考試時(shí)間：120分鐘
單項(xiàng)選擇題：(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)．
1．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則的值是（）
A. 1B. -1C. 2D. -2
2．已知向量，向量，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，，且，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．D．
4．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則（ ）．
A．B．C．D．
5．如圖所示，梯形是平面圖形用斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖，，，則平面圖形的面積為（ ）
A．B．C．D．
6．已知圓錐軸截面為正三角形，母線長(zhǎng)為2，則該圓錐的體積等于（ ）
A.B. C. D.
7. 在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊BC上且，則（）
A. 18B. 24C. 30D. 42
8. 托勒密是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和.其意思為：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì).已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓的圓周上，AC、BD是其兩條對(duì)角線，，且為正三角形，則四邊形ABCD的面積為（）
A. 16B.C. 12D.
選擇題：(本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分).
9．下面說(shuō)法正確的是（ ）
A．多面體至少有四個(gè)面
B．棱柱所有的面都是平行四邊形
C．棱臺(tái)的側(cè)面都是梯形
D．以等腰梯形的一條腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體是圓臺(tái)
10. 設(shè)，為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）
A.若
B.若，則
C. 若，則的最大值為
D.
11．對(duì)于有如下命題，其中正確的是（ ）
A．若，則一定為等腰三角形
B.若，則為鈍角三角形
C．若，則解的個(gè)數(shù)為0
D．若，則的面積為
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12．正三棱柱所有棱長(zhǎng)都為1，則其表面積為．
13. 已知為單位向量，當(dāng)向量的夾角等于時(shí)，則向量在向量上的投影向量為_(kāi)_______．
14. 已知正方體的棱長(zhǎng)為2，則它的外接球的表面積為.體積為．
四、解答題：（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或計(jì)算步驟）.
15．（13分）已知復(fù)數(shù)，，為虛數(shù)單位．
（1）求
（2）若，求的共軛復(fù)數(shù)；
（3）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
16．（15分）已知：，，向量與的夾角為．
(1)求；
(2)求；
(3)求與的夾角的余弦值.
（15分）記ΔABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中A為銳角，且有
.
（1）求A；
（2）設(shè)為邊上的中線，若，，請(qǐng)選擇以下思路之一求出的長(zhǎng).
思路①：利用……
思路②：利用……
思路③：利用……
思路④：其它方法……
18．（17分）某自然保護(hù)區(qū)為研究動(dòng)物種群的生活習(xí)性，設(shè)立了兩個(gè)相距的觀測(cè)站和，觀測(cè)人員分別在，處觀測(cè)該動(dòng)物種群．如圖，某一時(shí)刻，該動(dòng)物種群出現(xiàn)在點(diǎn)處，觀測(cè)人員從兩個(gè)觀測(cè)站分別測(cè)得，，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，該動(dòng)物種群出現(xiàn)在點(diǎn)處，觀測(cè)人員從兩個(gè)觀測(cè)站分別測(cè)得，．（注：點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)）
（Ⅰ）求的面積；
（Ⅱ）求點(diǎn)，之間的距離．
19（17分）在ΔABC中，P為AB的中點(diǎn)，O在邊AC上，BO交CP于R，且，設(shè)，
(1)試用，表示；
(2)若，求∠ARB的余弦值.
(3)若H在BC上，且RH⊥BC設(shè)，若，求的范圍.
2023-2024學(xué)年度下學(xué)期三校聯(lián)考高一期中測(cè)試卷
數(shù)學(xué)試題答案
單選題：1--8：CBDB AACD
多選題 9、AC 10、ABD 11、ABC
填空題：12、【答案】 13、【答案】 14、【答案】
解答題：
15、解：（1） …… …… ……3分
（2），，
， …… …… ……6分
． …… …… ……8分
（2）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，
， …… …… ……11分
解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為． …… …… ……13分
16、解：（1）由已知得
…… …… ……5分
（2） …… …… ……10分
（3） …… …… ……15分
17、【答案】（1）；（2）條件選擇見(jiàn)解析；.
解：（1）由正弦定理，得，
又，所以，
又為銳角，所以. …… …… ……7分
（2）在中，由余弦定理得，
所以；
若選擇思路①
由，
得，解得；
若選擇思路②
由得到，
即；
若選擇思路③
，得.
若選擇思路④，比照上述標(biāo)準(zhǔn)給分.
.…… …… ……15分
18、解：（1）在中，，，所以，
由正弦定理：，得，. …… …… ……2分
所以， …… …… ……6分
， …… …… ……8分
所以的面積為． ……11分
（2）由，，得．
在中由余弦定理，得
， …… …15分
所以．即點(diǎn)，之間的距離為. …… …… …… 17分
19、【答案】(1)
(2)
(3)
解：（1）因P,R,C共線，則存在使，
則，整理得.
由共線，則存在使，
則，整理得.
根據(jù)平面向量基本定理，有，
則 …… …… …… 5分
（2）由（1），，，
則，，.
則； .…… …… …… 11分
（3）由（1）知，則.
由共線，設(shè).
又.
則
.
因，則，則 …… …… …… 17分

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