本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答題前，先將自己的姓名、考號(hào)等填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.填空題和解答題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知，，則（ ）
A.B.C.D.
2.在平行六面體中，為AC與BD的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量為（ ）
A.B.
C.D.
3.若函數(shù)在上單調(diào)遞減且對(duì)任意滿足，則不等式的解集是（ ）
A.B.C.D.
4.在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，底面，，點(diǎn)在側(cè)棱PB上，且滿足，則異面直線PC和DG的距離為（ ）
A.B.C.D.
5.空間中有三點(diǎn)，，，且為平面的一個(gè)法向量，則以AB、AC為鄰邊的平行四邊形的面積為（ ）
A.B.C.3D.
6.在矩形中，，，沿對(duì)角線AC將矩形折成一個(gè)大小為的二面角，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為3時(shí)，（ ）
A.B.C.D.
7.邊長(zhǎng)為1的正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，是DB靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，在正方體內(nèi)部或表面，，則的最大值是（ ）
A.1B.C.D.
8.已知點(diǎn)A，B，C，D，P，Q都在同一個(gè)球而上，為正方形，若直線PQ經(jīng)過球心，且平面.則異而直線PA，QB所成的角的聶小值為（ ）
A.60°B.45°C.30°D.15°
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.下列說法正確的是（ ）
A.已知，，則在上的投影向量為
B.若兩個(gè)不同平面，的法向量分別是，，且，，則
C.若，則A，B，C，G四點(diǎn)共面
D.若向量，（x，y，z都是不共線的非零向量）則稱在基底下的坐標(biāo)為，若在單位正交基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為
10.如圖所示是一個(gè)以AB為直徑，點(diǎn)S為圓心的半圓，其半徑為4，F(xiàn)為線段AS的中點(diǎn)，其中C、D、E是半圓圓周上的三個(gè)點(diǎn)，且把半圓的圓周分成了弧長(zhǎng)相等的四段，若將該半圓圍成上一個(gè)以S為頂點(diǎn)的圓錐的側(cè)面，則關(guān)于此圓錐，下列說法不正確的是（ ）
A.為正三角形B.平面
C.平面D.點(diǎn)到平面的距離為
11.如圖，點(diǎn)是邊長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A. 當(dāng)點(diǎn)P在側(cè)面上時(shí)，四棱錐的體積為定值
B.存在這樣的點(diǎn)，使得
C.當(dāng)直線AP與平面所成的角為45°時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
D.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.若復(fù)數(shù)滿足，則___________.
13.空間內(nèi)四點(diǎn)，，，可以構(gòu)成正四面體，則___________.
14.如圖，在正方體中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則平面截正方體所得截面面積為___________，動(dòng)點(diǎn)滿足，且，則當(dāng)取得取小值時(shí)二面角的余弦值為___________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（本小題滿分13分）
在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架，的邊長(zhǎng)都是2，且它們所在的平面互相垂直.活動(dòng)彈子M，N分別在正方形對(duì)角線AC和BF上移動(dòng)，且MA和NF的長(zhǎng)度保持相等，記.
（1）求MN的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.
16.（本小題滿分15分）
如圖，已知多面體的底面是菱形，側(cè)棱底面，且.
（1）證明：；
（2）若，，，求直線BC與平面所成的角的正弦值.
17.（本小題滿分15分）
如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，，為棱的中點(diǎn).
（1）若是線段BM上的動(dòng)點(diǎn)，試探究：是否為定值？若是，求出該定值；否則，請(qǐng)說明理由；
（2）過作該長(zhǎng)方體外接球的截面，求截面面積的取值范圍.
18.（本小題滿分17分）
如圖，三棱臺(tái)，，，平面平面，，，，與相交于點(diǎn)，，且平面.
（1）求三棱錐的體積；
（2）平面與平面所成角為，與平面所成角為，求的值.
19.（本小題滿分17分）
如圖1，在平行四邊形中，，，E為CD的中點(diǎn)，將沿AE折起，連接BD與CD，得到的四棱錐如圖2.
圖1 圖2
（1）當(dāng)BD為何值時(shí)，平面平面？
（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)，使得直線AF與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求三棱錐的內(nèi)切球的半徑.
月考卷參考答案
一、選接題
1.C【解析】將中的元表依次代入驗(yàn)證，只有，0，滿足，所以.故選C.
2.C【解析】因?yàn)樵谄叫辛骟w中，，所以，故選C.
3.D【解祈】因?yàn)椋缘膶?duì)稱軸為，在單調(diào)遞減，則在單調(diào)遞增，又因?yàn)椋蓪?duì)稱性可得，所以，，.故選D.
4.A【解析】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，分別作為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.所以，，，設(shè)為直線PC和DG的公垂線的方向向量，則有，可取，所以異面直線PC和DG的距離為.故選A.
5.D【解析】平面的一個(gè)法向量為，則，解得，故，，，則，則，則平行四邊形面積為.故選D.
6.B【解析】分別作，，垂足為E，F(xiàn)，則.由，，可得，所以，，.因?yàn)?，則，即，故.故選B.
7.B【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，所以，，則，因?yàn)?，又，所以，即，所以，又，，所?當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值是.故選B.
8.A【解析】設(shè)球的半徑為，記中心為，因?yàn)闉檎叫?，直線PQ經(jīng)過球心，且平西.所以PQ過點(diǎn)且PQ的中點(diǎn)為球心，設(shè)球心為，以為原點(diǎn)，OB、OC、OP分別為x，y，z軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，
則，，，，
所以，，所以，
所以，，
又，即.
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，設(shè)直線PA，QB所成的角為則，又，所以.故選A.
二、選擇題
9.BD【解析】對(duì)于A，由于，，則在的投影向量為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：若兩個(gè)不同平面，的法向量分別是，，且，，，則，故B正確；
對(duì)于C：由于，對(duì)于，故A，B，C，G四點(diǎn)不共面，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：p在單位正交基底下的坐標(biāo)為（1，2，3），即，所以在基底下滿足，故，，，解得，，，則在基底下的坐標(biāo)為，故D正確.故選BD.
10.ABD【解析】選項(xiàng)A，該半圓圍成的圓錐，如圖所示，
設(shè)四棱底面半徑為，則，，，為AS的中點(diǎn)，為AD的中點(diǎn)，，且，，為等腰直角三角形，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，若平面，則，直角中，，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C，，平面，平面，選項(xiàng)C正確；
選項(xiàng)D，，，平面，平面平面，到直線FO的距離即為到平面的距離，又，到直線FO的距離等于到直線SD的距離，為，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選ABD.
11.ACD【解析】略
12.【解析】略
13.【解析】由已知正四西體的棱長(zhǎng)為1，所以的豎坐標(biāo)為正四面體的高，的外接圓半徑為，所以正四面體的高為，而橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)即底面三角形的重心坐標(biāo)，，，所以，故答案為.[只寫對(duì)一個(gè)不給分]
14.18；【解析】略
四、解答題
15.解：（1）由題意可知，直線BC、BE、BA兩兩垂直，以B原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
因?yàn)椋裕?
所以.
（2），當(dāng)時(shí)，最小.
此時(shí)，M，N為AC、BF的中點(diǎn)，則，，取MN的中點(diǎn)，連接AG，BG，
則，因?yàn)?，，所以?
所以是平面與平面的夾角或其補(bǔ)角，
因?yàn)椋?
所以，
所以平面與平面夾角的余弦值是.
16.解：（1）因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)槠矫?，所以平面?br>又因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以?br>又因?yàn)?，，平面，所以平面?br>又因?yàn)槠矫?，所?
（2）設(shè)AC交BD于，以為原點(diǎn)，以O(shè)B為軸，OC為軸，過作為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由圖可知，，，，.，
則，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，
令，則，，
所以.
設(shè)直線BC與平面所成角為，
則，因此直線BC與平面所成角的正弦值為.
17.略
18.（1）略
（2）由題意及（1）得，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖，，，，，，
則，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
由，取，則，
平面的一個(gè)法向量為，
所以，.
又因?yàn)?，?br>所以，.
，
又，所以.
19.略

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