2.1從位移、速度、力到向量4種常見考法歸類 知識點01 向量的相關(guān)概念 注：共線向量與平行向量 (1)平行向量也稱為共線向量，兩個概念沒有區(qū)別． (2)共線向量所在直線可以平行，與平面幾何中的共線不同． (3)平行向量可以共線，與平面幾何中的直線平行不同． 【即學(xué)即練1】（2024下·全國·高一專題練習(xí)）判斷下列結(jié)論是否正確. （1）若與都是單位向量，則；( ) （2）方向為南偏西的向量與北偏東的向量是共線向量；( ) （3）直角坐標平面上的軸，軸都是向量；( ) （4）若與是平行向量，則；( ) （5）若用有向線段表示的向量與不相等，則點M與N不重合；( ) （6）海拔、溫度、角度都不是向量. ( ) （7）任何兩個向量均不可以比較大小.( ) 【即學(xué)即練2】（2024下·全國·高一專題練習(xí)）下列說法正確的是（???） A．向量的模是一個正實數(shù) B．若與不共線，則與都是非零向量 C．共線的單位向量必相等 D．兩個相等向量的起點、方向、長度必須都相同 【即學(xué)即練3】（2024下·江蘇宿遷·高一校考開學(xué)考試）在下列判斷中，真命題的是 . ①長度為的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③單位向量的長度都相等；④單位向量都是同方向；⑤任意向量與零向量都共線． 【即學(xué)即練4】【多選】（2024下·全國·高一專題練習(xí)）已知非零向量、，下列命題正確的是（???） A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則 【即學(xué)即練5】（2024下·廣東東莞·高一校考開學(xué)考試）設(shè)點是正方形的中心，則下列結(jié)論錯誤的是（????） A． B． C． D．與共線 知識點02 向量的表示 1．向量可以用有向線段來表示．有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向． 2．向量可以用字母a，b，c，…表示．印刷用黑體a，書寫用a. 注：1.理解向量概念應(yīng)關(guān)注三點 (1)向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移． (2)判斷一個量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個因素． (3)向量與向量之間不能比較大小． 2．相等向量的理解 任意兩個相等的非零向量，都可以用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關(guān)．在平面上，兩個長度相等且指向一致的有向線段表示同一個向量，因為向量完全由它的方向和模確定． 3．向量與有向線段的關(guān)系 如果有向線段AB表示一個向量，通常我們就說向量AB，但有向線段只是向量的表示，并不是說向量就是有向線段． 4．向量與數(shù)量的區(qū)別 (1)向量被賦予了幾何意義，即向量是具有方向的，而數(shù)量是一個代數(shù)量，沒有方向； (2)數(shù)量可以比較大小，而向量無法比較大?。词褂衸a|>|b|也不能說a>b，特殊地，若向量a與b是相等向量，記作a＝b； (3)0與0不同，雖然|0|＝0，但0是向量，而0是數(shù)量． 【即學(xué)即練6】（2024下·安徽淮北·高一濉溪縣臨渙中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在如圖的方格紙中，畫出下列向量． ?? (1)，點在點的正西方向； (2)，點在點的北偏西方向； (3)求出的值． 【即學(xué)即練7】（2024·高一課時練習(xí)）在如圖所示的坐標紙中(每個小正方形的邊長均為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量． (1)，點A在點O北偏西45°方向； (2)，點B在點O正南方向． 知識點03　向量的夾角 已知兩個非零向量a和b，在平面內(nèi)選一點O，作OA＝a，OB＝b，(如圖)． 則θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)稱為向量a與b的夾角． 當θ＝0°時，a與b同向； 當θ＝180°時，a與b反向； 當θ＝90°時，a與b垂直，記作a⊥b． 規(guī)定：零向量可與任一向量垂直． 注：兩向量夾角概念的正確理解 (1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以與任一向量平行，零向量也可以與任一向量垂直． (2)按照向量夾角的定義，只有兩個向量的起點重合時所對應(yīng)的角才是兩向量的夾角，如圖所示，∠BAC不是向量CA與向量AB的夾角，∠BAD才是向量CA與向量AB的夾角． 【即學(xué)即練8】（2024下·高一課時練習(xí)）向量與的夾角的范圍是（????） A． B． C． D． 【即學(xué)即練9】（2024·高一課時練習(xí)）若非零向量，互相垂直，則它們的夾角為．( ) 【即學(xué)即練10】（2024下·甘肅蘭州·高一統(tǒng)考期末）等邊三角形中，與的夾角為（????） A． B． C． D． 題型一：向量的相關(guān)概念 例1.（2024下·海南儋州·高一校考階段練習(xí)）下列各量中，向量有： ．（填寫序號） ①濃度；②年齡；③風(fēng)力；④面積；⑤位移；⑥加速度． 例2．（2024上·福建廈門·高三福建省廈門第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）下列命題不正確的是（???） A．零向量是唯一沒有方向的向量 B．零向量的長度等于0 C．若，都為非零向量，則使成立的條件是與反向共線 D．若，，則 變式1．（2024下·廣東東莞·高一校考開學(xué)考試）給出下列六個命題： ①兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同； ②若，則； ③在四邊形中，若，則四邊形是平行四邊形； ④平行四邊形中，一定有； ⑤若，，則； ⑥若，，則 其中不正確的命題的個數(shù)為（????） A．2 B．3 C．4 D．5 變式2．（2024上·廣東湛江·高二校考開學(xué)考試）下列命題正確的個數(shù)是（????） （1）向量就是有向線段；（2）零向量是沒有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的長度為0． A．1 B．2 C．3 D．4 變式3．（2024·全國·高一專題練習(xí)）下列說法正確的個數(shù)是（???） （1）溫度、速度、位移、功這些物理量是向量； （2）零向量沒有方向； （3）向量的模一定是正數(shù)； （4）非零向量的單位向量是唯一的． A．0 B．1 C．2 D．3 33．（2024下·新疆烏魯木齊·高一?？计谥校┫铝忻}：①方向不同的兩個向量不可能是共線向量；②長度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個向量是相等向量；④若，則.其中正確命題的個數(shù)是（????） A．1 B．2 C．3 D．4 【方法技巧與總結(jié)】 與向量相關(guān)的概念比較多，為了不致混淆，應(yīng)牢記各概念的內(nèi)涵與外延，緊緊抓住各概念的本質(zhì)．向量的核心為方向和長度，如：共線向量的核心是方向相同或相反，長度沒有限制；相等向量的核心是方向相同且長度相等；單位向量的核心是方向沒有限制，但長度都是一個單位長度；零向量的核心是方向沒有限制，長度是0；規(guī)定零向量與任意向量共線． 題型二：向量的幾何表示 例3．（2024·高一課時練習(xí)）已知飛機從地按北偏東方向飛行到達地，再從地按南偏東方向飛行到達地，再從地按西南方向飛行到達地．畫圖表示向量，并指出向量的模和方向． 變式1．（2024下·高一課時練習(xí)）一艘軍艦從基地A出發(fā)向東航行了200海里到達基地B，然后改變航線向東偏北航行了400海里到達C島，最后又改變航線向西航行了200海里到達D島． （1）試作出向量； （2）求． 變式2．（2024·高一課時練習(xí)）在如圖所示的坐標紙上(每個小方格邊長為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量： （1），使||＝4，點A在點O北偏東45°； （2），使＝4，點B在點A正東； （3），使＝6，點C在點B北偏東30°. 變式3．（2024下·高一課時練習(xí)）如圖所示，某人從點A出發(fā)，向西走了200m后到達B點，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到達C點，最后又改變方向，向東走了200m到達D點，發(fā)現(xiàn)D點在B點的正北方. （1）作出向量，，（圖中1個單位長度表示100m）； （2）求向量的模. 【方法技巧與總結(jié)】 用有向線段表示向量的步驟 題型三：相等向量、共線向量 例4．（2024·全國·高一課堂例題）已知O為正六邊形的中心，在圖所標出的向量中： ???? (1)試找出與共線的向量； (2)確定與相等的向量； (3)與相等嗎？ 變式1．（2024下·高一?？颊n時練習(xí)）如圖，O是正六邊形ABCDEF的中心. ?? (1)圖中所示的向量中與的模相等的向量有幾個? (2)圖中所示的向量中與共線的向量有幾個? 變式2．（2024下·高一校考課時練習(xí)）如圖，EF，CH將正方形ABCD分成四個單位正方形(邊長為1個單位長度).在以圖中各點為端點的所有向量中，除向量外，與平行的向量有哪些?與平行且是單位向量的有哪些? ?? 變式3．（2024·高一課時練習(xí)）如圖所示，四邊形為正方形，為平行四邊形， ?? (1)與模長相等的向量有多少個？ (2)寫出與相等的向量有哪些？ (3)與共線的向量有哪些？ (4)請列出與相等的向量． 變式4．（2024·高一課時練習(xí)）如圖，為正方形的兩條對角線的交點，四邊形和四邊形都是正方形，在圖中所示的向量中. (1)分別寫出與、相等的向量； (2)寫出與共線的向量； (3)寫出與的模相等的向量； (4)寫出與的夾角為的向量； (5)向量與是否相等？ 【方法技巧與總結(jié)】 (1)尋找共線向量的技巧：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再找同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量． (2)尋找相等向量的技巧：先找模與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是同向共線向量． 題型四：向量的夾角 例5．（2024下·江蘇淮安·高一校考階段練習(xí)）在銳角中，關(guān)于向量夾角的說法，正確的是（????） A．與的夾角是銳角 B．與的夾角是銳角 C．與的夾角是銳角 D．與的夾角是鈍角 變式1．（2024·高一課時練習(xí)）已知?ABCD中，∠DAB＝60°，則與的夾角為（????） A．30° B．60° C．120° D．150° 變式2．（2024·河北廊坊·校聯(lián)考三模）在中，，，則向量與的夾角為 A． B． C． D． 變式3．（2024下·高一課時練習(xí)）在中，，，，D是AC的中點，則與的夾角為 ． 變式4．（2024上·安徽·高三校聯(lián)考期末）正八邊形在生活中是很常見的對稱圖形，如圖1中的正八邊形的U盤，圖2中的正八邊形窗花．在圖3的正八邊形中，向量與的夾角為（????） A． B． C． D． 變式5．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，設(shè)點O是正六邊形ABCDEF的中心，請完成以下問題． (1)分別寫出與、、相等的向量； (2)分別寫出與、、共線的向量； (3)分別寫出與，與的夾角； (4)分別寫出與，與的夾角． 一、單選題 1．（2024上·黑龍江·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列量中是向量的為（????） A．頻率 B．拉力 C．體積 D．距離 2．（2024上·江蘇·高二專題練習(xí)）判斷下列各命題的真假：①向量與平行，則與的方向相同或相反；②兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；③零向量是沒有方向的；④向量就是有向線段.其中假命題的個數(shù)為（????） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)是單位向量，，，，則四邊形是（ ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 4．（2024下·全國·高一專題練習(xí)）下列說法錯誤的是（????） A． B．，是單位向量，則 C．若，則 D．任一非零向量都可以平行移動 5．（2024·全國·高一專題練習(xí)）若為任一非零向量，的模為1，給出下列各式中正確的是（ ） A． B． C． D． 6．（2024·高一課時練習(xí)）設(shè)點是正三角形的中心，則向量，，是（????） A．共起點的向量 B．模相等的向量 C．共線向量 D．相等向量 7．（2024上·陜西·高一統(tǒng)考期末）如圖，在正六邊形中，點為其中點，則下列判斷錯誤的是（????） ?? A． B． C． D． 二、多選題 8．（2024·全國·高一專題練習(xí)）下列結(jié)論中，錯誤的是（ ） A．表示兩個相等向量的有向線段，若它們的起點相同，則終點也相同； B．若，則，不是共線向量； C．若，則四邊形是平行四邊形； D．有向線段就是向量，向量就是有向線段. 9．（2024下·四川遂寧·高一射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）下列命題中錯誤的有（????） A．起點相同的單位向量，終點必相同； B．已知向量，則四邊形ABCD為平行四邊形； C．若，則； D．若，則 10．（2024上·高二課時練習(xí)）(多選)下列命題的判斷正確的是（????） A．若向量與向量共線，則A，B，C，D四點在一條直線上 B．若A，B，C，D四點在一條直線上，則向量與向量共線 C．若A，B，C，D四點不在一條直線上，則向量與向量不共線 D．若向量與向量共線，則A，B，C三點在一條直線上 三、填空題11．（2024下·廣東湛江·高一雷州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列四個說法：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，，則．其中錯誤的是 （填序號）． 12．（2024·高一課時練習(xí)）在如圖所示的向量中（小正方形的邊長為1），找出存在下列關(guān)系的向量： ?? ①共線向量： ； ②方向相反的向量： ； ③模相等的向量： . 13．（2024·高一課時練習(xí)）給出下列四個條件：①；②；③與方向相反；④或，其中能使成立的條件是 . 14．（2024下·高一課時練習(xí)）如圖所示，在等腰梯形ABCD中，，對角線AC，BD交于點O，過點O作，交AD于點M，交BC于點N，則在以A，B，C，D，M，O，N為起點或終點的所有有向線段表示的向量中，相等向量有 對. ?? 四、解答題 15．（2024·高一課時練習(xí)）如圖所示，平行四邊形ABCD中，O是兩對角線AC，BD的交點，設(shè)點集S＝{A,B,C,D,O}，向量集合且M，N不重合，試求集合T中元素的個數(shù)． 16．（2024下·高一課時練習(xí)）如圖，四邊形和四邊形都是平行四邊形． (1)寫出與向量相等的向量； (2)寫出與向量共線的向量． 17．（2024·高一課時練習(xí)）如圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心，以A，B，C，D，E，F(xiàn)，O七點中的任一點為起點，以與起點不同的另一點為終點的所有向量中，設(shè)與向量相等的向量個數(shù)為m，與向量的模相等的向量個數(shù)為n，求m，n． 課程標準學(xué)習(xí)目標(1)通過對力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的實際背景，理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義． (2)理解平面向量的幾何表示和基本要素．1.通過對位移、速度、力的分析，了解平面向量的實際背景； 2.理解向量的概念、基本要素及向量的幾何表示. 3.理解零向量和單位向量的概念. 4.理解平行向量、共線向量、相等向量的概念； 5. 能夠能夠掌握它們之間的聯(lián)系與區(qū)別.向量的概念在數(shù)學(xué)中，我們把既有大小又有方向的量統(tǒng)稱為向量．有向線段具有方向和長度的線段稱為有向線段．以A為起點，B為終點的有向線段記作 AB，線段AB的長度稱為有向線段AB的長度，記作AB．向量的模向量a的大小，記作|a|，又稱作向量的模．零向量長度為0的向量稱為零向量，記作0.單位向量模等于1個單位長度的向量，稱為單位向量．共線向量兩個非零向量a，b的方向相同或相反稱這兩個向量為共線向量或平行向量，記作a∥b 規(guī)定：零向量與任一向量共線．相等向量長度相等且方向相同的向量稱為相等向量．相反向量若兩個向量的長度相等、方向相反，則稱它們互為相反向量．

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