（卷面分值：150分考試時間：120分鐘）
注意事項：
1．本試卷為問答分離式試卷，共6頁，其中問卷4頁，答卷2頁．答題前請考生務(wù)必將自己的班級、姓名、準(zhǔn)考證號的信息填寫在答題卡上．
2．作答非選擇題時必須用黑色字跡0.5毫米簽字筆書寫在答題卡的指定位置上，作答選擇題必須用28鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目的選項涂黑．如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，請保持答題卡卡面清潔、不折疊、不破損、不能使用涂改液、修正帶．
3．考試結(jié)束后，請將答題卡交回．
一、選擇題：本大題共8題，每小題5分，共計40分．在每小題列出的四個選項中只有一項是最符合題目要求的．
1. 已知集合，或，則（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用補(bǔ)集的定義可求得集合.
【詳解】因為集合，或，則.
故選：B
2. 命題“對于任意正數(shù)，都有”的否定是（）
A. 對于任意正數(shù)x，都有B. 對于任意正數(shù)x，都有
C. 存在正數(shù)x，使得D. 存在非正數(shù)x，使得
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定規(guī)則即可求解.
【詳解】因為命題“對于任意正數(shù)x，都有”全稱量詞命題，
所以其否定為“存在正數(shù)x，使得”．
故選：C
3. 函數(shù)的定義域是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)根式和分式的性質(zhì)，列不等式即可求解.
【詳解】的定義域需滿足，解得且，
故定義域為，
故選：C
4. 下列選項中表示同一函數(shù)的是（ ）
A. 與
B.
C. ；
D. .
【答案】D
【解析】
【詳解】根據(jù)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系與定義域判斷．
【分析】對于A，的定義域為，而定義域為R，故二者不是同一函數(shù)；
對于B.定義域為R，定義域為，∵定義域不同，與不是同一函數(shù).
對于C，定義域為R，定義域為，∵定義域不同，與不是同一函數(shù).
對于D，，與定義域與對應(yīng)關(guān)系都相同，與是同一函數(shù).
故選：D
5. “函數(shù)在上單調(diào)遞減”是“函數(shù)是偶函數(shù)”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】通過求解函數(shù)和符合條件的的取值，即可得出結(jié)論.
【詳解】由題意，
在中，
當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞減時，，
在中，函數(shù)是偶函數(shù)，
∴，解得：，
∴“函數(shù)在上單調(diào)遞減”是“函數(shù)是偶函數(shù)”的必要不充分條件，
故選：B.
6. 為上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時，，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意由求解.
【詳解】解：因為為上的偶函數(shù)，且，
所以，
又因為時，，
所以，
所以，
故選：A
7. 已知函數(shù)，則（）
A. B. 1516C. D. 1517
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的周期性即可求出的值.
【詳解】由題意，在中，
因為當(dāng)時，，所以是以為周期的周期函數(shù)，
故，
，
所以.
故選：D.
8. 已知函數(shù)，其中，若，使得關(guān)于x的不等式成立，則正實數(shù)a的取值范圍為（）
A. 或B. 或
C或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意得出分段函數(shù)，若，使得關(guān)于x的不等式成立，則在上的最小值，即，即可分類求解得出答案.
【詳解】由題意可知，
若，使得關(guān)于x的不等式成立，
則在上的最小值，
，
為正實數(shù)，
則當(dāng)時，，解得；
當(dāng)時，，解得，
綜上，正實數(shù)a的取值范圍為或，
故選：B.
二、選擇題：本大題共4題，每小題5分，共計20分．每小題有多項符合題目要求，少選得2分，錯選得0分．
9. 已知，則下列結(jié)論正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)已知代入特殊值可得的值，可判斷A，B；再根據(jù)換元法求解解析式即可得，從而判斷C，D.
【詳解】因為，所以時，可得，故A正確；
所以時，可得，故B正確；
令，則，所以，則，故C正確，D不正確.
故選：ABC
10. 下列命題中正確的是（）
A. 若，則B. 若，則；
C. 若，則D. 若，則
【答案】BD
【解析】
【分析】AC可舉出反例；B選項可由不等式的性質(zhì)得到；D選項可利用基本不等式求解.
【詳解】A選項，若，滿足，
但此時，，A錯誤；
B選項，因為，所以，故，不等式兩邊同除以得，，B正確；
C選項，若，滿足，但此時，故C錯誤；
D選項，因為，所以由基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，D正確.
故選：BD
11. 下列說法正確的是（）
A. 若存在，當(dāng)時，有，則在上單調(diào)遞增
B. 函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減
C. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
D. 不等式的解集是
【答案】CD
【解析】
【分析】由函數(shù)單調(diào)性的定義、具體函數(shù)的單調(diào)性、一元二次不等式的解法相關(guān)知識逐項辨析即可．
【詳解】對于A，由函數(shù)單調(diào)性的定義，對任意，，當(dāng)時，有，則在上單調(diào)遞增，不能使用存在量詞“存在”，故選項A錯誤；
對于B，函數(shù)在區(qū)間和單調(diào)遞減，而不是定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故選項B錯誤；
對于C，二次函數(shù)的圖象為開口向上的拋物線，其對稱軸為直線，所以函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增，故選項C正確；
對于D，不等式對應(yīng)的二次函數(shù)為，，其圖象是開口向上，與軸有一個公共點(diǎn)的拋物線，當(dāng)時，，即不等式的解集為，故選項D正確．
故選：CD．
12. 當(dāng)時，不等式恒成立，則的范圍可以是（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先參變分離得到在上恒成立，由對勾函數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，從而得到，求出，得到答案.
【詳解】時，變形為，
故在上恒成立，
其中為對勾函數(shù)，在上單調(diào)遞減，
故，故，
故，其中ABD滿足要求，C不滿足要求.
故選：ABD
三、填空題：本大題共4題，每小題5分，共計20分．
13. 已知集合，則集合A的非空真子集的個數(shù)為____________．
【答案】14
【解析】
【分析】先得到集合A共有4個元素，從而利用公式求出A的非空真子集的個數(shù).
【詳解】，共有4個元素，
故集合A的非空真子集的個數(shù)為.
故答案為：14
14. 設(shè)函數(shù)，則___________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義直接求解即可.
【詳解】由題知，，
所以，
所以.
故答案為：
15. 設(shè)x，y均為正數(shù)，且，則的最小值為___________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式“1”的代換求解最值即可.
【詳解】因為x，y均為正數(shù)，且
則
當(dāng)且僅當(dāng)且，即
所以的最小值為.
故答案為：.
16. 給出定義：若（其中為整數(shù)），則叫做離實數(shù)最近的整數(shù)，記作，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的值域為__________.
【答案】
【解析】
【分析】分析可知對任意的，存在，使得，求出的取值范圍，即可求得函數(shù)的值域.
【詳解】對任意的，存在，使得，則，
所以，，故，
因此，函數(shù)的值域為.
故答案為：.
四、解答題：本大題共6題，共計70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17. 已知集合，．
（1）若，求，；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用集合的運(yùn)算求解．
（2）若，則，分，討論，列出不等式組求解即可得實數(shù)的取值范圍．
【小問1詳解】
當(dāng)時，，
，或，
；．
【小問2詳解】
，，
①當(dāng)時，，解得，
②當(dāng)時，則，，
綜上，的取值范圍是．
18. 函數(shù)是定義在區(qū)間上的增函數(shù)，且為奇函數(shù).
（1）求不等式的解集；
（2）若，求解析式
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）將所求不等式變形為，利用函數(shù)的定義域、單調(diào)性可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得的取值范圍，即可得解；
（2）由奇函數(shù)的性質(zhì)得出，可求得的值，再由可得出的值，由此可得函數(shù)的解析式，然后利用函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的定義驗證函數(shù)在上的單調(diào)性與奇偶性即可.
【小問1詳解】
解：因為函數(shù)是定義在區(qū)間上的增函數(shù)，且為奇函數(shù)，
由可得，
所以，，解得，
故不等式的解集為.
【小問2詳解】
解：因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，
且，解得，所以，.
下面先證明函數(shù)為上的奇函數(shù)：
任取，則，
故函數(shù)為上的奇函數(shù).
接下來證明出函數(shù)在上為增函數(shù)，
任取、且，則，
即，故函數(shù)在上為增函數(shù)，
綜上所述，.
19. 已知函數(shù).
（1）若關(guān)于的不等式的解集為，求，的值；
（2）當(dāng)時，解關(guān)于的不等式.
【答案】（1）
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式解集與對應(yīng)一元二次方程的關(guān)系求解；
（2）不等式左邊分解因式后，根據(jù)的大小關(guān)系分類討論即可得解.
【小問1詳解】
由題意知方程的兩個根為和，
所以
解得
【小問2詳解】
當(dāng)時，，
即，
當(dāng)，即時，解得；
當(dāng)時，解得；
當(dāng)，即時，解得.
綜上可知，當(dāng)時，不等式的解集為；
當(dāng)時，不等式的解集為；
當(dāng)時，不等式的解集為.
20. 某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其年產(chǎn)量為x萬件時利潤為萬元.
（1）當(dāng)時，年利潤為，若公司生產(chǎn)量年利潤不低于400萬時，求生產(chǎn)量x的范圍；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)時，年利潤為.求公司年利潤的最大值.
【答案】（1）
（2）480萬元
【解析】
【分析】（1）令，解之即可；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式即可得解.
【小問1詳解】
當(dāng)時，令，
即，解得：，
所以生產(chǎn)量x的范圍是；
【小問2詳解】
當(dāng)時，，
則，
當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
則此時最大值為萬元，
綜上，公司年利潤的最大值為480萬元.
21. 設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在，使得在上的值域也為，則稱為“A佳”函數(shù).已知冪函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)增函數(shù).
（1）求函數(shù)的解析式.
（2）函數(shù)是否為“A佳”函數(shù).若是，請指出所在區(qū)間；若不是，請說明理由.
【答案】（1）
（2）是，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)得到方程（不等式）組，解得即可；
（2）首先得到的解析式，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)題意得到方程組，解得即可.
【小問1詳解】
因為冪函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，
所以，解得，
所以函數(shù)的解析式為．
【小問2詳解】
由（1）知，，函數(shù)的定義域為，
又，所以函數(shù)的值域為，
因為在上單調(diào)遞增，
若存在，使得在上的值域為，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
有，解得或，或，
顯然，所以，，
即存在，使得在上的值域為，
故函數(shù)為“佳”函數(shù).
“佳”函數(shù)的區(qū)間為；
22. 已知二次函數(shù)，
（1）設(shè)函數(shù)在范圍內(nèi)的最大值為，最小值為，且，求實數(shù)的取值范圍；
（2）已知關(guān)于的方程在范圍內(nèi)有解，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）討論二次函數(shù)的對稱軸和所給區(qū)間的位置關(guān)系，即可確定函數(shù)的最值，由此可解不等式，即可得答案；
（2）討論方程在范圍內(nèi)有一解還是兩解，由此可列出不等式組，即可得求得答案.
【小問1詳解】
∵，∴函數(shù)的對稱軸為，
①當(dāng)時，即時，當(dāng)時，隨增大而增大，
∴，，∴，解得；
②當(dāng)時，即時，當(dāng)時，隨增大而減小，
∴，，∴，解得，
③當(dāng)時，即時，
，，∴，
解得，此時，
④當(dāng)時，即時，
∴，，∴，
解得，此時，
綜上，的取值范圍為.
【小問2詳解】
原方程即為.設(shè)，
當(dāng)時，.
①若方程在上有一解，只需時，函數(shù)的取值為負(fù)即可.
∴.解得：.
②若方程在上有兩解，則，
即，∴.
綜上，的取值范圍為.

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