考生在答題報道認真閱讀本注意事項及各題答題要求
1.本試卷共4頁，包含選擇題（第1題-第11題）填空題（第12題-第14題，共73分）.解答題（第 15-19題， 共77分）， 滿分150分.
2.答題狀、請考生務(wù)必停自己的姓名、學(xué)校、班級、座位號.考試證號用0.5毫米的黑色簽字筆寫在答題卡上初應(yīng)的位置，并將考試證號用2B 相關(guān)正確填涂在答題卡的相應(yīng)位置.
3.答題時請用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡指定區(qū)域作答，在試卷或草輥紙上作答一律無數(shù).
4.如有作圖需要、可用2B鉛筆作圖、并請加黑加粗、描寫清楚.
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的：
1. 化簡等于（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)向量的加法運算求解即可.
【詳解】
.
故選:C.
2. 已知平面向量與的夾角為，則（ ）
A. B. C. 4D. 12
【正確答案】B
【分析】由數(shù)量積定義結(jié)合向量模長公式即可計算求解.
【詳解】由題得，
所以.
故選：B.
3. 如圖所示，四邊形是正方形，分別，的中點，若，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】由平面向量的線性運算可得，即可求出，進而求出的值.
【詳解】
，
所以，所以，
所以，
.
故選：D.
4. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】將所給的三角函數(shù)式展開變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數(shù)式的值.
【詳解】由題意可得：，
則：，，
從而有：，
即.
故選：B.
本題主要考查兩角和與差的正余弦公式及其應(yīng)用，屬于中等題.
5. 在如圖的平面圖形中，已知，，，，，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】用基底表示向量，再利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得的值.
【詳解】因為，，則，，
所以，，
因為，，，
由平面向量數(shù)量積的定義可得，
因此，.
故選：C.
6. 已知，，則的值為（ ）
A B. C. D.
【正確答案】D
【分析】由已知條件切化弦，整理得出，然后把展開可求出，從而利用兩角和的余弦公式可求解.
【詳解】由于，且，
則，
整理得，
則，
整理得，
所以.
故選：D.
7. 公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了0.618就是黃金分割數(shù)的近似值，這是一個偉大的發(fā)現(xiàn)，這一數(shù)值也表示為，若，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】由和得，利用二倍角公式，誘導(dǎo)公式即可求解.
【詳解】由，
，
故選：D.
8. 已知的外接圓圓心為，且， ，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)向量關(guān)系得出向量夾角，再結(jié)合向量的投影向量公式計算即得.
【詳解】
因為，所以是的中點，
因為的外接圓圓心為，所以為圓的直徑，
又，則，即，
所以，
所以向量在向量上的投影向量為.
故選：A.
二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得2分或3分.
9. 已知，則下列說法正確的是（ ）
A. 的最小值為1
B. 若，則
C. 若，與垂直的單位向量只能為
D. 若向量與向量的夾角為鈍角，則的取值范圍為
【正確答案】AB
【分析】對A：根據(jù)模運算公式代入計算，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可判斷；對B：利用向量垂直的坐標運算性質(zhì)即可判斷；對C：舉反例即可判斷；對D：根據(jù)向量夾角是鈍角，得到且向量與向量不反向共線，即可判斷．
【詳解】對A：，則當時，取最小值1，故A正確；
對B：若，則，解得，故B正確；
對C：若,，易知也是與垂直的單位向量，故C錯誤；
對D：若與的夾角為鈍角，則，
且向量與向量不反向共線，即，解得且，故D錯誤；
故選：AB．
10. 下列各式的值正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】BD
【分析】利用二倍角的正弦公式可判斷A選項；利用誘導(dǎo)公式結(jié)合兩角和的余弦公式可判斷B選項；利用二倍角的正切公式可判斷C選項；利用兩角和的正切公式可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，，A錯；
對于B選項，
，B對；
對于C選項，，C錯；
對于D選項，因為，
所以，，
故
，D對.
故選：BD.
11. 下列命題中正確的是（ ）
A. 若，，則
B. “”是“”的必要不充分條件
C.
D. 在中，，，，為的外心，若，則的值為
【正確答案】BCD
【分析】利用共線向量的定義可判斷A選項；利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可判斷B選項；利用平面向量數(shù)量積的定義可判斷C選項；利用平面向量數(shù)量積的定義和運算性質(zhì)可得出關(guān)于、的方程組，解之可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，若，，則或，A錯；
對于B選項，若或，則成立，
若、均為非零向量，設(shè)、的夾角為，則，
由可得，即，
即，所以，則，即、同向.
所以，“”“或或、同向”，
且“”“或或、同向”，
所以，“”是“”的必要不充分條件，B對；
對于C選項，若或，則，此時，，
若、均為非零向量，設(shè)、的夾角為，則，則，則，
所以，.
綜上所述，，C對；
對于D選項，在中，，，，
由平面向量數(shù)量積的定義可得，
取線段的中點，連接，則，
所以，，
同理可得，
因為，則，即，①
，即，②
解得，，因此，，D對.
故選：BCD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12. 已知梯形ABCD中，，三個頂點.則頂點坐標_______________.
【正確答案】
【分析】在梯形中，，．得到，設(shè)點D的坐標為，根據(jù)向量相等得到方程組，可得答案.
【詳解】解：∵在梯形中，，，，，．
∴．設(shè)點D的坐標為．
則，．
∴，即，
∴解得故點的坐標為．
故．
13. 已知為銳角，若，則_____.
【正確答案】##
【分析】利用換元法，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與倍角公式即可得解.
【詳解】因為，令，則，，
又為銳角，所以，則，即，
所以，
所以
.
故答案為.
14. 已知點、、， 則點到直線的距離為_______.
【正確答案】##
【分析】由平面向量數(shù)量積的坐標運算求出，進而可求出的值，由此可得出點到直線的距離為，即可得解.
【詳解】由已知可得，，則，
，，
由平面向量數(shù)量積的坐標運算可得，
所以，，
所以，點到直線的距離為.
故答案為.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演奏步驟.
15. 已知
（1）求的值；
（2）求的值.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式可得出，在該等式兩邊平方，結(jié)合二倍角的正弦公式可求得的值；
（2）利用二倍角的余弦公式、兩角和的余弦公式化簡可得所求代數(shù)式的值.
【小問1詳解】
因為，
所以，，
故.
小問2詳解】
.
16. 已知點、、
（1）若，與共線且方向相反，求的坐標；
（2）若點滿足，當點在第四象限時，求的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）設(shè)，則，利用平面向量的模長公式可求出的值，即可得出向量的坐標；
（2）根據(jù)平面向量的坐標運算可得出點的坐標，根據(jù)點在第四象限可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
由已知可得，因為與共線且方向相反，設(shè)，則，
由平面向量的模長公式可得，解得，
故.
【小問2詳解】
由已知可得，則，
設(shè)點，則，則，解得，
即點，
因為點在第四象限，所以，，解得，
因此，實數(shù)的取值范圍是.
17. 在平面直角坐標系中，已知向量，.
（1）若，，求的值；
（2）若與的夾角為且，求的值.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）由已知向量的坐標結(jié)合向量垂直列式求得，再利用兩角差的正切求值；
（2）直接利用數(shù)量積求夾角公式及輔助角公式可得，求得的值，則的值可求．
【小問1詳解】
因為，且，
所以，，所以 ，
故；
【小問2詳解】
因為，，
所以，，
，因為與的夾角為，
所以，即，
所以，因為，所以，
所以，所以.
18. 如圖，在平面直角坐標系中，角、的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，角、的終邊與單位圓分別交、兩點，點是單位圓與軸的交點.
（1）當、時，求的值：
（2）若為劣弧上的動點，當點的橫坐標為時，求最小值.
【正確答案】（1）
（2）答案見解析
【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義結(jié)合兩角和的余弦公式可求得的值；
（2）對點的坐標進行分類討論，設(shè)點，求出的取值范圍，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算以及輔助角公式、以及正弦型函數(shù)的值域可求得的最小值.
【小問1詳解】
由三角函數(shù)的定義可得，，，，
由兩角和的余弦公式可得.
【小問2詳解】
由圖可知，，，且，
即點，
若點，不妨設(shè)點，其中，
則，，
所以，
，
因，則，
故當時，即當時，取最小值；
若點，不妨設(shè)點，其中，
則，，
所以，
，
因為，則，
故當時，即當時，取最小值.
19. 如圖1所示，在中，點在線段BC上，滿足是線段AB上的點，且滿足，線段CG與線段AD交于點．
（1）若，求實數(shù)x，y的值；
（2）若，求實數(shù)的值；
（3）如圖2，過點的直線與邊AB，AC分別交于點E，F(xiàn)，設(shè)，，求的最小值．
【正確答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根據(jù)向量的線性運算以為基底表示，進而求解；
（2）根據(jù)向量的線性運算以為基底表示,又因為兩向量共線所以具有倍數(shù)關(guān)系，求出的值；
（3）根據(jù)向量的線性運算以為基底表示，又因為三點共線，所以系數(shù)之和為1，得出，然后應(yīng)用基本不等式中1的代換求出的最小值.
【小問1詳解】
因為所以，
所以,
所以.
【小問2詳解】
由題意可知：，
，
又因為三點共線，所以存在實數(shù)使得,
，
所以，解得：，
所以.
【小問3詳解】
易知，
由（2）知，
又因為三點共線,所以，又，
所以：，
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為.

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