注意事項(xiàng)：
1．本試卷共6頁(yè)，共120分．考試時(shí)間120分鐘．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
2．答題前，請(qǐng)務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、座號(hào)填寫(xiě)在答題卡和試卷規(guī)定的位置上．
3．所有的試題都必須在專用的“答題卡”上作答．寫(xiě)在試卷上或答題卡指定區(qū)域以外的答案一律無(wú)效．
4．選擇題用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)、作圖題用2B鉛筆（加黑加粗，描寫(xiě)清楚）或0.5毫米的黑色簽字筆作答．其它題目用0.5毫米的黑色簽字筆作答．如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶．
5．不要求保留精確度的題目，計(jì)算結(jié)果保留準(zhǔn)確值．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的．每小題選對(duì)得3分，選錯(cuò)、不選或多選，均不得分）
1. 一批食品，標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為每袋．現(xiàn)隨機(jī)抽取4個(gè)樣品進(jìn)行檢測(cè)，把超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)用正數(shù)表示，不足的克數(shù)用負(fù)數(shù)表示．那么，最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了絕對(duì)值的意義，正負(fù)數(shù)的意義，直接利用正負(fù)數(shù)的意義以及絕對(duì)值的意義可得最接近標(biāo)準(zhǔn)是哪一袋．
【詳解】解：∵超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)用正數(shù)表示，不足的克數(shù)用負(fù)數(shù)表示．
∴
∴最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是
故選：C．
2. 據(jù)央視網(wǎng)2023年10月11日消息，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)中國(guó)科學(xué)院量子創(chuàng)新研究院與上海微系統(tǒng)所、國(guó)家并行計(jì)算機(jī)工程技術(shù)研究中心合作，成功構(gòu)建了255個(gè)光子的量子計(jì)算原型機(jī)“九章三號(hào)”，再度刷新了光
量子信息的技術(shù)水平和量子計(jì)算優(yōu)越性的世界紀(jì)錄．“九章三號(hào)”處理高斯玻色取樣的速度比上一代“九章二號(hào)”提升一百萬(wàn)倍，在百萬(wàn)分之一秒時(shí)間內(nèi)所處理的最高復(fù)雜度的樣本，需要當(dāng)前最強(qiáng)的超級(jí)計(jì)算機(jī)花費(fèi)超過(guò)二百億年的時(shí)間．將“百萬(wàn)分之一”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值較小的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值較小的數(shù)，一般形式為，其中，為整數(shù)．
【詳解】解：百萬(wàn)分之一．
故選：B．
3. 下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，根據(jù)實(shí)數(shù)的大小比較即可求解．
【詳解】解：，
∵
∴最小的數(shù)是
故選：A．
4. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的除法、積的乘方，根據(jù)合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的除法、積的乘方的運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【詳解】A、，運(yùn)算錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；
B、，運(yùn)算錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；
C、，運(yùn)算正確，該選項(xiàng)符合題意；
D、，運(yùn)算錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意．
故選：C
5. 下列幾何體都是由四個(gè)大小相同的小正方體搭成的．其中主視圖、左視圖和俯視圖完全相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了三視圖；分別畫(huà)出四個(gè)選項(xiàng)中幾何體的左視圖與俯視圖，通過(guò)比較即可得出答案．
【詳解】解：A、主視圖為，左視圖為，主視圖與左視圖不同，故該選項(xiàng)不符合題意；
B、主視圖為，左視圖為，主視圖與左視圖不同，故該選項(xiàng)不符合題意；
C、主視圖為，左視圖為，主視圖與左視圖不同，故該選項(xiàng)不符合題意；
D、主視圖為，左視圖為，主視圖與左視圖相同，故該選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
6. 如圖，在扇形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．在扇形內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，則點(diǎn)落在陰影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查的是求不規(guī)則圖形的面積，幾何概率，根據(jù)陰影部分面積等于扇形的面積，即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴四邊形是矩形，
∴
∴
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)
∴
∴
∴
∴，，
點(diǎn)落在陰影部分的概率是
故選：B．
7. 定義新運(yùn)算：
①在平面直角坐標(biāo)系中，表示動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿著軸正方向（）或負(fù)方向（）．平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿著軸正方向（）或負(fù)方向（）平移個(gè)單位長(zhǎng)度．例如，動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿著軸負(fù)方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿著軸正方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，記作．
②加法運(yùn)算法則：，其中，，，為實(shí)數(shù)．
若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了新定義運(yùn)算，平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)新定義得出，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴
解得：，
故選：B．
8. 《九章算術(shù)》是我國(guó)古老的數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，書(shū)中提到這樣一道題目：以繩測(cè)井．若將繩三折測(cè)之，繩多四尺；若將繩四折測(cè)之，繩多一尺．繩長(zhǎng)、井深各幾何？題目大意是：用繩子測(cè)量水井的深度．如果將繩子折成三等份，一份繩長(zhǎng)比井深多尺；如果將繩子折成四等份，一份繩長(zhǎng)比井深多尺．繩長(zhǎng)、井深各是多少尺？若設(shè)繩長(zhǎng)尺，井深尺，則符合題意的方程組是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，此題中的等量關(guān)系有：①將繩三折測(cè)之，繩多四尺；②繩四折測(cè)之，繩多一尺，不變的是井深，據(jù)此即可得方程組．正確理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)繩長(zhǎng)x尺，井深y尺，
依題意，得：．
故選：C．
9. 如圖，在中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，連接，，，交于點(diǎn)．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A. 若，則
B. 若，，，則
C. 若，，則
D. 若，，則
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定即可判斷A，根據(jù)題意可得四邊形是的角平分線，進(jìn)而判斷四邊形是菱形，證明可得則垂直平分，即可判斷B選項(xiàng)，證明四邊形是菱形，即可判斷C選項(xiàng)，D選項(xiàng)給的條件，若加上，則成立，據(jù)此，即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴
A. 若，即，又，
∴
∴
∴，故A選項(xiàng)正確，
B. 若，，，
∴是的角平分線，
∴
∵
∴
∴
∴
∴四邊形是菱形，
∴
在中，
∴
∴
又∵
∴
∴，故B選項(xiàng)正確，
C. ∵，
∴
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴四邊形是菱形，
又∵
∴，則
∴
∴
∴，故C選項(xiàng)正確；
D. 若，則四邊形是菱形，
由，且時(shí)，
可得垂直平分，
∵
∴，故D選項(xiàng)不正確
故選：D．
10. 同一條公路連接，，三地，地在，兩地之間．甲、乙兩車分別從地、地同時(shí)出發(fā)前往地．甲車速度始終保持不變，乙車中途休息一段時(shí)間，繼續(xù)行駛．下圖表示甲、乙兩車之間的距離（）與時(shí)間（）的函數(shù)關(guān)系．下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 甲車行駛與乙車相遇B. ，兩地相距
C. 甲車的速度是D. 乙車中途休息分鐘
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)分析判斷，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖象可得兩地之間的距離為（）
兩車行駛了小時(shí)，同時(shí)到達(dá)地，
如圖所示，在小時(shí)時(shí)，兩側(cè)同向運(yùn)動(dòng)，在第2小時(shí)，即點(diǎn)時(shí)，兩者距離發(fā)生改變，此時(shí)乙車休息，
點(diǎn)的意義是兩車相遇，點(diǎn)意義是乙車休息后再出發(fā)，
∴乙車休息了1小時(shí)，故D不正確，
設(shè)甲車的速度為，乙車的速度為，
根據(jù)題意，乙車休息后兩者同時(shí)到達(dá)地，則甲車的速度比乙車的速度慢，
∵
即
在時(shí)，乙車不動(dòng)，則甲車的速度是，
∴乙車速度為，故C不正確，
∴的距離為千米，故B不正確，
設(shè)小時(shí)兩輛車相遇，依題意得，
解得：即小時(shí)時(shí)，兩車相遇，故A正確
故選：A．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．只要求填出最后結(jié)果）
11. 計(jì)算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及二次根式的乘法進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：
故答案為：．
12. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式展開(kāi)，然后利用完全平方公式分解因式即可．
【詳解】解：
故答案為：．
13. 如圖，在正六邊形中，，，垂足為點(diǎn)I．若，則________．
【答案】##50度
【解析】
【分析】本題考查了正六邊形的內(nèi)角和、平行平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，先求出正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為，即，則可求得的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求得的度數(shù)，進(jìn)而可求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)．
【詳解】解：∵正六邊形的內(nèi)角和，
每個(gè)內(nèi)角為：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
14. 計(jì)算：________．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查分式的加減，根據(jù)同分母分式的加減法則解題即可．
【詳解】
．
故答案為：．
15. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線交于點(diǎn)，．則滿足的的取值范圍______．
【答案】或
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)圖象解答即可求解，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由圖象可得，當(dāng)或時(shí)，，
∴滿足的的取值范圍為或，
故答案為：或．
16. 將一張矩形紙片（四邊形）按如圖所示的方式對(duì)折，使點(diǎn)C落在上的點(diǎn)處，折痕為，點(diǎn)D落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)E．若，，，則________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查矩形的折疊問(wèn)題，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，先根據(jù)勾股定理求出，然后證明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解題即可．
【詳解】解：在中，，
由折疊可得，，
又∵是矩形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
設(shè)，則，
在中，，即，
解得：，
故答案為．
三、解答題（本大題共8小題，共72分）
17. 某公司為節(jié)能環(huán)保，安裝了一批型節(jié)能燈，一年用電千瓦·時(shí)．后購(gòu)進(jìn)一批相同數(shù)量的型節(jié)能燈，一年用電千瓦·時(shí)．一盞型節(jié)能燈每年的用電量比一盞型節(jié)能燈每年用電量的倍少千瓦·時(shí)．求一盞型節(jié)能燈每年的用電量．
【答案】千瓦·時(shí)，過(guò)程見(jiàn)詳解
【解析】
【分析】本題考查分式方程，根據(jù)題意列方程是關(guān)鍵，并注意檢驗(yàn)．
根據(jù)兩種節(jié)能燈數(shù)量相等列式分式方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)一盞型節(jié)能燈每年的用電量為千瓦·時(shí)，
則一盞型節(jié)能燈每年的用電量為千瓦·時(shí)
整理得
解得
經(jīng)檢驗(yàn)：是原分式方程的解．
答：一盞型節(jié)能燈每年的用電量為千瓦·時(shí)
18. 為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，某校在八年級(jí)男生中試行“每日鍛煉，每月測(cè)試”的引體向上訓(xùn)練活動(dòng)，設(shè)定6個(gè)及以上為合格．體育組為了解一學(xué)期的訓(xùn)練效果，隨機(jī)抽查了20名男生2至6月份的測(cè)試成績(jī)．其中，2月份測(cè)試成績(jī)?nèi)绫?，6月份測(cè)試成績(jī)?nèi)鐖D1（尚不完整）．整理本學(xué)期測(cè)試數(shù)據(jù)得到表2和圖2（尚不完整）．
2月份測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)表
本學(xué)期測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)表
個(gè)數(shù)
人數(shù)
表1
1
平均數(shù)/個(gè)
眾數(shù)/個(gè)
中位數(shù)/個(gè)
合格率
2月
3月
4月
5月
6月
請(qǐng)根據(jù)圖表中的信息，解答下列問(wèn)題：
（1）將圖1和圖2中的統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整，并直接寫(xiě)出a，b，c的值；
（2）從多角度分析本次引體向上訓(xùn)練活動(dòng)的效果；
（3）若將此活動(dòng)在鄰校八年級(jí)推廣，該校八年級(jí)男生按400人計(jì)算，以隨機(jī)抽查的20名男生訓(xùn)練成績(jī)?yōu)闃颖?，估算?jīng)過(guò)一學(xué)期的引體向上訓(xùn)練，可達(dá)到合格水平的男生人數(shù)．
【答案】（1）見(jiàn)解析，
（2）見(jiàn)解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)總?cè)藬?shù)減去引體向上為其他個(gè)數(shù)人數(shù)，進(jìn)而補(bǔ)充條形統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)題意求得合格率，補(bǔ)充折線統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)平均數(shù)，眾數(shù)的定義，即可得出的值；
（2）根據(jù)平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)，合格率，分析；
（3）根據(jù)樣本估計(jì)總體即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：月測(cè)試成績(jī)中，引體向上個(gè)的人數(shù)為
表2
根據(jù)表2可得，
；
【小問(wèn)2詳解】
解：本次引體向上訓(xùn)練活動(dòng)的效果明顯，
從平均數(shù)和合格率看，平均數(shù)和合格率逐月增加，
從中位數(shù)看，引體向上個(gè)數(shù)逐月增加，
從眾數(shù)看，引體向上的個(gè)數(shù)越來(lái)越大，（答案不唯一，合理即可）
【小問(wèn)3詳解】
解：（人）
答：估算經(jīng)過(guò)一學(xué)期的引體向上訓(xùn)練，可達(dá)到合格水平的男生人數(shù)為人
【點(diǎn)睛】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，折線統(tǒng)計(jì)圖，統(tǒng)計(jì)表，樣本估計(jì)總體，以及求平均數(shù)，眾數(shù) ，中位數(shù)的意義；掌握相關(guān)的統(tǒng)計(jì)量的意義是解題的關(guān)鍵．
19. 某校九年級(jí)學(xué)生開(kāi)展利用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的綜合與實(shí)踐活動(dòng)，活動(dòng)之一是測(cè)量某護(hù)堤石壩與地平面的傾斜角．測(cè)量報(bào)告如下表（尚不完整）
課題
測(cè)量某護(hù)堤石壩與地平面的傾斜角
成員
組長(zhǎng)：××× 組員：×××，×××，×××
測(cè)量工具
竹竿，米尺
測(cè)量示意圖
說(shuō)明：是一根筆直的竹竿．點(diǎn)是竹竿上一點(diǎn)．線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)到地面的距離．是要測(cè)量的傾斜角．
（1）設(shè)，，，，，，，，請(qǐng)根據(jù)表中的測(cè)量示意圖，從以上線段中選出你認(rèn)為需要測(cè)量的數(shù)據(jù)，把表示數(shù)據(jù)的小寫(xiě)字母填寫(xiě)在“測(cè)量數(shù)據(jù)”一欄．
（2）根據(jù)（）中選擇的數(shù)據(jù)，寫(xiě)出求的一種三角函數(shù)值的推導(dǎo)過(guò)程．
（3）假設(shè)，，，根據(jù)（）中的推導(dǎo)結(jié)果，利用計(jì)算器求出的度數(shù)，你選擇的按鍵順序?yàn)開(kāi)_______．
【答案】（1），，，；
（2），推導(dǎo)見(jiàn)解析；
（3）．
【解析】
【分析】（）根據(jù)題意選擇需要的數(shù)據(jù)即可；
（）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可得，得到，即得，得到，再根據(jù)正弦的定義即可求解；
（）根據(jù)（）的結(jié)果即可求解；
本題考查了解直角三角形，相似三角形的的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【小問(wèn)1詳解】
解：需要的數(shù)據(jù)為：，，，；
【小問(wèn)2詳解】
測(cè)量數(shù)據(jù)
……
……
解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，
∵，
∴，
∴
∴，
即
∴，
∴；
【小問(wèn)3詳解】
解：∵，
∴按鍵順序?yàn)椋?br>故答案為：．
20. 感悟
如圖1，在中，點(diǎn)，在邊上，，．求證：．
應(yīng)用
（1）如圖2，用直尺和圓規(guī)在直線上取點(diǎn)，點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），使得，且（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；
（2）如圖3，用直尺和圓規(guī)在直線上取一點(diǎn)，在直線上取一點(diǎn)，使得，且（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)、尺規(guī)作圖：
證明，即可求得；
應(yīng)用（1）：以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)度為半徑作圓，交直線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)度為半徑作圓，交直線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，連接，；
應(yīng)用（2）：以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作圓，交的延長(zhǎng)線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作圓，交直線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，連接．
【詳解】∵，
∴．
在和中
∴．
∴．
應(yīng)用（1）：以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)度為半徑作圓，交直線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)度為半徑作圓，交直線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，連接，，圖形如圖所示．
應(yīng)用（2）：以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作圓，交的延長(zhǎng)線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作圓，交直線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，連接，圖形如圖所示．
21. 定義
我們把數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值．?dāng)?shù)軸上表示數(shù)a，b的點(diǎn)A，B之間的距離．特別的，當(dāng)時(shí)，表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離等于．當(dāng)時(shí)，表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離等于．
應(yīng)用
如圖，在數(shù)軸上，動(dòng)點(diǎn)A從表示的點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿著數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)B從表示12的點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)．
（1）經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，點(diǎn)A，B之間的距離等于3個(gè)單位長(zhǎng)度？
（2）求點(diǎn)A，B到原點(diǎn)距離之和的最小值．
【答案】（1）過(guò)4秒或6秒
（2）3
【解析】
【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，絕對(duì)值的意義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：
（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，則A表示的數(shù)為，B表示的數(shù)為，根據(jù)“點(diǎn)A，B之間的距離等于3個(gè)單位長(zhǎng)度”列方程求解即可；
（2）先求出點(diǎn)A，B到原點(diǎn)距離之和為，然后分，，三種情況討論，利用絕對(duì)值的意義，不等式的性質(zhì)求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，則A表示的數(shù)為，B表示的數(shù)為，
根據(jù)題意，得，
解得或6，
答，經(jīng)過(guò)4秒或6秒，點(diǎn)A，B之間的距離等于3個(gè)單位長(zhǎng)度；
【小問(wèn)2詳解】
解：由（1）知：點(diǎn)A，B到原點(diǎn)距離之和為，
當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴，即，
當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴，即，
當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴，即，
綜上，，
∴點(diǎn)A，B到原點(diǎn)距離之和的最小值為3．
22. 如圖，已知是的直徑，點(diǎn)C，D在上，且．點(diǎn)E是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)F．的平分線交射線于點(diǎn)H，．
（1）求證：是切線；
（2）若，，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）
【解析】
【分析】本題考查切線的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，根據(jù)角平分線的定義得到是解題的關(guān)鍵．
（1）連接，根據(jù)圓周角定理得到，即可得到，然后根據(jù)角平分線的定義得到，然后得到即可證明切線；
（2）設(shè)的半徑為，根據(jù)，可以求出，然后根據(jù)，即可得到結(jié)果．
【小問(wèn)1詳解】
證明：連接，
則，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵是半徑，
∴是的切線；
【小問(wèn)2詳解】
解：設(shè)的半徑為，則，
∵，即，
解得，
∴，，
又∵
∴，
∴，即，解得．
23. 如圖，在菱形中，，，為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，以為一邊作，交射線于點(diǎn)，連接．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以每秒的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)處停止．設(shè)的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．
（1）求證：；
（2）求與的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；
（3）求為何值時(shí)，線段長(zhǎng)度最短．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（）設(shè)與相交于點(diǎn)，證明，可得，，利用三角形外角性質(zhì)可得，即得，即可求證；
（）過(guò)點(diǎn)作于，解直角三角形得到，，可得，由等腰三角形三線合一可得，即可由三角形面積公式得到與的函數(shù)表達(dá)式，最后由，可得自變量的取值范圍；
（）證明為等邊三角形，可得，可知線段的長(zhǎng)度最短，即的長(zhǎng)度最短，當(dāng)時(shí)，取最短，又由菱形的性質(zhì)可得為等邊三角形，利用三線合一求出即可求解；
本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，解直角三角形，求二次函數(shù)解析
式，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，掌握菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【小問(wèn)1詳解】
證明：設(shè)與相交于點(diǎn)，
∵四邊形為菱形，
∴，，，
∵
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
解：過(guò)點(diǎn)作于，則，
∵，
∴，
∵四邊形為菱形，，
∴，，
即，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小問(wèn)3詳解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴為等邊三角形，
∴，
∴，
∴線段的長(zhǎng)度最短，即的長(zhǎng)度最短，當(dāng)時(shí)，取最短，如圖，
∵四邊形是菱形，
∴，
∵，
∴為等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度最短．
24. 已知拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且．
（1）若拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且．試判斷下列每組數(shù)據(jù)的大?。ㄌ顚?xiě)、或）：
①________；②________；③________．
（2）若，，求b的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，最大值與最小值的差為，求b的值．
【答案】（1）；；；
（2）
（3）b的值為或或或．
【解析】
【分析】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，不等式性質(zhì)，二次函數(shù)最值情況，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次函數(shù)圖像與性質(zhì)．
（1）根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得到，以及，即可判斷①，利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，利用不等式性質(zhì)變形，即可判斷②③．
（2）根據(jù)題意得到，結(jié)合進(jìn)行求解，即可解題；
（3）根據(jù)題意得到拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由最大值與最小值的差為，分以下情況①當(dāng)在取得最大值，在取得最小值時(shí)，②當(dāng)在取得最大值，在頂點(diǎn)取得最小值時(shí)，③當(dāng)在取得最大值，在頂點(diǎn)取得最小值時(shí)，建立等式求解，即可解題．
【小問(wèn)1詳解】
解： 與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且，
，且拋物線開(kāi)口向上，
與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且．
即向上平移1個(gè)單位，
，且，
①；
，
，即②；
，即③．
故答案為；；；；
【小問(wèn)2詳解】
解：，，
，
，
；
【小問(wèn)3詳解】
解：拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
對(duì)稱軸為；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
①當(dāng)在取得最大值，在取得最小值時(shí)，
有 ，解得；
②當(dāng)在取得最大值，在頂點(diǎn)取得最小值時(shí)，
有，解得（舍去）或，
③當(dāng)在取得最大值，在頂點(diǎn)取得最小值時(shí)，
有，解得或；
綜上所述，b值為或或或．

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