濟(jì)寧市二○二四年初中學(xué)業(yè)水平考試
數(shù)學(xué)試題
注意事項(xiàng)：
1．本試卷共6頁(yè)，考試時(shí)間120分鐘，共100分．
2．答題前，考生務(wù)必先核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)和座號(hào)，然后用0.5毫米黑色墨水簽字筆將本人的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)和座號(hào)填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置．
3．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆填涂答題卡上相應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)，如需改動(dòng)，必須先用橡皮擦干凈，再改涂其它答案．
4．答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)，務(wù)必在題號(hào)所指示的答題區(qū)域內(nèi)作答．
5．填空題請(qǐng)直接將答案填寫(xiě)在答題卡上，解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
6．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．
1. 的絕對(duì)值是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查絕對(duì)值，屬于簡(jiǎn)單基礎(chǔ)題，根據(jù)絕對(duì)值的意義求解即可．
【詳解】解：的絕對(duì)值是3，
故選：D．
2. 如圖是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，把展開(kāi)圖折疊成正方體后，有“建”字一面的相對(duì)面上的字是（ ）
A. 人B. 才C. 強(qiáng)D. 國(guó)
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字，正方體的表面展開(kāi)圖，相對(duì)的面之間一定相隔一個(gè)正方形，“Z”型首尾是相對(duì)的面，根據(jù)這一特點(diǎn)作答．
【詳解】解：由圖可得，有“建”字一面的相對(duì)面上的字是“國(guó)”，
故選：D．
3. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此題考查二次根式的運(yùn)算法則，根據(jù)二次根式的加法法則對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對(duì)C進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的性質(zhì)對(duì)D進(jìn)行判斷．
【詳解】A. 不能合并，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B. ，所以B選項(xiàng)正確；
C. ，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D. ，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．
4. 如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，E是的中點(diǎn)，連接．若，則菱形的邊長(zhǎng)為（ ）

A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，根據(jù)“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”可得，即可得解．
本題主要考查了菱形的性質(zhì)和“直角三角形中斜邊中線等于斜邊一半”的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，
，
∵E是的中點(diǎn)，
，
∴。
故選：A．
5. 為了解全班同學(xué)對(duì)新聞、體育、動(dòng)畫(huà)、娛樂(lè)、戲曲五類(lèi)節(jié)目的喜愛(ài)情況，班主任對(duì)全班50名同學(xué)進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查（每名同學(xué)只選其中的一類(lèi)），依據(jù)50份問(wèn)卷調(diào)查結(jié)果繪制了全班同學(xué)喜愛(ài)節(jié)目情況扇形統(tǒng)計(jì)圖（如圖所示）．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 班主任采用的是抽樣調(diào)查B. 喜愛(ài)動(dòng)畫(huà)節(jié)目的同學(xué)最多
C. 喜愛(ài)戲曲節(jié)目的同學(xué)有6名D. “體育”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)全班共50名學(xué)生，班主任制作了50份問(wèn)卷調(diào)查，可知班主任采用的是普查，由此可判斷A；根據(jù)喜愛(ài)娛樂(lè)節(jié)目的同學(xué)所占的百分比最多，可判斷B；用50乘以喜愛(ài)戲曲節(jié)目的同學(xué)所占的百分比計(jì)算出喜愛(ài)戲曲節(jié)目的同學(xué)的人數(shù)，可判斷C；用乘以“體育”所占的百分比求出“體育”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)，即可判斷D．
本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖，從扇形統(tǒng)計(jì)圖中正確獲取信息是解題關(guān)鍵．
【詳解】全班共50名學(xué)生，班主任制作了50份問(wèn)卷調(diào)查，
所以班主任采用的是全面調(diào)查，
故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
喜愛(ài)娛樂(lè)節(jié)目的同學(xué)所占的百分比最多，因此喜愛(ài)娛樂(lè)節(jié)目的同學(xué)最多，
故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
喜愛(ài)戲曲節(jié)目的同學(xué)有名，
故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
“體育”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為，
故D選項(xiàng)正確．
故選：D．
6. 如圖，邊長(zhǎng)為2的正六邊形內(nèi)接于，則它的內(nèi)切圓半徑為（ ）

A. 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了正多邊形與圓，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理；
連接，，作于G，證明是等邊三角形，可得，然后利用勾股定理求出即可．
【詳解】解：如圖，連接，，作于G，

∵，，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即它的內(nèi)切圓半徑為，
故選：D．
7. 已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)的圖象分布在第二、四象限，在每一象限，y隨x的增大而增大，結(jié)合三點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可求解，掌握反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴函數(shù)的圖象分布在第二、四象限，在每一象限，y隨x的增大而增大，
∵，
∴
∴，
故選：C．
8. 解分式方程時(shí)，去分母變形正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查通過(guò)去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，方程兩邊同乘各分母的最簡(jiǎn)公分母，即可去分母．
【詳解】解：方程兩邊同乘，得，
整理可得：
故選：A．
9. 如圖，分別延長(zhǎng)圓內(nèi)接四邊形的兩組對(duì)邊，延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．若，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)“圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)”可得，．根據(jù)三角形外角定理可得，，由此可得，又由，可得，即可得解．
本題主要考查了“圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)”和三角形外角定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵四邊形是的內(nèi)接四邊形我
∴，
，，
，
，，，
，
解得，
，
．
故選：C
10. 如圖，用大小相等的小正方形按照一定規(guī)律拼正方形．第一幅圖有1個(gè)正方形，第二幅圖有5個(gè)正方形，第三幅圖有14個(gè)正方形……按照此規(guī)律，第六幅圖中正方形的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 90B. 91C. 92D. 93
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了規(guī)律型問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形并找到有關(guān)圖形個(gè)數(shù)的規(guī)律．仔細(xì)觀察圖形知道第1個(gè)圖形有1個(gè)正方形，第2個(gè)有個(gè)，第3個(gè)圖形有個(gè)，…由此得到規(guī)律求得第6個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)即可．
【詳解】第1個(gè)圖形有1個(gè)正方形，
第2個(gè)圖形有個(gè)正方形，
第3個(gè)圖形有個(gè)正方形，
……
第6個(gè)圖形有（個(gè)）正方形，
故選：B.
二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．
11. 我國(guó)自主研發(fā)的口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（）有“中國(guó)天眼”之稱，它的反射面面積約為．將數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值大于與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．
【詳解】解：，
故答案為：．
12. 已知，則的值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】本題考查了代數(shù)式的求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整體思想的運(yùn)用．根據(jù)對(duì)已知條件進(jìn)行變形得到，代入進(jìn)而即可求解
【詳解】解：，
，
故答案為：2
13. 如圖，四邊形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件______，使四邊形是平行四邊形．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本題考查平行四邊形的判定，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可求解．
【詳解】解：添加條件：，
證明：∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴四邊形是平行四邊形．
故答案為：（答案不唯一）
14. 將拋物線向下平移k個(gè)單位長(zhǎng)度．若平移后得到的拋物線與x軸有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)平移的規(guī)律寫(xiě)出拋物線向下平移k個(gè)單位長(zhǎng)度后的拋物線的表達(dá)式，再根據(jù)平移后得到的拋物線與x軸有公共點(diǎn)可得，由此列不等式即可求出k的取值范圍．
此題考查了二次函數(shù)圖像的平移與幾何變換，以及拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，利用拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：將拋物線向下平移k個(gè)單位長(zhǎng)度得，
∵與x軸有公共點(diǎn)，
∴，
即，
解得，
故答案為：．
15. 如圖，中，，是的角平分線．
（1）以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)，．
（2）以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)．
（3）以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與（2）中所畫(huà)的弧相交于點(diǎn)．
（4）畫(huà)射線．
（5）以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線于點(diǎn)．
（6）連接，，分別交，于點(diǎn)，．
根據(jù)以上信息，下面五個(gè)結(jié)論中正確的是______．（只填序號(hào)）
①；②；③；④；⑤．
【答案】①②⑤
【解析】
【分析】本題為尺規(guī)作圖幾何綜合題，涉及到了等腰三角形的性質(zhì)即判定，矩形的判定，含角的直角三角形的定義，銳角三角函數(shù)的比值關(guān)系，相似三角形的判定及性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用角的等量代換是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可判斷出①；過(guò)作于點(diǎn)，證出四邊形為矩形，即可通過(guò)邊的比值關(guān)系求出，即可求出判斷②；利用三角形外角和分別求出兩個(gè)角的值進(jìn)行比較即可判斷③；設(shè)，則，用含的式子分別表達(dá)出和的長(zhǎng)度后即可判斷④；判定出即可判斷⑤．
【詳解】解：∵，，
∴三角形等腰直角三角形，，
又∵是的角平分線，
∴，
∴，
∴，故①正確；
根據(jù)題意作圖可得：，，
過(guò)作于點(diǎn)，則，如圖所示：
∵是的角平分線，由三線合一可得：，即，
∵，
∴，
∴四邊形為矩形，
∴，
∴，
∴，故②正確；
∵，，
∴，故③錯(cuò)誤；
設(shè)，則，
∵，
∴，
∴，即，，即，
∴，故④錯(cuò)誤；
∵，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，故⑤正確；
綜上所述，正確的有：①②⑤；
故答案為：①②⑤．
三、解答題：本大題共7小題，共55分．
16. 先化簡(jiǎn)，再求值：
，其中，．
【答案】
【解析】
【分析】先將原式利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，以及平方差公式化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并同類(lèi)項(xiàng)得到最簡(jiǎn)結(jié)果，再把x與y的值代入計(jì)算即可求出結(jié)果．
此題考查了整式的混合運(yùn)算及化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
【詳解】解：
，
當(dāng)，時(shí)，
原式．
17. 如圖，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是．
（1）將向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得，畫(huà)出平移后的圖形，并直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得．畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．
【答案】（1）作圖見(jiàn)解析，
（2）作圖見(jiàn)解析，
【解析】
【分析】本題考查了作圖—平移變換和旋轉(zhuǎn)變換，弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵熟練掌握平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，
（1）利用平移的性質(zhì)作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再連線即可，
（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再連線，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)即為弧長(zhǎng)即可可求解
【小問(wèn)1詳解】
解：如下圖所示：
由圖可知：；
【小問(wèn)2詳解】
解：如上圖所示：
運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑為：
18. 為做好青少年安全教育工作，某校開(kāi)展了主題為“珍愛(ài)生命，牢記安全”的知識(shí)競(jìng)賽（共20題，每題5分，滿分100分）．該校從學(xué)生成績(jī)都不低于80分的八年級(jí)（1）班和（3）班中，各隨機(jī)抽取了20名學(xué)生成績(jī)進(jìn)行整理，繪制了不完整的統(tǒng)計(jì)表、條形統(tǒng)計(jì)圖及分析表．
【收集數(shù)據(jù)】
八年級(jí)（1）班20名學(xué)生成績(jī)：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．
八年級(jí)（3）班20名學(xué)生成績(jī)：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
【描述數(shù)據(jù)】
八年級(jí)（1）班20名學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)表
【分析數(shù)據(jù)】
八年級(jí)（1）班和（3）班20名學(xué)生成績(jī)分析表
【應(yīng)用數(shù)據(jù)】
根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題．
（1）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖：
（2）填空：______，______；
（3）你認(rèn)為哪個(gè)班級(jí)的成績(jī)更好一些？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）從上面5名得100分的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加市級(jí)知識(shí)競(jìng)賽．請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求所抽取的2名學(xué)生恰好在同一個(gè)班級(jí)的概率．
【答案】（1）見(jiàn)詳解 （2）91，92.5
（3）八年級(jí)（1）班成績(jī)較好，理由見(jiàn)詳解
（4）
【解析】
【分析】（1）由八年級(jí)（3）班20名學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)可得90分學(xué)生有7人，95分學(xué)生有6人，補(bǔ)全條形統(tǒng)即可；
（2）由八年級(jí)（1）班20名學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)可得，，根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）從平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)綜合分析得八年級(jí)（1）班成績(jī)較好；
（4）設(shè)八年級(jí)（1）班的三名100分的學(xué)生用A、B、C表示，八年級(jí)（3）班的兩名100分的學(xué)生用X、Y表示，用列表法表示出所有可能結(jié)果，再?gòu)闹姓页?名學(xué)生恰好在同一個(gè)班級(jí)的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：由八年級(jí)（3）班20名學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)可得90分學(xué)生有7人，95分學(xué)生有6人，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：
【小問(wèn)2詳解】
解：由八年級(jí)（1）班20名學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)可得，，
∴，
一共20名學(xué)生，中位數(shù)應(yīng)該為第10名與第11名平均數(shù)，
．
【小問(wèn)3詳解】
解：八年級(jí)（1）班和八年級(jí)（3）班平均成績(jī)相同，但八年級(jí)（1）班的中位數(shù)和眾數(shù)都比八年級(jí)（3）班高，即八年級(jí)（1）班高分段人數(shù)較多．因此八年級(jí)（1）班成績(jī)較好．
【小問(wèn)4詳解】
解：設(shè)八年級(jí)（1）班的三名100分的學(xué)生用A、B、C表示．八年級(jí)（3）班的兩名100分的學(xué)生用X、Y表示，則隨機(jī)抽兩名學(xué)生的所有情況如下：
一共有20種情況．其中兩名同學(xué)在同一個(gè)班級(jí)的有共8種，
∴所抽取的2名學(xué)生恰好在同一個(gè)班級(jí)的概率為： ．
【點(diǎn)睛】本題考查讀統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖，利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息的能力以及中位數(shù)，眾數(shù)和平均數(shù)，以及概率的計(jì)算．利用統(tǒng)計(jì)表獲取信息時(shí)，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計(jì)圖，才能作出正確的判斷和解決問(wèn)題．
19. 如圖，內(nèi)接于，D是上一點(diǎn)，．E是外一點(diǎn)，，連接．
（1）若，求的長(zhǎng)；
（2）求證：是的切線．
【答案】（1）
（2）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)可得，然后證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得答案；
（2）連接，首先證明，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和圓周角定理求出，然后計(jì)算出即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
證明：如圖，連接，
由（1）得：，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是半徑，
∴是的切線．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，圓周角定理，切線的判定等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
20. 某商場(chǎng)以每件80元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，在一段時(shí)間內(nèi)，銷(xiāo)售量y（單位：件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（單位：元/件）之間是一次函數(shù)關(guān)系，其部分圖象如圖所示．
（1）求這段時(shí)間內(nèi)y與x之間的函數(shù)解析式；
（2）在這段時(shí)間內(nèi)，若銷(xiāo)售單價(jià)不低于100元，且商場(chǎng)還要完成不少于220件的銷(xiāo)售任務(wù)，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為多少時(shí)，商場(chǎng)獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
【答案】（1）這段時(shí)間內(nèi)y與x之間的函數(shù)解析式為
（2）當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為元時(shí)，商場(chǎng)獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是元
【解析】
【分析】（1）設(shè)這段時(shí)間內(nèi)y與x之間的函數(shù)解析式為，函數(shù)經(jīng)過(guò)，，可以利用待定系數(shù)法建立二元一次方程組，即可求出解析式；
（2）根據(jù)銷(xiāo)售單價(jià)不低于100元，且商場(chǎng)還要完成不少于220件，建立一元一次不等式組，即可求出銷(xiāo)售單價(jià)的取值范圍，要求最大利潤(rùn)，首先設(shè)獲得利潤(rùn)為，寫(xiě)出關(guān)于的二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的增減性和的取值范圍，即可求出獲得利潤(rùn)的最大值
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)這段時(shí)間內(nèi)y與x之間的函數(shù)解析式為，
由圖象可知，函數(shù)經(jīng)過(guò)，，
可得，解得，
這段時(shí)間內(nèi)y與x之間的函數(shù)解析式為；
小問(wèn)2詳解】
解：銷(xiāo)售單價(jià)不低于100元，且商場(chǎng)還要完成不少于220件，
，，
即，解得，
設(shè)獲得利潤(rùn)為，即，
對(duì)稱軸，
，即二次函數(shù)開(kāi)口向下，的取值范圍是，
在范圍內(nèi)，隨著的增大而增大，
即當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)時(shí)，獲得利潤(rùn)有最大值，
最大利潤(rùn)元．
【點(diǎn)睛】本題考查了求一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，解二元一次方程組，解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)最大值的求解．
21. 綜合與實(shí)踐
某校數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組用一張矩形紙片（如圖1，矩形中，且足夠長(zhǎng)）進(jìn)行探究活動(dòng)．
【動(dòng)手操作】
如圖2，第一步，沿點(diǎn)A所在直線折疊，使點(diǎn)D落在上的點(diǎn)E處，折痕為，連接，把紙片展平．
第二步，把四邊形折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，折痕為，再把紙片展平．
第三步，連接．
【探究發(fā)現(xiàn)】
根據(jù)以上操作，甲、乙兩同學(xué)分別寫(xiě)出了一個(gè)結(jié)論．
甲同學(xué)的結(jié)論：四邊形是正方形．
乙同學(xué)的結(jié)論：．
（1）請(qǐng)分別判斷甲、乙兩同學(xué)的結(jié)論是否正確．若正確，寫(xiě)出證明過(guò)程；若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【繼續(xù)探究】
在上面操作的基礎(chǔ)上，丙同學(xué)繼續(xù)操作．
如圖3，第四步，沿點(diǎn)G所在直線折疊，使點(diǎn)F落在上的點(diǎn)M處，折痕為，連接，把紙片展平．
第五步，連接交于點(diǎn)N．
根據(jù)以上操作，丁同學(xué)寫(xiě)出了一個(gè)正確結(jié)論：．
（2）請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論．
【答案】（1）甲、乙同學(xué)的結(jié)論正確，證明見(jiàn)解析，（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，正方形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的三線合一性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線并熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理，
（1）先證明四邊形為矩形，再根據(jù)即可證明四邊形為正方形，設(shè)，由折疊性質(zhì)可知：，，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)分別求出，，即可得出，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（2）作交于點(diǎn)R，利用證明，得出，再證明四邊形為菱形，得出，進(jìn)而證明，再根據(jù)證明，得出，進(jìn)而證明，即可得出結(jié)論
【詳解】解：（1）甲、乙同學(xué)的結(jié)論都正確，理由如下：
四邊形是矩形，
由第一步操作根據(jù)折疊性質(zhì)可知：
四邊形為矩形，
又
四邊形為正方形，
故甲同學(xué)的結(jié)論正確；
作于點(diǎn)M，
四邊形為正方形，
設(shè)，
由第二步操作根據(jù)折疊性質(zhì)可知：，
在中，
在中，,
故乙同學(xué)結(jié)論正確；
（2）作交于點(diǎn)R，如圖所示：
為折痕,

四邊形為矩形，
在和中，
又
由折疊性質(zhì)可知：
四邊形為菱形，
即
在和中，
22. 已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，其中a，b，c為常數(shù)，且．
（1）求a，c的值；
（2）若該二次函數(shù)的最小值是，且它的圖像與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
①求該二次函數(shù)的解析式，并直接寫(xiě)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
②如圖，在y軸左側(cè)該二次函數(shù)的圖像上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D，與直線交于點(diǎn)E，連接，，．是否存在點(diǎn)P，使？若存在，求此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1），
（2）①該二次函數(shù)的解析式為：；，
②存在，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：或或
【解析】
【分析】（1）先求得，則可得和關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，由此可得，進(jìn)而可求得；
（2）①根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得，由此可求得，進(jìn)而可得拋物線的表達(dá)式為，進(jìn)而可得，；
②分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，分別畫(huà)出圖形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵的圖像經(jīng)過(guò)，
∴，
∴和關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴，
，
，
∴，．
【小問(wèn)2詳解】
解：①∵，，
∴，
∵，
∵解得，
∵，且，
∴，
∴，
∴該二次函數(shù)的解析式為：，
當(dāng)時(shí)，，
解得，，
∴， ．
②設(shè)直線的表達(dá)式為：，
則，
解得，
∴直線的表達(dá)式為：，
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，作于F，如圖所示：
設(shè)，則，，
則，
,
，
∵，，，
∴
，
∵，
，
解得：，，
∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)為或；
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，作于F，如圖所示：
設(shè)，則，，
則，
,
，
∵，，，
∴
，
∵，
，
解得：，（舍去），
∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)為，
綜上所述，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，二次函數(shù)與幾何綜合，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式．熟練掌握“三角形面積水平寬鉛錘高”是解題的關(guān)鍵．分?jǐn)?shù)
80
85
90
95
100
人數(shù)
3
3
a
b
3
統(tǒng)計(jì)量
班級(jí)
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
八年級(jí)（1）班
95
41.5
八年級(jí)（3）班
91
90
26.5
(1)班 （3）班
A
B
C
X
Y
A
AB
AC
AX
AY
B
BA
BC
BX
BY
C
CA
CB
CX
CY
X
XA
XB
XC
XY
Y
YA
YB
YC
YX

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