注意事項：
1．答題前，考生務(wù)必將姓名、班級填寫清楚．
2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色簽字筆書寫，字體工整、筆跡清晰．
3．請按照題號順序在答題卡相應(yīng)區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在試卷和草稿紙上答題無效．
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1已知集合，則（）
A. B. C. D.
2. 已知直線a，m，n，l，且m，n為異面直線，平面，平面．若l滿足，，則下列說法中正確的是（）
A. B.
C. 若，則D.
3. 2023 年11月30日，重慶市軌道交通新開通 6 個站點，包括5號線中段忠恕沱、紅巖村、歇臺子3個站點和10號線南湖、萬壽路、蘭花路3個站點，為廣大市民的出行提供了更多便利.某同學(xué)從中隨機選擇4個站點實地考察周邊情況，則在紅巖村被選中的條件下，10號線不少于2個站點的概率為（）
A. B. C. D.
4. 被譽為信息論之父的香農(nóng)提出了一個著名的公式：，其中C為最大數(shù)據(jù)傳輸速率，單位為；W為信道帶寬，單位為；為信噪比.香農(nóng)公式在5G技術(shù)中發(fā)揮著舉足輕重的作用.當，時，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為；當，時，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為，則為（）
A. B. C. D. 3
5. 已知，則的值是（）
A. B. C. D.
6. 過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）
A. B. C. D.
7. 函數(shù)在上的圖象大致為（）
A. B.
C. D.
8. 已知點為拋物線的焦點，過的直線與交于兩點，則的最小值為（）
A. B. 4C. D. 6
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9. 已知復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論正確的有（）
A. B. C. D.
10. 已知，的定義域為R，且（），，若為奇函數(shù)，則（）
A. 關(guān)于對稱B. 為奇函數(shù)
C. D. 為偶函數(shù)
11. 已知正項數(shù)列滿足，，其中，則（）
A. 為單調(diào)遞減數(shù)列B.
C. D.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 已知等差數(shù)列滿足，前項和為，則______________________．
13. 已知向量，為單位向量，且，向量與共線，則的最小值為__________.
14. 如圖，已知正方體的棱長為2，點分別為棱，，，的中點，且點都在球的表面上，點是球表面上的動點，當點到平面的距離最大時，異面直線與所成角的余弦值的平方為____________．
四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15. 設(shè)為數(shù)列的前項和，已知是首項為、公差為的等差數(shù)列．
（1）求通項公式；
（2）令，求數(shù)列的前項積．
16. 某面包店的面包師聲稱自己店里所出售的每個面包的質(zhì)量均服從期望為，標準差為的正態(tài)分布．
（1）已知如下結(jié)論：若，從X的取值中隨機抽取K（，）個數(shù)據(jù)，記這K個數(shù)據(jù)的平均值為Y，則隨機變量請利用該結(jié)論解決問題；假設(shè)面包師的說法是真實的，那么從面包店里隨機購買25個面包，記這25個面包質(zhì)量的平均值為Y，求；
（2）假設(shè)有兩箱面包（面包除顏色外，其它都一樣），已知第一箱中共裝有6個面包，其中黃色面包有2個；第二箱中共裝有8個面包，其中黃色面包有3個，現(xiàn)隨機挑選一箱，然后從該箱中隨機取出2個面包，求取出黃色面包個數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．
附：隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．
17. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，且，點分別為棱的中點，且平面.
（1）證明：平面；
（2）求二面角大小.
18. 已知雙曲線C中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸，點在C上，點P與C的上、下焦點連線所在直線的斜率之積為．
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）經(jīng)過點直線與雙曲線C交于E，F(xiàn)兩點(異于點P)，過點F作平行于x軸的直線，直線PE與交于點D，且求直線AB的斜率．
19. 已知（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.
（1）當時，求曲線在點處的切線方程，
（2）當時，判斷是否存在極值，并說明理由；
（3），求實數(shù)的取值范圍.
渝北中學(xué)2023-2024學(xué)年(下)高三2月月考質(zhì)量監(jiān)測
數(shù)學(xué)試題
（全卷共四大題19小題總分150分考試時長120分鐘）
注意事項：
1．答題前，考生務(wù)必將姓名、班級填寫清楚．
2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色簽字筆書寫，字體工整、筆跡清晰．
3．請按照題號順序在答題卡相應(yīng)區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在試卷和草稿紙上答題無效．
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 已知集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化簡集合A，B，再利用集合的交集運算求解.
【詳解】解：因為集合，
所以，
故選：A
2. 已知直線a，m，n，l，且m，n為異面直線，平面，平面．若l滿足，，則下列說法中正確的是（）
A. B.
C. 若，則D.
【答案】C
【解析】
【分析】由線面平行的判定定理和線面垂直的性質(zhì)定理可判定選項A、C，其它易證.
【詳解】若，因為平面，，
所以，同理，過m上一點做直線n的平行線，則，
設(shè)由m和確定的平面為，則，
而，，同上可知，故，選項C正確；
有可能，所以選項A錯誤；
由上可知，且，所以，或，選項B錯誤；
如上圖，不一定成立，選項D錯誤.
故選：C
3. 2023 年11月30日，重慶市軌道交通新開通 6 個站點，包括5號線中段忠恕沱、紅巖村、歇臺子3個站點和10號線南湖、萬壽路、蘭花路3個站點，為廣大市民的出行提供了更多便利.某同學(xué)從中隨機選擇4個站點實地考察周邊情況，則在紅巖村被選中的條件下，10號線不少于2個站點的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出在紅巖村被選中的條件下共有的選法數(shù)，再求出10號線不少于2個站點的選法數(shù)，根據(jù)古典概型的計算公式即可求得答案.
【詳解】在紅巖村被選中的條件下，還需從其它5個站點中選擇3個，共有種選法，
其中10號線不少于2個站點的選法有種，
故在紅巖村被選中的條件下，10號線不少于2個站點的概率為，
故選：B
4. 被譽為信息論之父的香農(nóng)提出了一個著名的公式：，其中C為最大數(shù)據(jù)傳輸速率，單位為；W為信道帶寬，單位為；為信噪比.香農(nóng)公式在5G技術(shù)中發(fā)揮著舉足輕重的作用.當，時，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為；當，時，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為，則為（）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由題意可知，分別將數(shù)據(jù)代入利用對數(shù)運算法則計算出，，即可求得.
【詳解】根據(jù)題意，將，代入可得；
將，代入可得；
所以可知.
故選：D
5. 已知，則的值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)差角公式和輔助角公式將題中所給的條件化簡，求得，再利用誘導(dǎo)公式得到結(jié)果.
【詳解】因為，
可得，
所以.
故選：B.
6. 過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】圓的方程化為，求出圓心和半徑，利用直角三角形求出，由二倍角公式可得的值．
【詳解】圓可化為，則圓心，半徑為；
設(shè)，切線為、，則，
中，，所以．
故選：A．
7. 函數(shù)在上的圖象大致為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，結(jié)合特殊值，即可排除選項.
【詳解】首先，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故排除D，，故排除B，
當時，，故排除A，只有C滿足條件.
故選：C
8. 已知點為拋物線的焦點，過的直線與交于兩點，則的最小值為（）
A. B. 4C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組得出兩點坐標的關(guān)系，根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出關(guān)于兩點坐標的式子，使用基本不等式求出最小值.
【詳解】拋物線的焦點，
過的斜率為0的直線為，直線與拋物線有且只有一個交點，
與條件矛盾，故直線的斜率不為0，故可設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，得，
方程的判別式，
設(shè)，則，，所以，
由拋物線的性質(zhì)得，
.
當且僅當時，等號成立，
故選：C.
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9. 已知復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論正確的有（）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)以及模的運算公式對應(yīng)各個選項逐個判斷即可求解．
【詳解】設(shè)，，其中.
對于選項A: ，所以與不一定相等，故選項A錯誤；
對于選項B: 因為，
所以，
因為，
所以,故選項B正確；
對于選項C: 因為,
所有
因為，
所以,故選項C正確；
對于選項D:因為，所以
，而與不一定相等,故選項D錯誤；
故選：BC.
10. 已知，定義域為R，且（），，若為奇函數(shù)，則（）
A. 關(guān)于對稱B. 為奇函數(shù)
C. D. 為偶函數(shù)
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性，對稱性定義一一判斷即可.
【詳解】因為的定義域為R，且，
所以關(guān)于對稱，故A正確；
但不能確定為奇函數(shù)，故B錯誤；
根據(jù)題意，是定義域為的奇函數(shù)，
所以，令，得，故C正確；
因為，則，
結(jié)合，則，所以，
即為偶函數(shù)，故D正確.
故選：ACD
11. 已知正項數(shù)列滿足，，其中，則（）
A. 為單調(diào)遞減數(shù)列B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，放縮法證明不等式逐個選項分析即可.
【詳解】對于AB，由已知得，令，
定義域為，，令，，
當時，此時恒成立，故在上單調(diào)遞減，
，也可得，即，
故在上單調(diào)遞減，當時，，則，
故，則，即，故為單調(diào)遞減數(shù)列，
故A正確，顯然，故B錯誤；
對于C，欲證，且由題意得，
即證，即證，取指數(shù)得，
又易知，化簡得，故證明恒成立即可，
令，，而，
故在上單調(diào)遞增，且，故，
即恒成立，故得證，故C正確，
對于D，由C可知，，，，，，
上式相加，得，
故得證，故D正確.
故選：ACD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)證明數(shù)列的單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合放縮法證明不等式即可.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 已知等差數(shù)列滿足，前項和為，則______________________．
【答案】12
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用等差數(shù)列的性質(zhì)及前項和公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列，又，
所以，
故答案為：.
13. 已知向量，為單位向量，且，向量與共線，則的最小值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】令，利用向量模的計算公式把表示成t的函數(shù)，求出函數(shù)最小值即可.
【詳解】因向量與共線，令，
則，而向量，為單位向量，且，
于是得
，
當且僅當時取“=”，
所以的最小值為.
故答案：
14. 如圖，已知正方體的棱長為2，點分別為棱，，，的中點，且點都在球的表面上，點是球表面上的動點，當點到平面的距離最大時，異面直線與所成角的余弦值的平方為____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)條件，得出球是正方體的棱切球，進而得出圓心和半徑，再利用球的性質(zhì)得出點的位置，利用幾何關(guān)系得出就是異面直線與所成角，再計算出，即可求出結(jié)果.
【詳解】因為點分別為棱，，，的中點，且點都在球的表面上，
則球是正方體的棱切球，球心為對角線的中點，半徑為，
取的中點，則點為延長線與球O表面的交點時點到平面的距離最大，
此時，，．
連接OE，則，就是異面直線與所成角，
因為，所以，
所以異面直線與所成角余弦值的平方為，
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點晴：本題的關(guān)鍵在于，利用點都在球的表面上，得到球為正方體的棱切球，利用球的性質(zhì)，將球面上的點到平面的最大距離轉(zhuǎn)化成球心到平面的距離不處理，再利用幾何關(guān)系來解決問題.
四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15. 設(shè)為數(shù)列的前項和，已知是首項為、公差為的等差數(shù)列．
（1）求的通項公式；
（2）令，求數(shù)列的前項積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出，再由求出，驗證，從而求解.
（2）由（1）可得，從而可求解.
【小問1詳解】
由是首項為、公差為的等差數(shù)列，
故，即，
當時，，
故，
當時，，符合上式，故；
【小問2詳解】
由，，故，
則
.
16. 某面包店的面包師聲稱自己店里所出售的每個面包的質(zhì)量均服從期望為，標準差為的正態(tài)分布．
（1）已知如下結(jié)論：若，從X的取值中隨機抽取K（，）個數(shù)據(jù)，記這K個數(shù)據(jù)的平均值為Y，則隨機變量請利用該結(jié)論解決問題；假設(shè)面包師的說法是真實的，那么從面包店里隨機購買25個面包，記這25個面包質(zhì)量的平均值為Y，求；
（2）假設(shè)有兩箱面包（面包除顏色外，其它都一樣），已知第一箱中共裝有6個面包，其中黃色面包有2個；第二箱中共裝有8個面包，其中黃色面包有3個，現(xiàn)隨機挑選一箱，然后從該箱中隨機取出2個面包，求取出黃色面包個數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．
附：隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．
【答案】（1）
（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)求得隨機變量的期望和標準差，由條件算出，利用正態(tài)分布圖的對稱性性質(zhì)即可求得；
（2）根據(jù)題意，得出隨機變量的可能值，結(jié)合條件可得概率，從而可得分布列及數(shù)學(xué)期望.
【小問1詳解】
由題意則，
所以，于是隨機變量的期望為，標準差為，
因，
故.
【小問2詳解】
設(shè)取出黃色面包個數(shù)為隨機變量，則的可能取值為0，1，2．
則
故隨機變量的分布列為：
所以數(shù)學(xué)期望為：
17. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，且，點分別為棱的中點，且平面.
（1）證明：平面；
（2）求二面角的大小.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中點，連接，可證，進而平面；
（2）根據(jù)已知可證平面，取中點，以所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由兩平面夾角的向量公式可解.
【小問1詳解】
取中點，連接點為中點，
.
底面是邊長為2的正方形，為中點，
.
四邊形是平行四邊形.
,平面平面
平面.
【小問2詳解】
平面平面.
又底面是邊長為2的正方形，
平面，平面，平面.
平面.又平面.
.
底面是邊長為2的正方形，，
為中點，.
又平面，平面，
平面.
取中點，以所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則
所以，
設(shè)平面法向量為，
則
設(shè)平面法向量為，
則，
，
所以向量的夾角為，結(jié)合圖形可知二面角為銳角，
所以二面角的大小為.
18. 已知雙曲線C的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸，點在C上，點P與C的上、下焦點連線所在直線的斜率之積為．
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）經(jīng)過點的直線與雙曲線C交于E，F(xiàn)兩點(異于點P)，過點F作平行于x軸的直線，直線PE與交于點D，且求直線AB的斜率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意知雙曲線焦點在軸上，設(shè)雙曲線方程為，將代入雙曲線方程，然后根據(jù)直線斜率公式即可得到關(guān)于的兩個方程，即可求解.
（2）由題意設(shè)直線方程為，，，與雙曲線聯(lián)立后根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可以表示出與，分直線的斜率是否存在兩種情況進行討論，通過直線的方程表示出點的坐標，由已知條件可知點為中點，進而可將點坐標及直線斜率用表示，通過之前求得的與即可進行求解.
【小問1詳解】
第一步：根據(jù)點P在雙曲線上得a，b的關(guān)系式
由題意設(shè)雙曲線C的方程為()，
由點在C上，得．①
第二步：根據(jù)直線的斜率公式得a，b的關(guān)系式
設(shè)C的上、下焦點分別為，，則，解得，
所以．②
第三步：聯(lián)立方程解得，的值
由①②得，，
第四步：得雙曲線C的標準方程
故雙曲線C的標準方程為．
【小問2詳解】
第一步：設(shè)直線方程，聯(lián)立方程得根與系數(shù)的關(guān)系由題意可知，直線EF的斜率不為0，設(shè)直線EF的方程為，，，
聯(lián)立，得方程組
整理得
所以，，解得，
所以，，
則．
第二步：用，表示點D的坐標
當直線PE的斜率不存在時，易得，，，，此時直線AB的斜率為．當直線PE的斜率存在時，直線PE的方程為，所以點D的坐標為，
由，可得，
第三步：用，表示點B的坐標
由，得點B為DF的中點，所以
，
則，
第四步：根據(jù)斜率的計算公式求直線AB的斜率．
所以
．
故直線AB的斜率為．
【點睛】解決直線與雙曲線的綜合問題時，要注意：
（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、雙曲線的條件；
（2）強化有關(guān)直線與雙曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
19. 已知（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.
（1）當時，求曲線在點處切線方程，
（2）當時，判斷是否存在極值，并說明理由；
（3），求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）有一個極大值，一個極小值，理由見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）當時，求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；
（2）當時，求得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性與，得到存在使得，存在使得，進而得到答案；
（3）求得，根據(jù)題意，得到，令，得到使得，利用函數(shù)的單調(diào)性，求得，再由，求得，再由，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.
【小問1詳解】
解：當時，，可得，
則，
所以曲線在點處的切線方程為，即.
小問2詳解】
解：當時，，定義域為，
可得，
令，則，
當時，；當時，，
所以在遞減，在上遞增，
所以，
又由，
存在使得，存在使得，
當時，單調(diào)遞增；
當時，單調(diào)遞減；
當時，單調(diào)遞增；
所以時，有一個極大值，一個極小值.
【小問3詳解】
解：由，可得，
由，因為，可得，
令，則在上遞減，
當時，可得，則，所以，
則，
又因為，使得，即
且當時，，即；
當時，，即，
所以在遞增，在遞減，所以，
由，可得，
由，可得，即，
由，可得，所以，
因為，設(shè)，則，
可知在上遞增，且，
所以實數(shù)的取值范圍是.
【點睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
0
1
2
p

相關(guān)試卷

重慶市2023_2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題2含解析：

這是一份重慶市2023_2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題2含解析，共18頁。試卷主要包含了 設(shè)，則是成立的， 已知，，，則最小值為， 下列關(guān)系中，正確的有， 下列函數(shù)在上是減函數(shù)的是等內(nèi)容，歡迎下載使用。

重慶市2023_2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題含解析 (1)：

這是一份重慶市2023_2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題含解析 (1)，共23頁。試卷主要包含了考試結(jié)束后，將答題卡交回.等內(nèi)容，歡迎下載使用。

重慶市2023_2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期11月月考試題含解析：

這是一份重慶市2023_2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期11月月考試題含解析，共25頁。試卷主要包含了 已知，且，則， 已知向量，，且，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

重慶市2023_2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題2含解析

重慶市2023_2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題2含解析
重慶市2023_2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題2含解析

重慶市2023_2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題2含解析
重慶市2023_2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期9月月考試題含解析

重慶市2023_2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期9月月考試題含解析
重慶市2023_2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期11月月考試題含解析

重慶市2023_2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期11月月考試題含解析
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部