1．本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，共6頁(yè)，滿分120分，考試用時(shí)120分鐘．考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回．
2．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座號(hào)填寫在試題卷和答題卡規(guī)定的位置上．
3．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．答案不能答在試題卷上．
4．第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，不能寫在試題卷上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶．不按以上要求作答的答案無(wú)效．
第Ⅰ卷（選擇題共24分）
一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題3分，滿分24分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．
1. 的絕對(duì)值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了絕對(duì)值，根據(jù)數(shù)軸上某個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的定義進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵，
∴的絕對(duì)值是，
故選：B．
2. 如圖，一個(gè)三棱柱無(wú)論怎么擺放，其主視圖不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了物體的三視圖，根據(jù)三棱柱的表面由個(gè)三角形，個(gè)正方形，個(gè)矩形構(gòu)成即可判斷求解，掌握三棱柱的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵三棱柱的表面由個(gè)三角形，個(gè)正方形，個(gè)矩形構(gòu)成，
∴其主視圖可能是三角形或正方形或矩形，不可能是圓，
故選：．
3. 數(shù)學(xué)中有許多精美的曲線，以下是“懸鏈線”“黃金螺旋線”“三葉玫瑰線”和“笛卡爾心形線”．其中不是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，這時(shí)，我們也可以說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A，C，D選項(xiàng)中的圖形都能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；
B選項(xiàng)中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形．
故選：B．
4. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了冪的運(yùn)算．根據(jù)冪的乘方運(yùn)算、積的乘方運(yùn)算、同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算、同底數(shù)冪的除法運(yùn)算逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案．
【詳解】解：A、，本選項(xiàng)不符合題意；
B、，本選項(xiàng)不符合題意；
C、，本選項(xiàng)不符合題意；
D、，本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
5. 若點(diǎn)在第二象限，那么a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查各象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，解一元一次不等式組．根據(jù)點(diǎn)在第二象限可得不等式組，求解即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)在第二象限，
∴，
解得：．
故選：A．
6. 在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高15名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)缦卤硭荆?br>某同學(xué)分析上表后得出如下結(jié)論：
①這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的平均數(shù)是1.65；
②這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的中位數(shù)是1.70；
③這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)是1.75．
上述結(jié)論中正確的是（ ）
A. ②③B. ①③C. ①②D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)．根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的意義求解即可．
【詳解】解：①這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的平均數(shù)是，原說(shuō)法不正確；
②這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的中位數(shù)是從小到大排列第8個(gè)數(shù)為1.70，原說(shuō)法正確；
③這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)出現(xiàn)最多的是1.75，則的眾數(shù)是1.75，原說(shuō)法正確．
故選：A．
7. 點(diǎn)和點(diǎn)在反比例函數(shù)（為常數(shù)）的圖象上，若，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，利用配方法可得，進(jìn)而得到反比例函數(shù)的圖象分布在一、三象限，時(shí)，，時(shí)，，據(jù)此即可求解，利用配方法得到是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴反比例函數(shù)的圖象分布在一、三象限，時(shí)，，時(shí)，，
∵，
∴，
故選：．
8. 劉徽（今山東濱州人）是魏晉時(shí)期我國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家，中國(guó)古典數(shù)學(xué)理論的奠基者之一，被譽(yù)為“世界古代數(shù)學(xué)泰斗”．劉徽在注釋《九章算術(shù)》時(shí)十分重視一題多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圓公式的推導(dǎo)，他給出了內(nèi)切圓直徑的多種表達(dá)形式．如圖，中，，的長(zhǎng)分別為．則可以用含的式子表示出的內(nèi)切圓直徑，下列表達(dá)式錯(cuò)誤的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如圖，設(shè)為切點(diǎn)，連接，則，再結(jié)合切線長(zhǎng)定理可判定A，再結(jié)合三角形的面積可判定B，再由，結(jié)合完全平方公式與勾股定理可判斷C，通過(guò)舉反例可得D錯(cuò)誤.
【詳解】解：如圖，設(shè)為切點(diǎn)，連接，則，，，，
由切線長(zhǎng)定理得，，，，
∵，，
∴四邊形是正方形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故正確，不合題意；
∵，
∴，
∴
∴，故正確，不合題意；
∵，
，
∵，
，
∵，
，故C正確；
令，，，
，
而，
，故D錯(cuò)誤；
故選D
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，分解因式的應(yīng)用，舉反例的應(yīng)用，切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用，掌握基礎(chǔ)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵.
第Ⅱ卷（非選擇題共96分）
二、填空題：本大題共8個(gè)小題，每小題3分，滿分24分．
9. 若分式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是_____．
【答案】x≠1
【解析】
【分析】分式有意義的條件是分母不等于零．
【詳解】∵分式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，
∴x?1≠0，
解得：x≠1
故答案為x≠1．
【點(diǎn)睛】此題考查分式有意義的條件，解題關(guān)鍵在于分母不等于零使得分式有意義．
10. 寫出一個(gè)比大且比小的整數(shù)是___________．
【答案】2或3
【解析】
【分析】先估算出、的大小，然后確定范圍在其中的整數(shù)即可．
【詳解】∵ ，
∴
即比大且比小的整數(shù)為2或3，
故答案為：2或3
【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算和大小比較，掌握無(wú)理數(shù)估算的方法是正確解答的關(guān)鍵．
11. 將拋物線先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)___________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換和二次函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)“上加下減，左加右減”的規(guī)律進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：由拋物線先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，
根據(jù)“上加下減，左加右減”規(guī)律可得拋物線是，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是
故答案為：．
12. 一副三角板如圖1擺放，把三角板繞公共頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，即時(shí)，大小為_(kāi)___________．

【答案】75
【解析】
【分析】本題考查了的平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)．由，推出，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故答案為：75．
13. 如圖，在中，點(diǎn)D，E分別在邊上．添加一個(gè)條件使，則這個(gè)條件可以是____________．（寫出一種情況即可）

【答案】或或
【解析】
【分析】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．
利用有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似添加條件．
【詳解】解：，
∴當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，．
故答案為：或或．
14. 如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若四邊形AOCD是菱形，∠B的度數(shù)是______．
【答案】60°##60度
【解析】
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠B+∠D=180°，根據(jù)菱形的性質(zhì)，圓周角定理列式計(jì)算即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠B+∠D=180°，
∵四邊形OACD是菱形，
∴∠AOC=∠D，
由圓周角定理得，∠B=∠AOC，
∴∠B+2∠B=180°，
解得，∠B=60°，
故答案為：60°．
【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
15. 如圖，四邊形AOBC四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，，在該平面內(nèi)找一點(diǎn)P，使它到四個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，則P點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，兩點(diǎn)之間線段最短．連接相交于點(diǎn)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”知最小，利用待定系數(shù)法求得直線和的解析式，聯(lián)立即可求解．
【詳解】解：連接相交于點(diǎn)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”知最小，
設(shè)直線的解析式為，則有，
解得，
∴直線的解析式為，
設(shè)直線的解析式為，
則有，
解得，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立得，
解得，則，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為，
故答案為：．
16. 如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上．
（1）的長(zhǎng)為_(kāi)___________；
（2）請(qǐng)只用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出以為邊的矩形，使其面積為，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)C，D的位置是如何找到的（不用證明）：____________．
【答案】 ①. ②. 取點(diǎn)，得到正方形，交格線于點(diǎn)，交格線于點(diǎn)，連接，得到矩形，即為所求．
【解析】
【分析】本題考查了網(wǎng)格與勾股定理，勾股定理的逆定理，矩形的性質(zhì)與判定，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)勾股定理直接計(jì)算即可求解；
（2）取點(diǎn)，得到正方形，交格線于點(diǎn)，交格線于點(diǎn)，連接，得到矩形，即為所求．
【詳解】（1）
故答案為：；
（2）取點(diǎn)，則，得到正方形，
∴正方形的面積為，
交格線于點(diǎn)，交格線于點(diǎn)，
連接，得到矩形，
∵，
∴，
∴，
∴矩形的面積為，
如圖，矩形，即為所求．
．
故答案：取點(diǎn)，得到正方形，交格線于點(diǎn)，交格線于點(diǎn)，連接，得到矩形，即為所求．
三、解答題：本大題共8個(gè)小題，滿分72分．解答時(shí)請(qǐng)寫出必要的演推過(guò)程．
17. 計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律即可求解，掌握據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：原式，
，
，
．
18. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2），．
【解析】
【分析】本題主要考查了解一元一次方程和一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解方程的一般步驟，準(zhǔn)確計(jì)算．
（1）先去分母，再去括號(hào)，然后移項(xiàng)并合并同類項(xiàng)，最后系數(shù)化為1即可得解；
（2）用因式分解法，解一元二次方程即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：，
去括號(hào)得：，
去括號(hào)得：，
移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：；
【小問(wèn)2詳解】
解：，
分解因式得：，
∴或，
解得：，．
19. 歐拉是歷史上享譽(yù)全球的最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他不僅在高等數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域作出杰出貢獻(xiàn)，也在初等數(shù)學(xué)中留下了不凡的足跡．設(shè)a，b，c為兩兩不同的數(shù)，稱為歐拉分式．
（1）寫出對(duì)應(yīng)的表達(dá)式；
（2）化簡(jiǎn)對(duì)應(yīng)的表達(dá)式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，弄清歐拉公式的特點(diǎn)，利用分式的加減法計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
（1）將代入歐拉公式即可；
（2）將代入歐拉公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：當(dāng)時(shí)，
【小問(wèn)2詳解】
．
20. 某校勞動(dòng)實(shí)踐基地共開(kāi)設(shè)五門勞動(dòng)實(shí)踐課程，分別是A：床鋪整理，B：衣物清洗，C：手工制作、D：簡(jiǎn)單烹飪、E：綠植栽培；課程開(kāi)設(shè)一段時(shí)間后，季老師采用抽樣調(diào)查的方式在全校學(xué)生中開(kāi)展了“我最喜歡的勞動(dòng)實(shí)踐課程”為主題的問(wèn)卷調(diào)查．根據(jù)調(diào)查所收集的數(shù)我進(jìn)行整理、繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．
根據(jù)圖中信息，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（1）請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整，并直接寫出“手工制作”對(duì)應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)；
（2）若該校共有1800名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)全校最喜歡“綠植栽培”的學(xué)生人數(shù)；
（3）小蘭同學(xué)從B，C，D三門課程中隨機(jī)選擇一門參加勞動(dòng)實(shí)踐，小亮同學(xué)從C，D，E三門課程中隨機(jī)選擇一門參加勞動(dòng)實(shí)踐，求兩位同學(xué)選擇相同課程的概率．
【答案】（1）補(bǔ)充條形統(tǒng)計(jì)圖見(jiàn)解析；“手工制作”對(duì)應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)為；
（2）估計(jì)全校最喜歡“綠植栽培”的學(xué)生人數(shù)為540人；
（3）甲乙兩位同學(xué)選擇相同課程的概率為：．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)選擇“E”的人數(shù)及比例求出總?cè)藬?shù)，總?cè)藬?shù)乘以D占的比例求得“D”的人數(shù)，總?cè)藬?shù)減去其他類別的人數(shù)求得“A”的人數(shù)，據(jù)此即可將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整，再用360度乘以“C”占的比例即為“手工制作”對(duì)應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)；
（2）利用樣本估計(jì)總體思想求解；
（3）通過(guò)列表或畫樹(shù)狀圖列出所有等可能的情況，再?gòu)闹姓页龇蠗l件的情況數(shù)，再利用概率公式計(jì)算．
【小問(wèn)1詳解】
解：參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)為：（人），
“D”的人數(shù)（人），
“A”的人數(shù)（人），
“手工制作”對(duì)應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)，
補(bǔ)充條形統(tǒng)計(jì)圖如圖：
【小問(wèn)2詳解】
解：（人），
因此估計(jì)全校最喜歡“綠植栽培”的學(xué)生人數(shù)為540人；
【小問(wèn)3詳解】
解：畫樹(shù)狀圖如下：

由圖可知，共有9種等可能的情況，其中兩位同學(xué)選擇相同課程的情況有2種，
因此甲乙兩位同學(xué)選擇相同課程的概率為：．
【點(diǎn)睛】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、利用樣本估計(jì)總體、利用畫樹(shù)狀圖或者列表法求概率等，解題的關(guān)鍵是將條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖的信息進(jìn)行關(guān)聯(lián)，掌握畫樹(shù)狀圖或者列表法求概率的原理．
21. 【問(wèn)題背景】
某校八年級(jí)數(shù)學(xué)社團(tuán)在研究等腰三角形“三線合一”性質(zhì)時(shí)發(fā)現(xiàn)：
①如圖，在中，若，，則有；
②某同學(xué)順勢(shì)提出一個(gè)問(wèn)題：既然①正確，那么進(jìn)一步推得，即知，若把①中的替換為，還能推出嗎？基于此，社團(tuán)成員小軍、小民進(jìn)行了探索研究，發(fā)現(xiàn)確實(shí)能推出，并分別提供了不同的證明方法．
小軍
小民
【問(wèn)題解決】
（1）完成①的證明；
（2）把②中小軍、小民的證明過(guò)程補(bǔ)充完整．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解三角形，理解題意，作出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意利用全等三角形的判定和性質(zhì)即可證明；
（2）小軍證明：分別延長(zhǎng)至E，F(xiàn)兩點(diǎn)，使得，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出，再由等邊對(duì)等角及三角形的外角性質(zhì)即可證明；
小民證明：利用勾股定理得出，，再由等式的性質(zhì)確定，然后求和得出，即可證明．
【小問(wèn)1詳解】
證明：∵，
∴，
在與中，
，
∴，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
小軍證明：分別延長(zhǎng)至E，F(xiàn)兩點(diǎn)，使得，如圖所示：
∵，
∴即，
∵，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
小民：
證明：∵．
∴與均為直角三角形，
根據(jù)勾股定理，，，
∵①，
∴②，
得：，
∴．
22. 春節(jié)期間，全國(guó)各影院上映多部影片，某影院每天運(yùn)營(yíng)成本為2000元，該影院每天售出的電影票數(shù)量y（單位：張）與售價(jià)x（單位：元/張）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系（，且x是整數(shù)），部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：
（1）請(qǐng)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)該影院每天的利潤(rùn)（利潤(rùn)票房收入運(yùn)營(yíng)成本）為w（單位：元），求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）該影院將電影票售價(jià)x定為多少時(shí)，每天獲利最大？最大利潤(rùn)多少？
【答案】（1）
（2）
（3）定價(jià)40元/張或41元/張時(shí)，每天獲利最大，最大利潤(rùn)是4560元
【解析】
【分析】本題是一次函數(shù)與二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是得出函數(shù)解析式，并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)待定系數(shù)法代入求解即可；
（2）“利潤(rùn)票房收入運(yùn)營(yíng)成本”可得函數(shù)解析式；
（2）將函數(shù)解析式配方成頂點(diǎn)式，由，且x是整數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，
則，解得，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
【小問(wèn)2詳解】
由題意得：，
即w與之間的函數(shù)關(guān)系式為：
.
【小問(wèn)3詳解】
，
是整數(shù)，且 ，
當(dāng)或41時(shí)，w取得最大值，最大值為4560.
價(jià)格低更能吸引顧客，定價(jià)40元/張或41元/張時(shí)，每天獲利最大，最大利潤(rùn)是4560元．
如圖1，中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在三邊上，且滿足．
23. ①求證：四邊形為平行四邊形；
②若，求證：四邊形為菱形；
24. 把一塊三角形余料（如圖2所示）加工成菱形零件，使它的一個(gè)頂點(diǎn)與的頂點(diǎn)M重合，另外三個(gè)頂點(diǎn)分別在三邊上，請(qǐng)?jiān)趫D2上作出這個(gè)菱形．（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法．）
【答案】23. ①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析
24. 見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的判定定理、菱形的判定定理、尺規(guī)作圖，熟練掌握相關(guān)判定定理是解題的關(guān)鍵．
（1）①，即可證明四邊形為平行四邊形；
②由，可得，，即，
，再由，得，因此，進(jìn)而即可證明四邊形為菱形；
（2）作的角平分線，交于點(diǎn)P，作的垂直平分線，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，則四邊形是菱形．
【23題詳解】
①證明：，
四邊形平行四邊形；
②，
，
即
，
，
即，
又，
，
，
由①知四邊形為平行四邊形，
四邊形為菱形；
【24題詳解】
如圖，菱形即為所求．
∵平分，
∴，
∵是的垂直平分線，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴平行四邊形是菱形．
25. 【教材呈現(xiàn)】
現(xiàn)行人教版九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材85頁(yè)“拓廣探索”第14題：
【得出結(jié)論】
．
【基礎(chǔ)應(yīng)用】
在中，，，，利用以上結(jié)論求的長(zhǎng)；
【推廣證明】
進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，不僅在銳角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且還滿足（R為外接圓的半徑）．
請(qǐng)利用圖1證明：．
【拓展應(yīng)用】
如圖2，四邊形中，，，，．
求過(guò)A，B，D三點(diǎn)的圓的半徑．
【答案】教材呈現(xiàn)：見(jiàn)解析；基礎(chǔ)應(yīng)用：；推廣證明：見(jiàn)解析；拓展應(yīng)用：．
【解析】
【分析】本題考查三角形的外接圓，三角形內(nèi)角和，圓周角定理，等腰三角形性質(zhì)，垂徑定理，銳角三角函數(shù)．添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
教材呈現(xiàn)：分別作，垂足分別為，根據(jù)正弦的定義，在4個(gè)直角三角形中分別表示出，進(jìn)而將等式變形，即可求得．
基礎(chǔ)應(yīng)用：利用三角形內(nèi)角和定理求得，利用公式，代入數(shù)據(jù)求解即可；
推廣證明：作直徑，連接，利用圓周角定理求得，，推出，即，同理，，據(jù)此即可證明結(jié)論成立；
拓展應(yīng)用：連接，作于點(diǎn)，證得四邊形是矩形，利用勾股定理求得和，證明，利用三角函數(shù)的定義求得，再根據(jù)，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：教材呈現(xiàn)：如圖，分別作，垂足分別為，

在中，，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
．
基礎(chǔ)應(yīng)用：∵中，，，
∴，
由題意得，
∴，
解得；
推廣證明：作直徑，連接，

∵直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴；
拓展應(yīng)用：連接，作于點(diǎn)，

∵，
∴四邊形是矩形，
∵，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴．成績(jī)/m
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人數(shù)
2
3
2
3
4
1
證明：分別延長(zhǎng)至E，F(xiàn)兩點(diǎn)，
使得……
證明：∵．
∴與均為直角三角形、根據(jù)勾股定理，得……
電影票售價(jià)x（元/張）
40
50
售出電影票數(shù)量y（張）
164
124
14．如圖，在銳角中，探究，，之間的關(guān)系．（提示：分別作和邊上的高．）

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