a，b，c，d∈R），
則z1z2=a+bic+di=(ac+db)+(bc-ad)ic2+d2，
z1z2＝（a+bi）（c+di）＝ac﹣bd+（ad+bc）i，
由|z1z2|=(ac+dbc2+d2)2+(bc-adc2+d2)2=(ac+db)2+(bc-ad)2c2+d2=2|z1z2|=(ac-bd)2+(ad+bc)2=2，即a2+b2=4(c2+d2)(a2+b2)(c2+d2)=4，
所以c2+d2=1a2+b2=4，
可取a=b=2，c=d=22，
所以z1=2+2i，z2=22+22i．
故答案為：z1=2+2i；z2=22+22i．（答案不唯一，只要滿足a2+b2＝4，c2+d2＝1，abcd≠0即可）
14．（5分）（2025?杭州一模）已知雙曲線C1，C2都經(jīng)過點（1，1），離心率分別記為e1，e2，設(shè)雙曲線C1，C2的漸近線分別為y＝±k1x和y＝±k2x．若k1k2＝1，則e1e2= 1 ．
【解答】解：雙曲線C1，C2都經(jīng)過點（1，1），離心率分別記為e1，e2，設(shè)雙曲線C1，C2的漸近線分別為y＝±k1x和y＝±k2x．k1k2＝1，
當k1＝k2＝1時，e1＝e2，不合題意，舍去；
當k1≠k2時，不妨設(shè)0＜k1＜1＜k2，
則C1：（y﹣k1x）（y+k1x）＝m，
∵雙曲線C1經(jīng)過點（1，1），
∴m=1-k12，
∴C1：y21-k12-x21k12-1=1，
∵0＜k1＜1，∴k12＜1，則雙曲線C1的焦點在y軸上，
∴e1=1k12-k121-k12=1+k12k1，
同理C2：x21-1k22-y2k22-1=1，
∵k2＞1，∴k22＞1，則雙曲線C2的焦點在x軸上，
∴e2=k22-1k22-1-1k22=1+k22=1+1k12=1+k12k1，
∴e1＝e2，即e1e2=1，
綜上所述，e1e2=1．
故答案為：1．
四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（2025?杭州一模）已知在△ABC中，sin2A-sin2B=sin2C-3sinBsinC，2csB=sinC．
（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）若點D在AB邊上，且BD＝2AD．若CD＝2，求△ACD的面積．
【解答】解：（1）△ABC為直角三角形，理由如下：
由sin2A-sin2B=sin2C-3sinBsinC及正弦定理，
可得a2-b2=c2-3bc，故3bc=c2+b2-a2，
由余弦定理，可得csA=c2+b2-a22bc=3bc2bc=32，
由于A∈（0，π），故A=π6，
又2csB＝sinC，A+B＝π﹣C，
則2csB=sin(B+A)=sin(B+π6)=32sinB+12csB，
化簡可得sinB=3csB，故tanB=3，
由于B∈（0，π），故B=π3，
進而C=π-B-A=π2，
故三角形ABC為直角三角形；
（2）由（1）知：B=π3，A=π6，且△ABC為直角三角形，
設(shè)AB＝2x，則AC=3x，BC=x，AD=13AB=2x3，
故在△ACD中，由余弦定理，
可得CD2＝AD2+AC2﹣2AD?ACcsA，
即4=(2x3)2+(3x)2-2?(2x3)?(3x)?32，
解得x2=3613，
故S△ACD=12AD?AC?sinA=36x2=36×3613=6313．
16．（2025?杭州一模）在直角坐標系xOy中，拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，點M在拋物線C上，若△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，且該圓的面積為9π64．
（1）求C的方程；
（2）若點（﹣1，1）關(guān)于直線y＝kx對稱的點在C上，求k的值．
【解答】解：（1）在直角坐標系xOy中，拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，點M在拋物線C上，若△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，且該圓的面積為9π64．
則其半徑為38，
且△OFM外接圓的圓心一定在OF的垂直平分線上，
其中焦點F(p2，0)，準線方程為x=-p2，
所以圓心的橫坐標為p4，則圓心到準線的距離為p2+p4=34p=38，
即p=12，
所以C的方程為y2＝x．
（2）設(shè)點（﹣1，1）關(guān)于直線y＝kx對稱的點為（a，b），
則兩點連線的中點坐標(a-12，b+12)在直線y＝kx上，
即b+12=k?a-12，
化簡可得b＝k（a﹣1）﹣1①，
由對稱性又可知，（﹣1，1）和（a，b）所在直線與y＝kx垂直，
則b-1a+1?k=-1②，
聯(lián)立①②可得，k(a-1)-1-1a+1?k=-1，
解得a=k2+2k-1k2+1，
所以b=k2-2k-1k2+1，
又因為（a，b）在拋物線y2＝x上，
則b2＝a，
即(k2-2k-1)2(k2+1)2=k2+2k-1k2+1，
即k4+4k2﹣4k3+1﹣2（k2﹣2k）＝（k2+1）（k2+2k﹣1），
即3k3﹣k2﹣k﹣1＝0，
所以（3k2+2k+1）（k﹣1）＝0，
所以k﹣1＝0，
即k＝1．
17．（2025?杭州一模）一設(shè)隨機變量X所有可能的取值為x1，x2，?，xn，P（X＝xi）＝pi＞0（i＝1，2，?，n），且p1+p2?+pn＝1．定義事件X＝xi的信息量為Hi＝﹣lnpi，稱X的平均信息量H（X）＝﹣（p1lnp1+p2lnp2+?+pnlnpn）為信息熵．
（1）若n＝3，pk+1＝2pk（k＝1，2），求此時的信息熵；
（2）最大熵原理：對一個隨機事件的概率分布進行預(yù)測時，要使得信息熵最大．信息熵最大就是事物可能的狀態(tài)數(shù)最多，復(fù)雜程度最大，概率分布最均勻，這才是風險最?。ㄗ詈侠恚┑臎Q定．證明：H（X）≤lnn，并解釋等號成立時的實際意義．
（參考不等式：若f（x）＝lnx，則i=1n pif(xi)≤f(i=1n pixi)
【解答】解：（1）當n＝3時，p1+p2+p3＝1，且p2＝2p1，p3＝2p2，
∴p1=17，p2=27，p3=47，
∴H(X)=-(p1lnp1+p2lnp2+p3lnp3)=-(17ln17+27ln27+47ln47)=-17ln21077=ln7-107ln2；
（2）證明：令f（x）＝lnx，則pilnpi＝pif（pi），
∴H（X）＝﹣（p1lnp1+p2lnp2+...+pnlnpn）=i=1n pif(1pi)≤f(i=1n pi?1pi)=f(n)=lnn，
∴H（X）≤lnn，
當隨機變量中每個變量發(fā)生的概率相同的時候，這時事物中每一個結(jié)果發(fā)生的可能性相同，情況分析是最復(fù)雜的，也是最合理的．
18．（2025?杭州一模）已知函數(shù)f（x）＝axlnx﹣x3﹣1．
（1）若a＝1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若0≤a≤3，求證：f（x）＜0；
（3）若h(x)=f(x)+x3+1a，?x1≠x2使得h（x1）＝h（x2）＝b，求證：be+1＜|x1﹣x2|＜b+1．
【解答】解：（1）當a＝1時，f（x）＝xlnx﹣x3﹣1，x∈（0，+∞），
則f′（x）＝lnx+1﹣3x2，令m（x）＝f′（x），
則m'(x)=1x-6x，
令m′（x）＞0，解得0＜x＜66，
令m′（x）＜0，解得x＞66，
∴f′（x）在區(qū)間(0，66)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(66，+∞)上單調(diào)遞減，
∴f'(x)≤f'(66)=ln66+12=12(ln16+1)＜0，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞），無增區(qū)間．
（2）證明：∵x∈（0，+∞），
當x∈（0，1）時，f（x）＜0顯然成立，
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＝a（lnx+1）﹣3x2，令g（x）＝f′（x），
∴g'(x)=ax-6x＜0，
∴f′（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，∴f′（x）＜f′（1）＝a﹣3≤0，
∴f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，∴f（x）＜f（1）＝﹣2＜0，
綜上所述，當0≤a≤3時，f（x）＜0．
（3）證明：h（x）＝xlnx，
∴h′（x）＝lnx+1，令h′（x）＜0，則0＜x＜1e，
∴h（x）在區(qū)間(0，1e)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1e，+∞)上單調(diào)遞增，
∵h(1e)=-1e，
∴b∈(-1e，0)．
不妨設(shè)x1＜x2，則x1∈(0，1e)，x2∈(1e，1)，
先證：x2﹣x1＞be+1，設(shè)A(1e，-1e)，B（1，0），
易知直線OA方程為y＝﹣x，直線AB方程為y=1e-1(x-1)，
則直線OA，AB與直線y＝b交點的橫坐標為x4＝﹣b，x5＝（e﹣1）b+1，
∴x5﹣x4＝be+1，
∵x4＝﹣b＝﹣x1lnx1＞x1，同理可證：x4＜x2，
∴x1＜x4＜x2，類似的可以證明x1＜x5＜x2，
∴x5﹣x4＜x2﹣x1，即be+1＜x2﹣x1；
再證：x2﹣x1＜b+1，
易知h（x）在x＝1處的切線方程為y＝x﹣1，該切線與直線y＝b的交點的橫坐標為x3＝b+1，
令g（x）＝h（x）﹣（x﹣1）＝xlnx﹣x+1，則g′（x）＝lnx，
當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，此時g（x）＞g（1）＝0，
∴當x∈（0，1）時，y＝x﹣1圖像在h（x）下方．
∴x3＞x2﹣x1，
∴x2﹣x1＜x3＜b+1；
綜上，be+1＜|x1﹣x2|＜b+1，即得證．
19．（2025?杭州一模）已知正項有窮數(shù)列A：a1，a2，?，aN（N≥3），設(shè)T={x|x=ajai，1≤i＜j≤N}，記T的元素個數(shù)為P（T）．
（1）若數(shù)列A：1，2，4，16，求集合T，并寫出P（T）的值；
（2）若A是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列，求證：“P（T）＝N﹣1”的充要條件是“A為等比數(shù)列”；
（3）若N＝2n+1，數(shù)列A由2，4，8，?，2n，4n這n+1個數(shù)組成，且這n+1個數(shù)在數(shù)列A中每個至少出現(xiàn)一次，求P（T）的取值個數(shù)．
【解答】解：（1）因為a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝16，
故a2a1=2，a3a1=4，a4a1=16，a3a2=2，a4a2=8，a4a3=4，
所以T＝{2，4，8，16}，P（T）＝4；
（2）證明：充分性：
若A是等比數(shù)列，設(shè)公比為q．
不妨考慮數(shù)列A是遞增數(shù)列，所以q＞1．
則當j＞i時，ajai=qj-i．
所以T＝{q，q2，q3，?，qN﹣1}，
故P（T）＝N﹣1，得證；
必要性：若P（T）＝N﹣1．
因為A是遞增數(shù)列，
所以a2a1＜a3a1＜?＜aNa1，
所以a2a1，a3a1，?，aNa1∈T且互不相等，
又P（T）＝N﹣1，
所以T={a2a1，a3a1，?，aNa1}，
又a3a2＜a4a2＜?＜aN-1a2＜aNa2＜aNa1，
所以a3a2，a4a2，?，aN-1a2，aNa2，aNa1∈T，且互不相等．
所以a3a2=a2a1，a4a2=a3a1，…，aNa2=aN-1a1．
所以a2a1=a3a2=a4a3=?=aNaN-1，
所以A為等比數(shù)列；
若A為單調(diào)遞減數(shù)列，同理可證．
（3）因為數(shù)列A由2，4，8，?，2n，4n這n+1個數(shù)組成，任意兩個不同的數(shù)作商（可相等），
比值只可能為1，2，22，?，2n-1，2n，?，22n-1，12，(12)2，?，(12)n-1，(12)n，?，(12)2n-1，
共2n+2n﹣1＝4n﹣1個不同的值；
又因為2，4，8，?，2n，4n這n+1個數(shù)在數(shù)列A中共出現(xiàn)N＝2n+1次，
所以數(shù)列A中存在ai＝aj（i≠j），所以1∈T．
綜上，P（T）≤4n﹣1，且P（T）≥2n．
設(shè)數(shù)列A0：2，22，?，2n﹣1，2n，22n，2n?，21，
此時T={1，2，22，?，2n-1，2n，?，22n-1，12，(12)2，?，(12)n-1，(12)n，?，(12)2n-1}，共2n+2n﹣1＝4n﹣1個元素，
所以P（T）＝4n﹣1．
現(xiàn)對數(shù)列A0分別作如下變換：
把前面的2n移動到22n和后面的2n之間，得到數(shù)列：2，22，?，2n﹣1，22n，2n，2n?，21，
此時T={1，2，22，?，2n-1，2n+1，?，22n-1，12，(12)2，?，(12)n-1，(12)n，?，(12)2n-1}，共2n﹣1+2n﹣1＝4n﹣2個元素，
所以P（T）＝4n﹣2．
再把前面的2n﹣1移動到2n﹣1和2n之間，得到數(shù)列：2，22，?，2n﹣2，22n，2n，2n，2n﹣1，2n﹣1，?，21，
此時T={1，2，22，?，2n-1，2n+2，?，22n-1，12，(12)2，?，(12)n-1，(12)n，?，(12)2n-1}，共2n﹣2+2n﹣1＝4n﹣3個元素，
所以P（T）＝4n﹣3．
……
依次類推，最后把前面的2移動到最后一項，得到數(shù)列：An：22n，2n，2n，2n-1，2n-1，?2，2，
此時T={1，12，(12)2，?，(12)n，?，(12)2n-1}，共2n﹣1+1＝2n個元素，
所以P（T）＝2n，
綜上，P（T）可以取到從2n到4n﹣1的所有2n個整數(shù)值，所以P（T）的取值個數(shù)為2n．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2025/4/6 22:52:15；用戶：高中數(shù)學(xué)朱老師；郵箱：rFmNt90mRiXzEYJeDrg1uSD0fc@；學(xué)號：37103942題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
A
B
D
B
C
D
題號
9
10
11
答案
BC
ACD
BC

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