（本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）
第Ⅰ卷（選擇題 共44分）
一、單項(xiàng)選擇題（共6小題，每小題4分，共24分．每小題的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)正確）
1. 下列著名曲線中，既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查軸對(duì)稱圖形以及中心對(duì)稱圖形，熟練掌握軸對(duì)稱圖形以及中心對(duì)稱圖形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對(duì)稱圖形以及中心對(duì)稱圖形的定義即可得到答案．
【詳解】解：既不是軸對(duì)稱圖形也不是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)A不符合題意；
不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)B不符合題意；
既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)C符合題意；
是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)D不符合題意；
故選：C．
2. 2024年3月份，低空經(jīng)濟(jì)首次被寫入《政府工作投告》．截止2023年底，全國注冊(cè)通航企業(yè)690家、無人機(jī)萬架，運(yùn)營無人機(jī)的企業(yè)達(dá)萬家．將萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的定義是解題的關(guān)鍵．將一個(gè)數(shù)寫成，（其中，為整數(shù)），即可得到答案．
【詳解】解：萬，
故選B．
3. 某廠家生產(chǎn)的海上浮漂的形狀是中間穿孔的球體，如圖所示．該浮漂的俯視圖是圖，那么它的主視圖是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了物體的三視圖，根據(jù)物體及其俯視圖即可求解，掌握三視圖的畫法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由圖形可得，它的主視圖如圖所示：
，
故選：．
4. 中國中醫(yī)科學(xué)院教授屠呦呦因其在青蒿素抗瘧方面的研究獲2015年諾貝爾生理學(xué)或醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)．某科研小組用石油醚做溶劑進(jìn)行提取青蒿素的實(shí)驗(yàn)，控制其他實(shí)驗(yàn)條件不變，分別研究提取時(shí)間和提取溫度對(duì)青蒿素提取率的影響，其結(jié)果如圖所示：
由圖可知，最佳的提取時(shí)間和提取溫度分別為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查的是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析和解讀，從圖中獲取信息是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖像即可得到最佳時(shí)間和溫度．
【詳解】解：由圖像可知，在時(shí)提取率最高，
時(shí)提取率最高，
故最佳的提取時(shí)間和提取溫度分別為，
故選B．
5. 一種路燈的示意圖如圖所示，其底部支架與吊線平行，燈桿與底部支架所成銳角．頂部支架與燈桿所成銳角，則與所成銳角的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了平行線性質(zhì)，平行公理的推論，過點(diǎn)作，可得，即得，，根據(jù)求出即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：過點(diǎn)作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴與所成銳角的度數(shù)為為，
故選：．
6. 已知關(guān)于的一元二次方程，其中滿足，關(guān)于該方程根的情況，下列判斷正確的是（ ）
A. 無實(shí)數(shù)根B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D. 無法確定
【答案】C
【解析】
【分析】本題本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對(duì)于一元二次方程，若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程沒有實(shí)數(shù)根，據(jù)此先求出，再求出的符號(hào)即可得到結(jié)論．
【詳解】解： ∵，
∴，
∴
，
，
∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故選：C．
二、多項(xiàng)選擇題（共4小題，每小題5分，共20分．在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分）
7. 下列命題是真命題的有（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 兩個(gè)有理數(shù)的積仍為有理數(shù)
D. 兩個(gè)無理數(shù)的積仍為無理數(shù)
【答案】AC
【解析】
【分析】考查了命題與定理知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了等式及不等式的性質(zhì)、無理數(shù)及有理數(shù)的積．利用等式及不等式的性質(zhì)、無理數(shù)及有理數(shù)的積分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．
【詳解】解：A、由等式的性質(zhì)可得，若，則，原命題為真命題；
B、由不等式的性質(zhì)可得，若，且，則，原命題為假命題；
C、兩個(gè)有理數(shù)的積仍為有理數(shù)，原命題為真命題；
D、兩個(gè)無理數(shù)的積不一定為無理數(shù)，比如，原命題為假命題．
故選：AC．
8. 如圖，圓柱的底面半徑為，高為1，下列關(guān)于該圓柱的結(jié)論正確的有（ ）

A. 體積為B. 母線長(zhǎng)為1
C. 側(cè)面積為D. 側(cè)面展開圖的周長(zhǎng)為
【答案】BC
【解析】
【分析】本題主要考查圓柱的體香，母線長(zhǎng)，側(cè)面積以及側(cè)面展開圖的周長(zhǎng)，運(yùn)用相關(guān)知識(shí)求解各選項(xiàng)再判斷即可
【詳解】解：A.∵圓柱的底面半徑為，高為1，
∴圓柱的體積為，故選項(xiàng)A不符合題意；
B.∵圓柱的高為1，
∴圓柱的母線長(zhǎng)為1，故選項(xiàng)B正確，符合題意；
C. ∴圓柱的底面半徑為，高為1，
∴圓柱的底面周長(zhǎng)為，
∴側(cè)面積為，故選項(xiàng)C正確，符合題意；
D.∵圓柱的底面周長(zhǎng)為，高為1，
∴圓柱的側(cè)面展開圖的周長(zhǎng)為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意
綜上，正確的結(jié)論為B，C，
故選：BC
9. 如圖，已知拋物線的對(duì)稱軸是直線，且拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是．下列結(jié)論正確的有（ ）
A.
B. 該拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是
C. 若點(diǎn)和在該拋物線上，則
D. 對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式總成立
【答案】ACD
【解析】
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行解題即可．
【詳解】解：將代入，可得，由圖像可知，此時(shí)圖像在軸上方，故，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)稱軸是直線，

故該拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
時(shí)，函數(shù)有最大值，距離對(duì)稱軸更近，故，故選項(xiàng)C正確；
時(shí)，函數(shù)有最大值，故，即不等式總成立，故選項(xiàng)D正確；
故選ACD．
10. 如圖，是的外接圓，，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．分別以點(diǎn)為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，并使兩弧交于圓外一點(diǎn)．直線交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A. B.
C. D. 四邊形為菱形
【答案】ABD
【解析】
【分析】本題主要考查圓的性質(zhì)、圓周角定理、平行線的性質(zhì)以及菱形的判定，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的判定定理證明，證明即可證明四邊形為菱形，再根據(jù)圓周角定理進(jìn)行判定即可．
【詳解】解：令交于點(diǎn)，
由題意得：是的垂直平分線，
，
，選項(xiàng)A正確；
故四邊形為菱形，選項(xiàng)D正確；
，
四邊形為菱形，
四邊形為平行四邊形，
，選項(xiàng)B正確；
，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
故選ABD．
第Ⅱ卷（非選擇題 共106分）
三、填空題（共4小題，每小題4分，共16分．只寫最后結(jié)果）
11. 請(qǐng)寫出同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的一個(gè)函數(shù)：______．
①隨著的增大而減?。虎诤瘮?shù)圖象與軸正半軸相交．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)中的隨著的增大而減小可得，再根據(jù)函數(shù)圖象與軸正半軸相交可得，據(jù)此即可求解，掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵隨著的增大而減小，
∴一次函數(shù)的比例系數(shù)，
又∵函數(shù)圖象與軸正半軸相交，
∴，
∴同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的一次函數(shù)可以是，
故答案為：（答案不唯一）．
12. 如圖，在直角坐標(biāo)系中，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)均在軸上．將繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角函數(shù)的計(jì)算，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．作，求出，的值即可得到答案．
【詳解】解：作，交y軸于點(diǎn)F，
由題可得：，
是等邊三角形，，
∴是的角平分線，
，
，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，
故答案為：．
13. 小瑩在做手抄報(bào)時(shí)，用到了紅色、黃色、藍(lán)色三支彩筆，這三支彩筆的筆帽和筆芯顏色分別一致．完成手抄報(bào)后，她隨機(jī)地將三個(gè)筆帽分別蓋在三支彩筆上，每個(gè)筆帽和筆芯的顏色都不匹配的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了用列舉法求概率，列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，再找出每個(gè)筆帽和筆芯的顏色都不匹配的結(jié)果，利用概率公式計(jì)算即可求解，正確列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意可得，共有種結(jié)果：紅紅，黃黃，藍(lán)藍(lán)；紅紅，藍(lán)黃，黃藍(lán)；黃紅，紅黃，藍(lán)藍(lán)；黃紅，藍(lán)黃，紅藍(lán)；藍(lán)紅，紅黃，黃藍(lán)；藍(lán)紅，黃黃，紅藍(lán)；
其中每個(gè)筆帽和筆芯的顏色都不匹配的有種結(jié)果，
∴每個(gè)筆帽和筆芯的顏色都不匹配的概率是，
故答案為：．
14. 將連續(xù)的正整數(shù)排成如圖所示的數(shù)表．記為數(shù)表中第行第列位置的數(shù)字，如，，．若，則______，______．
【答案】 ①. 45 ②. 2
【解析】
【分析】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律：當(dāng)正整數(shù)為時(shí)，若為奇數(shù)，則在第行，第1列，下一個(gè)數(shù)再下一行，上一個(gè)數(shù)在第2列；若為偶數(shù)，則在第1行，第列，下一個(gè)數(shù)再下一列，上一個(gè)數(shù)在第2行．
【詳解】解：由圖中排布可知，當(dāng)正整數(shù)為時(shí)，
若為奇數(shù)，則在第行，第1列，下一個(gè)數(shù)再下一行，上一個(gè)數(shù)在第2列；
若為偶數(shù)，則在第1行，第列，下一個(gè)數(shù)再下一列，上一個(gè)數(shù)在第2行；
∵，
而，在第行，第1列，
∴2024在第行，第2列，
∴，，
故答案為：45，2．
四、解答題（共8小題，共90分．請(qǐng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15. （1）計(jì)算：；
（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握立方根，負(fù)指數(shù)，絕對(duì)值，分式的混合運(yùn)算，是解決問題的關(guān)鍵．
（1）先化簡(jiǎn)立方根，負(fù)指數(shù)，絕對(duì)值，再相加減；
（2）先括號(hào)內(nèi)通分，分子分解因式，除法換作乘法，約分化簡(jiǎn)，再代入a值，合并即得．
詳解】（1）
；
（2）
；
當(dāng)時(shí)，
原式．
16. 如圖，在矩形中，，點(diǎn)分別在邊上．將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上；將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好也落在對(duì)角線上．連接．
求證：
（1）；
（2）四邊形為平行四邊形．
【答案】（1）證明見解析；
（2）證明見解析．
【解析】
【分析】（）由矩形的性質(zhì)可得，，，即得，由折疊的性質(zhì)可得，，，，即得，，進(jìn)而得，即可由證明；
（）由（）得，，即可得到，，進(jìn)而即可求證；
本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，掌握矩形和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
證明：∵四邊形是矩形，
∴，，，
∴，
由折疊可得，，，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
【小問2詳解】
證明：由（）知，，
∴，，
∴四邊形為平行四邊形．
17. 如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)是．點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作軸的平行線，交的圖象于點(diǎn)．
（1）求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求的面積．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的表達(dá)式，坐標(biāo)與圖形，三角形的面積，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．
（）利用正比例函數(shù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)的表達(dá)式即可求解；
（）分別求出的坐標(biāo)，得到的長(zhǎng)度，再根據(jù)坐標(biāo)與圖形以及三角形的面積公式計(jì)算即可求解；
【小問1詳解】
解：把代入得，，
∴，
∴，
把代入得，，
∴，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；
【小問2詳解】
解：把代入得，，
∴，
∵軸，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
把代入得，，
∴，
∴，
∴．
18. 在某購物電商平臺(tái)上，客戶購買商家的商品后，可從“產(chǎn)品質(zhì)量”“商家服務(wù)”“發(fā)貨速度”“快遞服務(wù)”等方面給予商家分值評(píng)價(jià)（分值為分、分、分、分和分）．該平臺(tái)上甲、乙兩個(gè)商家以相同價(jià)格分別銷售同款T恤衫，平臺(tái)為了了解他們的客戶對(duì)其“商家服務(wù)”的評(píng)價(jià)情況，從甲、乙兩個(gè)商家各隨機(jī)抽取了一部分“商家服務(wù)”的評(píng)價(jià)分值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析．
【數(shù)據(jù)描述】
下圖是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制作的不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)回答問題（）（）．
（）平臺(tái)從甲、乙兩個(gè)商家分別抽取了多少個(gè)評(píng)價(jià)分值？請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（）求甲商家的“商家服務(wù)”評(píng)價(jià)分值的扇形統(tǒng)計(jì)圖中圓心角的度數(shù)．
【分析與應(yīng)用】
樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量如下表，請(qǐng)回答問題（）（）．
（）直接寫出表中和的值，并求的值；
（）小亮打算從甲、乙兩個(gè)商家中選擇“商家服務(wù)”好的一家購買此款T恤衫．你認(rèn)為小亮應(yīng)該選擇哪一家？說明你的觀點(diǎn)．
【答案】（）平臺(tái)從甲商家抽取了個(gè)評(píng)價(jià)分值，從乙商家抽取了個(gè)評(píng)價(jià)分值，補(bǔ)圖見解析；（）；（），，；（）小亮應(yīng)該選擇乙商家，理由見解析．
【解析】
【分析】（）分別用分的評(píng)價(jià)分值個(gè)數(shù)除以其百分比即可求出從甲、乙兩個(gè)商家各抽取的評(píng)價(jià)分值個(gè)數(shù)，進(jìn)而求出甲、乙商家分的評(píng)價(jià)分值個(gè)數(shù)，即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（）用乘以甲商家分的占比即可求解；
（）根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)和加權(quán)平均數(shù)的定義計(jì)算即可求解；
（）根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)和方差即可判斷求解；
本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)和方差，看懂統(tǒng)計(jì)圖是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：（）由題意可得，平臺(tái)從甲商家抽取了個(gè)評(píng)價(jià)分值，
從乙商家抽取了個(gè)評(píng)價(jià)分值，
∴甲商家分的評(píng)價(jià)分值個(gè)數(shù)為個(gè)，
乙商家分的評(píng)價(jià)分值個(gè)數(shù)為個(gè)，
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：
（）；
（）∵甲商家共有個(gè)數(shù)據(jù)，
∴數(shù)據(jù)按照由小到大的順序排列，中位數(shù)為第位和第位數(shù)的平均數(shù)，
∴，
由條形統(tǒng)計(jì)圖可知，乙商家分的個(gè)數(shù)最多，
∴眾數(shù)，
乙商家平均數(shù)；
（）小亮應(yīng)該選擇乙商家，理由：由統(tǒng)計(jì)表可知，乙商家中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)都高于甲商家的，方差較接近，
∴小亮應(yīng)該選擇乙商家．
19. 2024年6月，某商場(chǎng)為了減少夏季降溫和冬季供暖的能源消耗，計(jì)劃在商場(chǎng)的屋頂和外墻建造隔熱層，其建造成本（萬元）與隔熱層厚度滿足函數(shù)表達(dá)式：．預(yù)計(jì)該商場(chǎng)每年的能源消耗費(fèi)用（萬元）與隔熱層厚度滿足函數(shù)表達(dá)式：，其中．設(shè)該商場(chǎng)的隔熱層建造費(fèi)用與未來8年能源消耗費(fèi)用之和為（萬元）．
（1）若萬元，求該商場(chǎng)建造的隔熱層厚度；
（2）已知該商場(chǎng)未來8年的相關(guān)規(guī)劃費(fèi)用為（萬元），且，當(dāng)時(shí)，求隔熱層厚度的取值范圍．
【答案】（1）該商場(chǎng)建造的隔熱層厚度為
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)以及解一元二次方程，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)以及解一元二次方程，弄清楚題意是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意可以得出，再令，解一元二次方程求解即可；
（2）將（1）中代入，可得出與的關(guān)系式，然后利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出的取值范圍．
【小問1詳解】
由題意得：
整理得，
當(dāng)時(shí)，則，
解得：．
，
不符合題意，舍去，
該商場(chǎng)建造的隔熱層厚度為6．
【小問2詳解】
由（1）得，
，
．
，
隨的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得；
的取值范圍為．
20. 如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑，的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的直徑．
【答案】（1）證明見解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）連接，由角平分線可得，又由可得，即得，由得，進(jìn)而可得，即得，即可求證；
（）是的直徑可得，又由（）知，由，，進(jìn)而可得，再根據(jù)，，，可得，得到，，解得到，再解即可求解；
本題考查了角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，三角函數(shù)，掌握?qǐng)A的有關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
證明：連接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵是半徑，
∴是的切線；
【小問2詳解】
解：∵是的直徑，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴
∵，，
∴，
∵，，，
∴
∴，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
即的直徑為．
21. 在光伏發(fā)電系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)，太陽能板（如圖1）與水平地面的夾角會(huì)對(duì)太陽輻射的接收產(chǎn)生直接影響．某地區(qū)工作人員對(duì)日平均太陽輻射量（單位：）和太陽能板與水平地面的夾角進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制了如圖2所示的散點(diǎn)圖，已知該散點(diǎn)圖可用二次函數(shù)刻畫．
（1）求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；
（2）該地區(qū)太陽能板與水平地面的夾角為多少度時(shí)，日平均太陽輻射量最大？
（3）圖3是該地區(qū)太陽能板安裝后的示意圖（此時(shí)，太陽能板與水平地面的夾角使得日平均太陽輻射量最大），為太陽能板與水平地面的夾角，為支撐桿．已知，是的中點(diǎn)，．在延長(zhǎng)線上選取一點(diǎn)，在兩點(diǎn)間選取一點(diǎn)，測(cè)得，在兩點(diǎn)處分別用測(cè)角儀測(cè)得太陽能板頂端的仰角為，，該測(cè)角儀支架的高為1m．求支撐桿的長(zhǎng)．（精確到m，參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為，將圖中的點(diǎn)代入即可求出答案；
（2）求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，在對(duì)稱軸處取最值；
（3）延長(zhǎng)與過點(diǎn)作的線交于點(diǎn)，令，根據(jù)三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，求出即可得到答案．
【小問1詳解】
解：設(shè)關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為，
將代入，
得，
解得，
；
【小問2詳解】
解：根據(jù)函數(shù)解析式得函數(shù)對(duì)稱軸，
故陽能板與水平地面的夾角為度時(shí)，日平均太陽輻射量最大；
【小問3詳解】
解：，
延長(zhǎng)與過點(diǎn)作的線交于點(diǎn)，令，
，，
，
，
，
，
，
延長(zhǎng)交與點(diǎn)，
，
，
，
，
，
．
22. 【問題提出】
在綠化公園時(shí)，需要安裝一定數(shù)量的自動(dòng)噴灑裝置，定時(shí)噴水養(yǎng)護(hù)，某公司準(zhǔn)備在一塊邊長(zhǎng)為的正方形草坪（如圖1）中安裝自動(dòng)噴灑裝置，為了既節(jié)約安裝成本，又盡可能提高噴灑覆蓋率，需要設(shè)計(jì)合適的安裝方案．
說明：一個(gè)自動(dòng)噴灑裝置的噴灑范圍是半徑為的圓面．噴灑覆蓋率，為待噴灑區(qū)域面積，為待噴灑區(qū)域中的實(shí)際噴灑面積．
【數(shù)學(xué)建模】
這個(gè)問題可以轉(zhuǎn)化為用圓面覆蓋正方形面積的數(shù)學(xué)問題．
【探索發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖2，在該草坪中心位置設(shè)計(jì)安裝1個(gè)噴灑半徑為的自動(dòng)噴灑裝置，該方案的噴灑覆蓋率______．
（2）如圖3，在該草坪內(nèi)設(shè)計(jì)安裝4個(gè)噴灑半徑均為的自動(dòng)噴灑裝置；如圖4，設(shè)計(jì)安裝9個(gè)噴灑半徑均為3m的自動(dòng)噴灑裝置；，以此類推，如圖5，設(shè)計(jì)安裝個(gè)噴灑半徑均為的自動(dòng)噴灑裝置．與（1）中的方案相比，采用這種增加裝置個(gè)數(shù)且減小噴灑半徑的方案，能否提高噴灑覆蓋率？請(qǐng)判斷并給出理由．
（3）如圖6所示，該公司設(shè)計(jì)了用4個(gè)相同的自動(dòng)噴灑裝置噴灑的方案，且使得該草坪的噴灑覆蓋率．已知正方形各邊上依次取點(diǎn)F，G，H，E，使得，設(shè)，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求當(dāng)取得最小值時(shí)的值．
【問題解決】
（4）該公司現(xiàn)有噴灑半徑為的自動(dòng)噴灑裝置若干個(gè)，至少安裝幾個(gè)這樣的噴灑裝置可使該草坪的噴灑覆蓋率？（直接寫出結(jié)果即可）
【答案】（1）；（2）不能，理由見解析；（3）；當(dāng)取得最小值時(shí)；（4）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)定義，分別計(jì)算圓的面積與正方形的面積，即可求解；
（2）根據(jù)（1）的方法求得噴灑覆蓋率即可求解；
（3）根據(jù)勾股定理求得的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)圓的面積公式得出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（4）根據(jù)（3）的結(jié)論可得當(dāng)圓為正方形的外接圓時(shí)，面積最小，則求得半徑為的圓的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為，進(jìn)而將草坪分為個(gè)正方形，即可求解．
【詳解】（1）當(dāng)噴灑半徑為時(shí)，噴灑的圓面積．
正方形草坪的面積．
故噴灑覆蓋率．
（2）對(duì)于任意的，噴灑面積，而草坪面積始終為．
因此，無論取何值，噴灑覆蓋率始終為．
這說明增加裝置個(gè)數(shù)同時(shí)減小噴灑半徑，對(duì)提高噴灑覆蓋率不起作用．
（3）如圖所示，連接，
要使噴灑覆蓋率，即要求，其中為草坪面積，為噴灑面積．
∴都經(jīng)過正方形的中心點(diǎn)，
中，，，
∵
∴，
在中，
∴
∴
∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)
解得：
（4）由（3）可得，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，此時(shí)圓為邊長(zhǎng)為的正方形的外接圓，
則當(dāng)時(shí)，圓的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為
而草坪的邊長(zhǎng)為，，即將草坪分為個(gè)正方形，將半徑為的自動(dòng)噴灑裝置放置于9個(gè)正方形的中心，此時(shí)所用裝置個(gè)數(shù)最少，
∴至少安裝個(gè)這樣的噴灑裝置可使該草坪的噴灑覆蓋率
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形與圓綜合問題，二次函數(shù)的應(yīng)用；本題要求我們先理解和計(jì)算噴灑覆蓋率，然后通過調(diào)整噴灑裝置的數(shù)量和噴灑半徑來分析噴灑覆蓋率的變化，最后在一個(gè)特定的條件下找出噴灑面積和噴灑半徑之間的函數(shù)關(guān)系．解決此類問題的關(guān)鍵在于將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即如何將噴灑覆蓋率的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為面積計(jì)算和函數(shù)求解問題．同時(shí)，在解決具體問題時(shí)，需要靈活運(yùn)用已知的數(shù)學(xué)知識(shí)，如圓的面積公式，正方形面積公式，以及函數(shù)解析式求解等．最后，還需要注意將數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果還原為實(shí)際問題的解決方案．
商家
統(tǒng)計(jì)量
中位數(shù)
眾數(shù)
平均數(shù)
方差
甲商家
乙商家

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