命題教師：審題教師：考試時間：120分鐘
注意事項：
1．答題前請粘貼好條形碼，填寫好自己的姓名、班級、考號等信息．
2．本試卷分第I卷 (選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，滿分150分。
第 I 卷（選擇題）
單選題（每小題 5 分）．
1．在空間中，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．＝＋B．＝＋＋
C．＝＋－D．＝＋
2．在直三棱柱中，若，，，則（ ）
A．B．C． D.
3．過直線與的交點，與直線平行的直線方程為（ ）
A．B．C．D．
4．圓上的點到直線距離的取值范圍是（ ）.
A．B．C．D．
5．已知，兩點，直線l過點且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
6．圓與圓相交于兩點，則等于（ ）
A．B．C．D．
7．已知，分別是橢圓：的左、右焦點，是橢圓在第一象限內(nèi)的一點，若，則（ ）
A．B．2C．D．
8．已知單位向量，，中，，，則（ ）
A．B．5C．6D．
二、多選題（每小題 5 分）．
9．已知圓M的一般方程為，則下列說法正確的是（ ）
A．圓M的圓心為
B．圓M的直徑為10
C．圓M被x軸截得的弦長為8
D．圓M關(guān)于直線對稱的圓的方程是
10．若，，與的夾角為，則的值為（ ）
A．17B．C．D．1
11．已知直線：和直線：，下列說法正確的是（ ）
A．始終過定點B．若，則或-3
C．若，則或2D．當(dāng)時，始終不過第三象限
12．設(shè)橢圓的左右焦點為，，P是C上的動點，則下列結(jié)論正確的是（ ）．
A．B．P到最小的距離是2
C．面積的最大值為6D．P到最大的距離是9
第 Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題（每小題 5 分）.
13．已知空間向量，且與垂直，則等于．
14．已知橢圓的左、右焦點分別為、，上頂點為A.若為正三角形，則該橢圓的離心率為.
15．在正方體中，為的中點，則異面直線與所成角的正弦值為．
16．過橢圓上一動點分別向圓：和圓：作切線，切點分別為，，則的取值范圍為.
四、解答題（17題10分，18、19、20、21、22題各12分.）
17．已知為圓上一動點，為直線上一個動點．
(1)求圓心的坐標(biāo)和圓的半徑；
(2)求的最小值．
18．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段A1B1的中點，F(xiàn)為線段AB的中點.
(1)求點F到平面 AEC1的距離；
(2)求平面 AEC1與平面 EFCC1所成銳二面角的余弦值.
19．已知直線經(jīng)過點，圓．
(1)若直線與圓C相切，求直線的方程；
(2)若直線被圓C截得的弦長為，求直線的方程．
20．已知橢圓的兩個焦點分別為，且橢圓過點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點作直線交橢圓于兩點，是弦的中點，求直線的方程
21．已知橢圓的離心率為，橢圓上的點到焦點的最小距離是．
(1)求橢圓的方程；
(2)傾斜角為的直線交橢圓于兩點，已知，求直線的一般式方程．
22．如圖，在三棱錐中，底面，.點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，.

(1)求證：∥平面；
(2)在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的值，若不存在，說明理由.
2023--2024學(xué)年度第一學(xué)期四校聯(lián)考期中考試
高二數(shù)學(xué)試題答案
1．B
【詳解】對于A，因為，所以A錯誤，
對于B，因為，所以B正確，
對于C，因為，所以C錯誤，
對于D，因為，所以D錯誤，
故選：B
2．C
【分析】根據(jù)空間向量線性運算的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】由已知得，
故選：C
3．A
【詳解】由已知，可設(shè)所求直線的方程為：，
即，
又因為此直線與直線平行，所以：，解得：，
所以所求直線的方程為：，即．故選：A．
4．A
【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
所以圓心坐標(biāo)為，半徑，圓心到直線的距離為，
所以圓上的點到該直線的距離的取值范圍是，即，故選：A..
5．C
【詳解】由題意，可作圖：
則直線l介于與之間，的斜率，的斜率，
即直線l的斜率，故選：C.
6．B
【詳解】由圓與圓，
將兩圓方程相減整理得直線的方程：，
又，即，
圓心為，半徑為，所以到直線的距離為，
所以.故選：B.
7．A
【詳解】由橢圓的方程可得，，所以，
設(shè)，則，由在第一象限可得，即，
因為，所以，整理可得，解得或2（舍，
即，，所以在中，，故選：A．

8．D
【詳解】因為，，且，，為單位向量，則.
故選：D
9．BC
【詳解】由題意知圓M的一般方程為，
故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則圓心為，半徑為5，則直徑為10，A錯誤，B正確；
圓心到x軸的距離為3，故圓M被x軸截得的弦長為，C正確；
設(shè)圓心關(guān)于直線對稱的點的坐標(biāo)為，
則，解得，
而圓M關(guān)于直線對稱的圓的半徑為5，
故圓M關(guān)于直線對稱的圓的方程為，
即，D錯誤，故選：BC
10．AC
【詳解】因為，，與的夾角為，
所以，解得或.
故選AC.
11．ACD
【詳解】：過點，A正確；
當(dāng)時，，重合，故B錯誤；
由，得或2，故C正確；
：始終過，斜率為負(fù)，不會過第三象限，故D正確.
故選：ACD
12．AD
【詳解】由橢圓方程可得：，則，
對A：根據(jù)橢圓的定義可得，A正確；
對B：根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當(dāng)P是橢圓的左頂點時，P到的距離最小，
最小值為，B錯誤；
對C：根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當(dāng)P是橢圓的上頂點時，的面積最大，
最大值為，C錯誤；
對D：根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當(dāng)P是橢圓的右頂點時，P到的距離最大，
最小值為，D正確.
故選：AD.
13．5
【詳解】因為，且與垂直，
所以，解得．故答案為：5.
/
【詳解】為正三角形，則，則橢圓的離心率故答案為：
15．
【詳解】設(shè)正方體棱長為2，以點為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，
為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則，則，
設(shè)異面直線與所成角為，
所以，
所以異面直線與所成角的正弦值為:.故答案為：.
16．
【詳解】，，，易知、為橢圓的兩個焦點，
，

根據(jù)橢圓定義，
設(shè)，則，即，
則，
當(dāng)時，取到最小值．
當(dāng)時，取到最大值．
故的取值范圍為：.故答案為：.
17．【詳解】（1）解：由題意，圓的方程可化為，
所以圓心的坐標(biāo)為。。。。。。。。。。。。。2分
圓的半徑為．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
解：圓心到直線的距離為。。。。。。。。。。。。。3分
所以，即的最小值為．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
18．【詳解】（1）解：以為原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，
則，，，，.
∴，，，.。。。。。。。。。。。。。。2分
設(shè)平面的法向量為，則，∴，
∴，取，則，，∴，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
又，
∴點到平面的距離為.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
（2）解：設(shè)平面的法向量為，則，∴，
∴，取，則，∴，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
∴，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
∴平面與平面所成銳二面角的余弦值.
19.【詳解】（1）圓心坐標(biāo)為，半徑為2..。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分
當(dāng)直線斜率不存在時，直線的方程為：，與圓相切，滿足題意；。。。。。。。。。1分
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線為：，即，。。。。。。。。。。。。1分
則圓C的圓心到直線l的距離，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分
解得，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分
故直線l的方程為．
綜上，直線l的方程為或．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分
（2）因為直線l被圓C所截得的弦長為，
所以圓心到直線l的距離為．.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分
由（1）知，直線的斜率一定存在，設(shè)直線為：，即，。。1分
則圓心到直線l的距離，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分
解得或．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
故直線l的方程為或．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分
20．【詳解】（1）橢圓的兩個焦點分別為，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且，則①，
又橢圓過點，所以②，聯(lián)立①②解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
（2）由題意可知直線的斜率存在，且直線過點，設(shè)直線的方程為，即，設(shè)，
則，消去得，所以，
又是弦的中點，所以，解得，
故直線的方程為。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
方法二：中點弦（略）
21．【詳解】（1）由橢圓的離心率為，即，可得，
由橢圓上的點到焦點的最小距離是，可得，
解得，，，
所以橢圓的方程．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
（2）解：因為直線的傾斜角為，可設(shè)的方程，
由方程組，整理得，
可得，解得，
設(shè)，，則，，
又由，
解得，滿足，
所以直線的一般式方程為或．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
22．【詳解】（1）因為底面，，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則，。。。。。。。。。1分
所以，設(shè)為平面的法向量，
則，即，不妨設(shè)，可得，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
又，可得，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分
因為平面，所以∥平面.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分
（2）設(shè)，，則，
設(shè)平面的法向量為，又，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分
則，令，則，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
所以，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
即，解得或（舍去），。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

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