2.2 從位移的合成到向量的加減法6種常見(jiàn)考法歸類 知識(shí)點(diǎn)01向量的加法 注：1.在使用向量加法的三角形法則時(shí)，要注意“首尾相接”，即第一個(gè)向量的終點(diǎn)與第二個(gè)向量的起點(diǎn)重合，則以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，并以第二個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量即兩向量的和；向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用前提是“共起點(diǎn)”，即兩個(gè)向量是從同一點(diǎn)出發(fā)的不共線向量． 2．三角形法則與平行四邊形法則的適用條件 【即學(xué)即練1】如圖，已知向量，，求作向量． 【解析】（1）平移，使其起點(diǎn)與起點(diǎn)重合，再應(yīng)用平行四邊形法則，作出，如下圖示： （2）平移，使其終點(diǎn)與起點(diǎn)重合，再以的起點(diǎn)為起點(diǎn)，的終點(diǎn)為終點(diǎn)作，如下圖示： 知識(shí)點(diǎn)02　向量加法的運(yùn)算律 1．交換律：a＋b＝b+a 2．結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a+(b+c） 注：1.當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)，向量加法的交換律和結(jié)合律也成立． 2．我們可以從位移的物理意義理解向量加法的交換律： 一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)，方案①先走過(guò)的位移為向量a，再走過(guò)的位移為向量b，方案②先走過(guò)的位移為向量b，再走過(guò)的位移為向量a，則方案①②中質(zhì)點(diǎn)A一定會(huì)到達(dá)同一終點(diǎn)． 3．多個(gè)向量的加法運(yùn)算可按照任意的次序與任意的組合進(jìn)行，如(a+b)＋(c+d)＝(b+d)＋(a+c)；a+b+c+d＋e＝[d＋(a+c)]＋(b+e)． 【即學(xué)即練2】化簡(jiǎn)：(1)eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(AB,\s\up6(→))； (2)eq \o(DB,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＋eq \o(BC,\s\up6(→))； (3)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(DF,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＋eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(FA,\s\up6(→)). 【解析】(1)eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \o(AC,\s\up6(→)). (2)eq \o(DB,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＋eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＋eq \o(DB,\s\up6(→)) ＝(eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→)))＋eq \o(DB,\s\up6(→))＝eq \o(BD,\s\up6(→))＋eq \o(DB,\s\up6(→))＝0. (3)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(DF,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＋eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(FA,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＋eq \o(DF,\s\up6(→))＋eq \o(FA,\s\up6(→)) ＝eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＋eq \o(DF,\s\up6(→))＋eq \o(FA,\s\up6(→))＝eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \o(DF,\s\up6(→))＋eq \o(FA,\s\up6(→))＝eq \o(AF,\s\up6(→))＋eq \o(FA,\s\up6(→))＝0. 【即學(xué)即練3】向量﹒化簡(jiǎn)后等于（ ） A. B.0 C. D. 【解析】 , 故選D. 【即學(xué)即練4】化簡(jiǎn)下列各式：①；②；③；④．其中結(jié)果為的個(gè)數(shù)是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】對(duì)于①：， 對(duì)于②：， 對(duì)于③：， 對(duì)于④：， 所以結(jié)果為的個(gè)數(shù)是， 故選：B 【即學(xué)即練5】如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC和BD的交點(diǎn)． (1)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→))＝________； (2)eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＋eq \o(DO,\s\up6(→))＝________； (3)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＝________； (4)eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(BA,\s\up6(→))＋eq \o(DA,\s\up6(→))＝________. 【解析】(1)eq \o(AC,\s\up6(→))　(2)eq \o(AO,\s\up6(→))　(3)eq \o(AD,\s\up6(→))　(4) 知識(shí)點(diǎn)03 向量的減法 1．定義：向量a減向量b等于向量a加上向量b的相反向量，即a－b＝a＋(－b)． 2．幾何意義：如圖，設(shè)OA＝a，OB＝b，故a－b＝BA，則a－b＝a＋(－b)＝OA+BO＝BC+CA＝BA，即a－b表示為從向量b的終點(diǎn)B指向被減向量a的終點(diǎn)A的向量． 【即學(xué)即練6】如圖，在各小題中，已知，分別求作． 【解析】將的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)，再首尾相接，方向指向被減向量， 如圖，， (1) (2) (3) (4) 【即學(xué)即練7】如圖，已知向量a，b，c，求作a－b－c． 【解析】如圖，以A為起點(diǎn)分別作向量eq \o(AB,\s\up6(→))和eq \o(AC,\s\up6(→))，使eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(AC,\s\up6(→))＝B．連接CB，得向量eq \o(CB,\s\up6(→))，再以點(diǎn)C為起點(diǎn)作向量eq \o(CD,\s\up6(→))，使eq \o(CD,\s\up6(→))＝c．連接DB，得向量eq \o(DB,\s\up6(→)).則向量eq \o(DB,\s\up6(→))即為所求作的向量a－b－c． 【即學(xué)即練8】化簡(jiǎn)eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(BD,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→))得(　 　) A．eq \o(AB,\s\up6(→))　　　　B．eq \o(AD,\s\up6(→)) C．eq \o(BC,\s\up6(→))　　　　 D．0 【解析】(1)解法一：eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(BD,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(BD,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＋eq \o(BA,\s\up6(→)) ＝(eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→)))＋(eq \o(BA,\s\up6(→))－eq \o(BD,\s\up6(→)))＝eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \o(DA,\s\up6(→))＝0． 解法二：eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(BD,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(DB,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＋eq \o(BA,\s\up6(→)) ＝(eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→)))＋(eq \o(DB,\s\up6(→))＋eq \o(BA,\s\up6(→)))＝eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \o(DA,\s\up6(→))＝0． 題型一：向量加法法則的應(yīng)用 例1．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知下列各組向量，，求作. (1)； (2)； (3)‘ (4) 【答案】(1)作圖見(jiàn)解析 (2)作圖見(jiàn)解析 (3)作圖見(jiàn)解析 (4)作圖見(jiàn)解析 【分析】應(yīng)用向量的性質(zhì)，將，作平移處理，使一個(gè)向量起點(diǎn)與另一個(gè)的起點(diǎn)或終點(diǎn)重合，結(jié)合三角形或平行四邊形法則畫出，注意共線向量只需將一個(gè)向量起點(diǎn)平移至另一個(gè)向量的終點(diǎn)，再連接兩向量的另一個(gè)起點(diǎn)和終點(diǎn)即可. 【詳解】（1）將的起點(diǎn)移至的終點(diǎn)，即可得，如下圖： （2）將的起點(diǎn)移至的終點(diǎn)，即可得，如下圖： （3）以，為頂點(diǎn)作平行四邊形，應(yīng)用平行四邊形法則可得，如下圖： （4）將的起點(diǎn)移至的終點(diǎn)，應(yīng)用三角形法則可得，如下圖： 變式1．（22-23高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）如圖，已知向量，，不共線，求作向量． ?? 【答案】詳見(jiàn)解析 【分析】向量，，不共線中隱含著向量，，均為非零向量，因?yàn)榱阆蛄颗c任何一個(gè)向量都是共線的，利用三角形法則或平行四邊形法則作圖. 【詳解】解法一：（三角形法則），如下圖所示，作，， 則，再作，則，即. ?? 解法二：（平行四邊形法則）因?yàn)橄蛄?，，不共線， 如下圖所示，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作，， 以，為鄰邊作平行四邊形，則對(duì)角線， 再作，以，為鄰邊作平行四邊形，則. ?? 變式2．（21-22高一·江蘇·課后作業(yè)）如圖所示，求： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）按照向量加法法則直接計(jì)算即可. 【詳解】（1）； （2）； （3）； （4）. 變式3．（21-22高一下·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）如圖，為邊長(zhǎng)為1的正六邊形，O為其幾何中心. (1)化簡(jiǎn)； (2)化簡(jiǎn)； (3)化簡(jiǎn)； (4)求向量的模. 【答案】(1) (2) (3) (4)2 【分析】（1）根據(jù)平行四邊形法則直接求解即可； （2）根據(jù)，進(jìn)行求解即可； （3）根據(jù)，結(jié)合加法法則求解即可； （4）根據(jù)，結(jié)合加法法則求解得，進(jìn)而得模. 【詳解】（1）解：根據(jù)向量的平行四邊形法則得； （2）解：根據(jù)題意，，所以； （3）解：因?yàn)?，所以?（4）解：因?yàn)?，所以?所以 【方法技巧與總結(jié)】 用三角形法則求向量和，關(guān)鍵是抓住“首尾相連”，和向量是第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)，平行四邊形法則注意“共起點(diǎn)”，且兩種方法中，第一個(gè)向量的起點(diǎn)可任意選取，可在某一個(gè)向量上，也可在其它位置．兩向量共線時(shí)，三角形法則仍適用，平行四邊形法則不適用． 題型二：向量的加法運(yùn)算 例2．（22-23高一下·新疆·期末）化簡(jiǎn)下列各式: (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）應(yīng)用向量加法運(yùn)算律化簡(jiǎn)即可. 【詳解】（1）原式. （2）原式 變式1．（21-22高一下·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）化簡(jiǎn) (1)； (2) . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）按照向量加法的運(yùn)算律直接計(jì)算即可. 【詳解】（1）= （2）==. 變式2．（2020高一·全國(guó)·專題練習(xí)）化簡(jiǎn)：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋. 【答案】①；② ；③ 【解析】根據(jù)加法的三角形運(yùn)算法則和基本規(guī)律首尾相連求解. 【詳解】①＋＝+＝； ②＋＋＝＋＋＝； ③＋＋＋＋.=＋＋＋＋＝. 【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的加法運(yùn)算，其規(guī)律是首尾相連，同時(shí)注意加法運(yùn)算結(jié)果是向量，屬于中檔題. 變式3．（20-21高一下·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，O是和的交點(diǎn). （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【答案】 【分析】根據(jù)向量加法法則計(jì)算． 【詳解】（1）由平行四邊形法則，； （2）由向量加法的三角形法則，； （3）由向量加法法則得，； （4）由向量加法法則得，． 故答案為：；；；． 變式4．（21-22高一·江蘇·課后作業(yè)）如圖所示，四邊形ABCD是梯形，AD//BC，則＋＋＝ . 【答案】 【分析】利用向量的加法運(yùn)算即得. 【詳解】＋＋. 故答案為：. 變式5．（2023高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)分別為的三邊的中點(diǎn). 求證： (1)； (2). 【答案】(1)證明見(jiàn)解析 (2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）由向量加法的三角形法則，得到，即可作出證明；. （2）由向量加法的平行四邊形法則，得到，進(jìn)而作出證明. 【詳解】（1）證明：由向量加法的三角形法則， 因?yàn)?，所? （2）證明：由向量加法的平行四邊形法則， 因?yàn)椋?所以 . 變式6．（2018高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在任意四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC中點(diǎn)．求證：． ?? 【答案】證明見(jiàn)解析 【分析】根據(jù)已知可得，.進(jìn)而根據(jù)向量加法的多邊形法則表示出，相加即可得出證明. 【詳解】因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AD，BC中點(diǎn)， 所以，，. 因?yàn)?，?所以，. 【方法技巧與總結(jié)】 向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用原則及注意點(diǎn) (1)應(yīng)用原則：利用代數(shù)方法通過(guò)向量加法的交換律，使各向量“首尾相接”，通過(guò)向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序． (2)注意點(diǎn)：①三角形法則強(qiáng)調(diào)“首尾相接”，平行四邊形法則強(qiáng)調(diào)“起點(diǎn)相同”；②向量的和仍是向量；③利用相等向量轉(zhuǎn)化，達(dá)到“首尾相連”的目的． 題型三：向量加法的實(shí)際應(yīng)用 例3．（20-21高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，先向北偏東方向運(yùn)動(dòng)了到達(dá)點(diǎn)，再?gòu)狞c(diǎn)向正西方向運(yùn)動(dòng)了到達(dá)點(diǎn)，又從點(diǎn)向西南方向運(yùn)動(dòng)了到達(dá)點(diǎn)，試畫出向量、、以及． 【答案】作圖見(jiàn)解析 【分析】根據(jù)題意可作出向量、、以及. 【詳解】根據(jù)題意，、、以及的示意圖如下圖所示： 變式1．（21-22高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）在靜水中船的速度是，水流的速度是.如果船從岸邊出發(fā)，沿垂直于水流的航線到達(dá)對(duì)岸，那么船行進(jìn)方向應(yīng)指向何處？實(shí)際航速為多少？ 【答案】船的航行方向與水流方向成，船的實(shí)際航速為 【分析】如圖所示，表示水流的速度，表示船實(shí)際航行的速度，表示船行駛的速度，在中，可得,從而得，，即可得答案. 【詳解】解：設(shè)表示水流的速度，表示船實(shí)際航行的速度，表示船行駛的速度， 則四邊形為平行四邊形. 所以，， 因?yàn)椋谑牵?所以，， 故船的航行方向與水流方向成，船的實(shí)際航速為. 變式2．（21-22高一·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）一架救援直升飛機(jī)從地沿北偏東60°方向飛行了40 km到達(dá)地，再由地沿正北方向飛行40 km到達(dá)地，求此時(shí)直升飛機(jī)與地的相對(duì)位置. 【答案】直升飛機(jī)位于地北偏東30°方向，且距離地km處 【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則及勾股定理即可求解. 【詳解】如圖所示， 設(shè)，分別是直升飛機(jī)的位移，則表示兩次位移的合位移，即. 在中，. 在中，，， 即此時(shí)直升飛機(jī)位于地北偏東30°方向，且距離地km處. 變式3．（22-23高一·全國(guó)·課堂例題）如圖，無(wú)彈性的細(xì)繩OA，OB的一端分別固定在A，B處，同樣的細(xì)繩OC下端系著一個(gè)稱盤，且使得，試分析OA，OB，OC三根繩子受力的大小，并判斷哪根繩受力最大. ???? 【答案】分析答案見(jiàn)解析，OA受力最大 【分析】根據(jù)題意利用向量加法的平行四邊形法則，畫出圖形，結(jié)合圖形利用直角三角形的邊角關(guān)系得出拉力最大的是OA． 【詳解】設(shè)OA，OB，OC三根繩子所受的力分別為，，，則. 因?yàn)?，的合力為，所? 如圖在平行四邊形中， ???? 因?yàn)?，?所以，，即，. 故細(xì)繩OA受力最大. 【方法技巧與總結(jié)】 應(yīng)用向量解決平面幾何問(wèn)題的基本步驟 (1)表示：用向量表示有關(guān)量，將所要解答的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題． (2)運(yùn)算：應(yīng)用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，將有關(guān)向量進(jìn)行運(yùn)算，解答向量問(wèn)題． (3)還原：根據(jù)向量的運(yùn)算結(jié)果，結(jié)合向量共線、相等等概念回答原問(wèn)題． 題型四：向量的加減綜合運(yùn)算 例4．（23-24高一·全國(guó)·假期作業(yè)）化簡(jiǎn)?? 【答案】 【詳解】解： 變式1．（21-22高一·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）化簡(jiǎn)： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根據(jù)向量加法和減法的運(yùn)算法則即可求解； （2）根據(jù)向量加法和減法的運(yùn)算法則即可求解； 【詳解】（1）解：； （2）解：. 變式2．（22-23高一下·新疆喀什·期中）化簡(jiǎn)下列各式： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）按照向量的加法、減法法則計(jì)算即得. 【詳解】（1）； （2）； （3）. 變式3．（2023高一·全國(guó)·專題練習(xí)）化簡(jiǎn)： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)； (3) (4) (5) (6) 【分析】由向量的三角形法則求解即可. 【詳解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. 變式4．（22-23高一·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）化簡(jiǎn)下列各式： (1)(＋)＋()； (2)； (3)； (4)； (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則及運(yùn)算律計(jì)算可得. 【詳解】（1）法一：原式； 法二：原式； （2）法一：原式 法二：原式 （3）方法一：； 方法二：； （4） （5） 【方法技巧與總結(jié)】 向量加、減法運(yùn)算的基本方法 (1)利用相反向量統(tǒng)一成加法(相當(dāng)于向量求和)； (2)運(yùn)用減法公式AB?AC＝CB(正用或逆用均可)； (3)運(yùn)用輔助點(diǎn)法，利用向量的定義將所有向量轉(zhuǎn)化為以一確定點(diǎn)為起點(diǎn)的向量，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有共同起點(diǎn)的向量問(wèn)題． 題型五：用已知向量表示未知向量 例5．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，，用、表示向量、. 【答案】， 【分析】根據(jù)平面向量加、減法的定義計(jì)算可得. 【詳解】依題意，. 變式1．（20-21高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）如圖所示，，，. (1)用表示； (2)用表示. 【答案】(1)； (2). 【分析】利用向量減法與加法的規(guī)則即可用表示，用表示 【詳解】（1）. （2）. 變式2．（21-22高一·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）如圖所示，四邊形是平行四邊形，是該平行四邊形外一點(diǎn)，且，，，試用向量、、表示向量與. 【答案】， 【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算可得出向量與關(guān)于向量、、的表達(dá)式. 【詳解】解：由平面向量的減法可得，. 變式3．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，解答下列各題： (1)用表示； (2)用表示； (3)用表示； (4)用表示. 【答案】(1). (2) (3) (4) 【分析】（1）由向量的加法運(yùn)算求解即可； （2）由向量的減法運(yùn)算和相反向量的定義求解即可； （3）由向量的加法運(yùn)算求解即可； （4）由向量的加法運(yùn)算和相反向量的定義求解即可； 【詳解】（1）因?yàn)? （2）因?yàn)? （3）因?yàn)? （4）因?yàn)? 【方法技巧與總結(jié)】 解決這類問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，正確運(yùn)用向量的加法、減法以及共線(相等)向量，要注意向量的方向及運(yùn)算式中向量之間的關(guān)系．當(dāng)運(yùn)用三角形法則時(shí)，要注意兩個(gè)向量起點(diǎn)的位置，當(dāng)兩個(gè)向量共起點(diǎn)時(shí)，可以考慮向量的減法． 常用結(jié)論：任意一個(gè)非零向量一定可以表示為兩個(gè)不共線向量的和(差)，即AM ＝AB ＋BM 以及AB ＝NB －NA(M，N均是與AB在同一平面內(nèi)的任意點(diǎn))． 題型六：向量加減法的綜合應(yīng)用 例6．（20-21高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）證明：當(dāng)向量，不共線時(shí)， (1)； (2)． 【答案】(1)答案見(jiàn)解析 (2)答案見(jiàn)解析 【分析】（1）設(shè)，，以為鄰邊作一個(gè)平行四邊形，則在中利用兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊可得答案； （2）在中，利用兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊可得答案 【詳解】（1） 如圖所示，設(shè)，，且向量，不共線， 以為鄰邊作一個(gè)平行四邊形，則， 在中，因?yàn)?，所以?因?yàn)?，所以?所以. （2）由（1）向量，不共線，在中，因?yàn)椋?所以， 因?yàn)?，所以?所以． 變式1．（20-21高一下·上?！ふn時(shí)練習(xí)）試用向量方法證明：平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和. 【答案】證明見(jiàn)解析 【分析】利用，，兩邊平方求和，根據(jù)向量運(yùn)算法則證得結(jié)論. 【詳解】證明：設(shè)平行四邊形， 即證得結(jié)論. 變式2．（23-24高一下·內(nèi)蒙古通遼·期中）在中，已知，且， ，求，. 【答案】4，. 【分析】由題意可知是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，利用向量加法、減法的幾何意義即可求解. 【詳解】中，，由于，， 所以是等邊三角形，即. ∴. 設(shè)中點(diǎn)為， 根據(jù)向量和的平行四邊形法則，， 所以，. 變式3．（23-24高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）若是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，試判斷的形狀. 【答案】直角三角形 【分析】由向量的加法法則得出，可得出以、為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線相等，可判斷出平行四邊形的形狀，從而得出的形狀. 【詳解】，，， 以、為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度相等， 此平行四邊形為矩形，.是直角三角形. 【點(diǎn)睛】本題考查利用和向量和差向量模的關(guān)系判斷三角形的形狀，解題的關(guān)鍵是要弄清楚相應(yīng)平行四邊形的形狀，考查推理能力，屬于中等題. 變式4．（23-24高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）如圖，質(zhì)點(diǎn)A受到力和的作用，已知，與正東北方向的夾角為30°；，與正東方向的夾角為60°，求下列兩個(gè)向量的大小和方向： （1）； （2）. 【答案】（1）大小為N，方向?yàn)闁|偏南15°；（2）大小為N，方向?yàn)闁|偏北75°. 【分析】根據(jù)平行四邊形法則作出示意圖，進(jìn)而根據(jù)平面向量的加法法則和減法法則得到答案. 【詳解】根據(jù)平行四邊形法則作出圖形，由題意，四邊形是正方形，如圖所示. （1）如圖，， ，所以的方向?yàn)闁|偏南15°. （2）如圖，， ， 所以的方向?yàn)闁|偏北75°. 變式5．（23-24一年級(jí)·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，設(shè), , 則 (1)當(dāng),滿足什么條件時(shí)，與垂直? (2)當(dāng),滿足什么條件時(shí)，? (3)與可能是相等向量嗎? (4)當(dāng),滿足什么條件時(shí)，平分與所夾的角? 【答案】(1) (2) (3)不可能相等 (4) 【分析】根據(jù)向量加減法的幾何意義，利用平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)即可得出答案. 【詳解】（1）由向量加減法的幾何意義可知，，， 當(dāng)時(shí)，，即平行四邊形的相鄰邊長(zhǎng)相等，故平行四邊形為菱形，而菱形的對(duì)角線與互相垂直，所以與互相垂直， 故. （2）當(dāng)時(shí)，，即平行四邊形的對(duì)角線長(zhǎng)相等，此時(shí)平行四邊形為矩形，所以，即時(shí)，. （3）不可能相等， 因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線方向不同，所以與的方向一定不同，故不可能是相等向量. （4）當(dāng)時(shí)，由（1）可知平行四邊形為菱形，而菱形的對(duì)角線會(huì)平分，即會(huì)平分與所夾的角， 故. 【方法技巧與總結(jié)】 (1)平行四邊形中有關(guān)向量的以下結(jié)論，在解題中可以直接使用：①對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和，即a+b2+a?b2＝2(|a|2＋|b|2)；②若|a＋b|＝|a－b|，則以a，b為鄰邊的平行四邊形為矩形． (2)一般將向量放在具體的幾何圖形中，常見(jiàn)的有三角形、四邊形(平行四邊形、矩形、菱形)及正六邊形等． 一、單選題 1．（23-24高一上·河北石家莊·期末）向量 （????） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加法的三角形法則及向量加法的運(yùn)算律即可求解. 【詳解】由，故B正確. 故選：B. 2．（23-24高一下·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）在四邊形ABCD中，，則（　 ?。?A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形 C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四邊形 【答案】D 【分析】運(yùn)用同起點(diǎn)的向量加法的平行四邊形法則易得. 【詳解】對(duì)于同起點(diǎn)的向量的和一般通過(guò)作平行四邊形得到，由可知，由A，B，C，D構(gòu)成的四邊形一定是平行四邊形. 故選：D. 3．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知是的邊上的中線，若，，則等于（　?。? A． B． C． D． 【答案】C 【分析】結(jié)合圖形，用、表示出、和即可. 【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以. 故選：C 4．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）如果一架飛機(jī)向東飛行200 km，再向南飛行300 km，記飛機(jī)飛行的路程為，位移為，那么（???） A． B． C． D．與不能比大小 【答案】A 【分析】根據(jù)向量的合成即可求解. 【詳解】路程是數(shù)量，位移是向量，從而，由位移的合成易得，故. 故選：A. 5．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示的方格紙中有定點(diǎn)O，P，Q，E，F(xiàn)，G，H，則（????） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根據(jù)平行四邊形法則即可求. 【詳解】以，為鄰邊作平行四邊形，可知為所作平行四邊形的對(duì)角線， 故由平行四邊形法則可知對(duì)應(yīng)的向量即所求向量． 故選：B 6．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）下列等式不正確的是(????) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 【答案】B 【分析】根據(jù)向量加法的運(yùn)算律判斷即可. 【詳解】對(duì)于①，，正確； 對(duì)于②，，錯(cuò)誤； 對(duì)于③，，正確. 故選：B 7．（23-24高一上·遼寧朝陽(yáng)·期末）已知向量滿足，則的取值范圍是（????） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加法的幾何意義求解即得. 【詳解】向量滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)同向時(shí)取等號(hào)； ，當(dāng)且僅當(dāng)反向時(shí)取等號(hào)， 所以的取值范圍是. 故選：B 二、多選題 8．（22-23高一下·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）化簡(jiǎn)以下各式，結(jié)果為的有（????） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解即可. 【詳解】對(duì)A，，故A正確； 對(duì)B，，故B正確； 對(duì)C，，故C錯(cuò)誤； 對(duì)D，，故D正確. 故選：ABD 9．（22-23高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）若平行四邊形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論正確的是（????）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】作出圖形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平面向量的線性運(yùn)算即可求解. 【詳解】作出圖形，如圖所示： 因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤； 因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危詾榈闹悬c(diǎn)，則，故選項(xiàng)B正確； 因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危裕蔬x項(xiàng)C正確； 因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，故選項(xiàng)D正確； 故選：BCD. 10．（22-23高一下·湖南懷化·期中）下列各式中結(jié)果一定為零向量的是（????） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用向量的加法運(yùn)算，結(jié)合零向量的意義逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答. 【詳解】對(duì)于A，，A是； 對(duì)于B，，不一定是零向量，B不是； 對(duì)于C，，C是； 對(duì)于D，，D是. 故選：ACD 11．（21-22高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）在平行四邊形中，下列結(jié)論中正確的是（????） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】應(yīng)用幾何圖形進(jìn)行向量加減運(yùn)算，結(jié)合向量的概念、三角形及平行四邊形法則，即可判斷各項(xiàng)正誤. 【詳解】在平行四邊形ABCD中，如圖， 因?yàn)?，，所以，故A正確； 由向量平行四邊形法則可得，故B正確； 因?yàn)?，故C錯(cuò)誤； 因?yàn)?，故D正確. 故選：ABD. 12．（21-22高一下·江蘇鹽城·期中）給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（????） A．若線段，則向量 B．若向量，則線段 C．若向量與共線，則線段 D．若向量與反向共線，則 【答案】AD 【分析】由線段AC=AB+BC，且點(diǎn)B在線段AC上，即可判斷A選項(xiàng)，根據(jù)已知條件，結(jié)合三角形的性質(zhì)，即可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)向量共線的性質(zhì)，即可判斷C、D選項(xiàng). 【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，∵線段AC=AB+BC， ∴點(diǎn)B在線段AC上， ，故選項(xiàng)A正確； 對(duì)于B項(xiàng)，在△ABC中，， 但由三角形的性質(zhì)可知，AC≠AB+BC，故選項(xiàng)B不成立； 對(duì)于C項(xiàng)，若向量與反向共線，則AC≠AB+BC，故選項(xiàng)C不成立； 對(duì)于D項(xiàng)，∵向量與反向共線， 故選項(xiàng)D正確. 故選：AD. 三、填空題 13．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知、為非零向量，則下列命題中真命題的序號(hào)是 . ①若，則與方向相同；②若，則與方向相反； ③若，則與有相等的模；④若，則與方向相同． 【答案】①②④ 【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合和向量、差向量模的關(guān)系可得出結(jié)論. 【詳解】對(duì)于①，若，則與方向相同，①對(duì)； 對(duì)于②③，若，則與方向相反，②對(duì)③錯(cuò)； 對(duì)于④，若，則則與方向相同，④對(duì). 故答案為：①②④. 14．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知O為平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，，，，則 . ?? 【答案】 【分析】根據(jù)幾何圖形，利用相等向量轉(zhuǎn)化，結(jié)合向量的加減運(yùn)算公式，即可求解. 【詳解】由已知，則. 故答案為： 15．（23-24高三上·北京西城·期中）已知，，，，，則 . 【答案】13 【分析】根據(jù)向量減法幾何意義，向量模的定義，結(jié)合勾股定理計(jì)算． 【詳解】由題意是直角三角形，， 故答案為：13. 16．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若為非零向量，則不等式中等號(hào)成立的條件是 ；不等式中等號(hào)成立的條件是 ． 【答案】 向量方向相反 向量方向相同． 【分析】利用平面向量的三角不等式以及等號(hào)成立的條件可知，當(dāng)同向時(shí)，有；當(dāng)反向時(shí)，有. 【詳解】如果不共線，正好能構(gòu)成三角形， 分別為此三角形的三條邊長(zhǎng)， 又三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊， 所以可得； 若共線，則當(dāng)它們同向時(shí)，有； 若共線，則當(dāng)它們反向時(shí)，有； 綜上所述，不等式中等號(hào)成立的條件是向量方向相反；不等式中等號(hào)成立的條件是向量方向相同． 故答案為：向量方向相反，向量方向相同 四、解答題 17．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點(diǎn)，且，試用向量表示向量. 【答案】 【分析】由平面向量的加法和減法運(yùn)算求解即可. 【詳解】因?yàn)樗倪呅蜛CDE是平行四邊形， 所以，， 故. 18．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，，，，試求：. ?? 【答案】2 【分析】利用相等向量轉(zhuǎn)化，再求，再求模. 【詳解】作，連結(jié)，則， ?? 而， 所以，且， 所以. 19．（22-23高一下·湖北·階段練習(xí)）如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是梯形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，，，，，用，表示下列各式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根據(jù)平面向量的加法運(yùn)算求解即可. （2）根據(jù)平面向量的加法、減法運(yùn)算求解即可. 【詳解】（1）由題知：． （2）???????? ． 20．（21-22高二·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）如圖，已知四面體ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)后的結(jié)果所對(duì)應(yīng)的向量． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根據(jù)向量的加減法法則，直接可求得（1）（2）（3）的答案; 【詳解】（1）; （2）; （3）. 21．（21-22高一·湖南·課時(shí)練習(xí)）如圖，在五邊形ABCDE中，四邊形ACDE是平行四邊形，且，，，試用，，表示向量，，，及． 【答案】；；；； 【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形即可得出答案. 【詳解】解：由四邊形ACDE是平行四邊形，且，，， 可得， ， ， ， . 課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)借助實(shí)例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加、減運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的幾何意義及其運(yùn)算律； 2.掌握向量加法運(yùn)算法則，能熟練進(jìn)行加法運(yùn)算； 3.掌握數(shù)的加法與向量的加法的聯(lián)系與區(qū)別. 4.理解相反向量的含義，能用相反向量說(shuō)出向量相減的意義； 5.掌握向量減法的運(yùn)算及其幾何意義，能熟練地進(jìn)行向量的加減運(yùn)算； 6.能將向量的減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的加法運(yùn)算.定義求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，稱為向量的加法向量加法的三角形法則前提已知兩個(gè)不共線的向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A.作法作AB＝a，BC＝b，連接AC結(jié)論有向線段AC表示的向量即為a與b的和，記作a+b，即a＋b＝AB+BC＝AC．圖形向量加法的平行四邊形法則前提已知兩個(gè)不共線的向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O.作法作OA＝a，OB＝b，以O(shè)A，OB為鄰邊作?OACB.結(jié)論以O(shè)為起點(diǎn)的向量OC就是向量a與b的和，即OC＝a+b．圖形規(guī)定對(duì)于零向量與任一向量a，我們規(guī)定a＋0＝0＋a＝a　　　 法則 適用條件　三角形法則平行四邊形法則兩向量位置關(guān)系兩向量共線或不共線均可只適用于兩向量不共線的情況兩向量起點(diǎn)、終點(diǎn)的特點(diǎn)一個(gè)向量的終點(diǎn)為另一個(gè)向量的起點(diǎn)兩向量起點(diǎn)相同

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