2024-2025學(xué)年浙江省湖州市高一下冊3月數(shù)學(xué)模擬檢測試卷（附解析）

這是一份2024-2025學(xué)年浙江省湖州市高一下冊3月數(shù)學(xué)模擬檢測試卷（附解析），共16頁。試卷主要包含了 若向量 ，則， 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的解為， 若中，，則此三角形的形狀是， 已知復(fù)數(shù)滿足，等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1.本卷共4頁，答題前在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字；
2.所必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；考試結(jié)束后，只需上交答題紙.
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.
1. 已知平面向量，，若，則k＝（ ）
A. B. 6C. D. －6
【正確答案】A
【分析】根據(jù)向量垂直的坐標表示進行求解.
【詳解】因為，，，
所以，解得.
故選：A.
2. 已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【正確答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得到答案.
【詳解】由題意得在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，
則其位于第二象限.
故選：B.
3. 若向量 ，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】計算向量的夾角余弦值，可判斷A;計算向量的數(shù)量積，可判斷B;根據(jù)向量共線的坐標表示，可判斷C;計算的模，判斷D.
【詳解】向量,
故 ，故A錯誤；
，故B錯誤；
由可得， ，故C錯誤；
，故，故D正確，
故選：D
4. 在中，點為BC邊上一點，且，則實數(shù)（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)題意，過點P作PD∥AB，交AC于點D，作交AB于點，然后結(jié)合平面向量的線性運算及平面向量基本定理，即可得到結(jié)果．
【詳解】如圖，過點P作PD∥AB，交AC于點D，作交AB于點E，

∵，∴，
∴，∴，
∴，
∴
故選：C．
5. 已知，為不共線的兩個單位向量，若與平行，則的值為（ ）
A. 2B. C. -2D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)向量共線定理求解.
【詳解】因為與平行，所以存在實數(shù)使，
所以，由，解得.
故選：C.
6. 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的解為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】由題設(shè)得，即可求復(fù)數(shù)解.
【詳解】由題設(shè).
故選：C
7. 若中，，則此三角形的形狀是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等邊三角形D. 等腰直角三角形
【正確答案】A
【分析】根據(jù)三角函數(shù)和與差的正弦公式，即可判斷三角形的形狀.
【詳解】中，，
已知等式變形得，
，
即，
整理得，即，
或（不合題意，舍去）．
，，
則此三角形形狀為直角三角形．
故選：A
8. 海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍洞，若要測量如圖所示的藍洞的口徑，兩點間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點，，測得，，，，則，兩點的距離為（ ）

A. B. 80C. 160D.
【正確答案】D
【分析】首先利用正弦定理求出的值，再利用余弦定理求解即可.
【詳解】如圖所示：

在△中，，，，
，由正弦定理，得，解得，
在△中，，，
， ，則，
在△中，由余弦定理，得
，解得，
即,兩點間的距離為，
故選：．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知復(fù)數(shù)滿足，（是虛數(shù)單位），則以下命題正確的是（ ）
A. B. 的虛部為
C. D. ，是方程的兩個根
【正確答案】ACD
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算法則求出，根據(jù)復(fù)數(shù)的基本概念逐項判斷即可．
【詳解】由題意，.
對于A，，故A正確；
對于B，的虛部為，故B錯誤；
對于C，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，故C正確；
對于D，將代入方程可得，，
同理，將代入方程可得，，
所以，，是方程的兩個根，故D正確；
故選：ACD.
10. 已知是平面內(nèi)的一個基底，則下列也是平面內(nèi)一個基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】BD
【分析】根據(jù)向量是否共線即可結(jié)合選項判斷.
【詳解】對于A，由于，故共線，不能成為基底，
對于B，不共線，可以作為基底，
對于C，由于，所以共線，故不可以作為基底，
對于D，不共線，可以作為基底，
故選：BD
11. 如圖，已知梯形中，，，點，分別為線段，上的動點，，點為線段中點，則以下說法正確的是（ ）
A. 若，則B.
C. D. 若為的外心，則
【正確答案】ABD
【分析】根據(jù)梯形的中位線即可判斷A；利用平面向量夾角的坐標表示和幾何意義計算即可判斷BC；如圖，根據(jù)三角形全等的判斷方法證明，進而證明、為正三角形，結(jié)合外心的定義即可判斷D.
【詳解】A：當時，分別是的中點，
則，所以，故A正確；
B：連接，則為正三角形，得，
建立如圖平面直角坐標系，
則，
所以，
有，
，
所以，故B正確；
C：由選項B知，，
所以，
所以，故C錯誤；
D：在上取，使得，連接，，
則，
所以，得，
又，所以，
即，則為正三角形，得，
同理可得為正三角形，得，所以，
即為的外心，所以，即，故D正確.
故選：ABD
關(guān)鍵點點睛：解答選項D的關(guān)鍵是在上取，利用三角形全等的判斷方法證明、為正三角形，得到即為所求.
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知平面向量的夾角為，且，，則在方向上的投影向量為________．
【正確答案】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的數(shù)量積的運算，以及投影向量的計算方法，準確計算，即可求解.
【詳解】由平面向量的夾角為，且，，
可得，且，
所以向量在方向上的投影向量為.
故答案.
13. 若的面積為，則邊長AB的長度等于______
【正確答案】 2
【分析】由三角形面積公式求得，判斷為正三角形，從而可得結(jié)果.
【詳解】，
，
所以，又因為，，
所以，為正三角形，，
故答案為2.
本題主要考查三角形面積公式的應(yīng)用，以及正三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
14. 設(shè)，且，則的最小值為__________.
【正確答案】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義設(shè)的代數(shù)式，利用復(fù)數(shù)的加減運算結(jié)合模長計算可得到參數(shù)間的關(guān)系，再利用基本不等式可求得最值.
【詳解】設(shè)，因為，即，
所以，則，解得
所以，當且僅當，即時等號成立.
所以，的最小值為.
故答案為.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 實數(shù)取什么值時，復(fù)數(shù)是下列數(shù)？
（1）實數(shù)；
（2）虛數(shù)；
（3）純虛數(shù).
【正確答案】（1）或;
（2）且；
（3）.
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念分別列等式求解即可.
【小問1詳解】
當復(fù)數(shù)是實數(shù)時，，解得或；
【小問2詳解】
當復(fù)數(shù)虛數(shù)時，，解得且；
小問3詳解】
當復(fù)數(shù)是純虛數(shù)時，則，解得.
16. 已知，，且與的夾角.
（1）求；
（2）若與平行，求的值.
【正確答案】（1）；
（2）
【分析】（1）利用向量模長計算公式，結(jié)合向量數(shù)量積計算公式，計算即可；
（2）利用向量共線定理求解.
【小問1詳解】
由題意，，
所以
【小問2詳解】
因為與平行，所以存在實數(shù)使得，
則有，解得
所以，
17. 已知復(fù)數(shù)z與均為純虛數(shù)．
（1）求z；
（2）若是關(guān)于x的方程的一個根，求實數(shù)的值．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）設(shè)，化簡，根據(jù)其純虛數(shù)可得，即可求得答案；
（2）利用（1）的結(jié)論可得為方程的一個根，代入化簡結(jié)合復(fù)數(shù)相等，可列出方程組，求得答案.
【小問1詳解】
設(shè)，則由題意得，
由為純虛數(shù)，得
解得 ，
所以.
【小問2詳解】
由（1）可知為方程的一個根，
∴，
整理得，
∴，得.
18. 的內(nèi)角的對邊分別為，已知
（1）求；
（2）若點在上，且滿足，求面積的最大值.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等變換，結(jié)合三角形內(nèi)角取值范圍、特殊角的三角函數(shù)值求解即可；
（2）利用向量的線性運算、余弦定理、基本不等式、三角形面積公式即可求解.
【小問1詳解】
，
由正弦定理得，
，
，
，
，
，
，
，
.
【小問2詳解】
，
，
，
又，
，
，
，當且僅當時，等號成立，
的面積，
即面積的最大值為.

19. 如圖，在中，已知，BC邊上中點為M，AC邊上的中點為N，AM，BN相交于點P．
（1）求；
（2）求的余弦值；
（3）過點P作直線交邊AB，BC于點E，F(xiàn)，求該直線將分成的上下兩部分圖形的面積之比的取值范圍．
【正確答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用余弦定理求解即可；
（2）建立平面直角坐標系，利用向量的夾角的坐標運算求解；
（3）設(shè)出線段的比例關(guān)系，用向量共線的條件轉(zhuǎn)化，消去變量求范圍即可.
【小問1詳解】
在中，，
由余弦定理得，
解得，（負值舍去）
故；
【小問2詳解】
以為坐標原點建立平面直角坐標系，得，設(shè)，
由兩點距離公式得，，
解得，（負根舍去），
所以，又BC邊上的中點為M，AC邊上的中點為N，則，，
所以，
則；
【小問3詳解】
由已知得為的重心，則，設(shè)，
則，又點在直線上，
所以，即，又，
所以，
所以，，
所以，，
所以，
所以上下兩部分圖形的面積之比，
因為，
所以，即上下兩部分圖形的面積之比的取值范圍為.
關(guān)鍵點點晴:本題解題關(guān)鍵是將已知向量合理轉(zhuǎn)化，然后表示出的關(guān)系，將面積比表示為一元函數(shù)，進而得到所要求的范圍.