1.7 正切函數(shù)10種常見考法歸類 知識點(diǎn)01正切函數(shù)的定義 根據(jù)函數(shù)的定義，比值sinxcosx是x的函數(shù)，稱為x的正切函數(shù)，記作y＝tan x，其中定義域{x∈R|x≠π2+kπ，k∈Z}． 【即學(xué)即練1】（2024高一課堂練習(xí)）函數(shù)的定義域是（ ） A． B． C． D． 【即學(xué)即練2】（2024高一課堂練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域： （1）函數(shù)y＝＋lg(1－tanx)； （2）函數(shù)y＝tan(sinx)． 知識點(diǎn)02　正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式 tan (kπ＋α)＝tan α(k∈Z) tan (－α)＝－tan α tan (π＋α)＝tan α tan (π－α)＝－tan α tan π2+α＝－1tanα tan π2?α＝1tanα． 注：(1)正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式可以用正、余弦函數(shù)誘導(dǎo)公式一樣的方法記憶，即“奇變偶不變，符號看象限”． (2)利用誘導(dǎo)公式求任意角的正切函數(shù)值的步驟與求任意角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值的步驟相同，都是依據(jù)“負(fù)化正，大化小，化為銳角再求值”，即由未知轉(zhuǎn)化為已知的化歸思想． 【即學(xué)即練3】（2023下·河南駐馬店·高一校聯(lián)考期中）（????） A． B． C． D． 【即學(xué)即練4】（2023下·山東·高一校聯(lián)考階段練習(xí)） ． 【即學(xué)即練5】（2023下·河北衡水·高一?？奸_學(xué)考試） . 【即學(xué)即練6】（2023上·江蘇淮安·高一?？茧A段練習(xí)）已知，求，的值. 【即學(xué)即練7】（2024上·山西太原·高一統(tǒng)考期末）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，其終邊經(jīng)過點(diǎn). (1)求的值； (2)求的值. 知識點(diǎn)03 正切函數(shù)的圖象 利用正切線作出函數(shù)的圖象（如圖）．作法如下： (1)作直角坐標(biāo)系，并在y軸左側(cè)作單位圓． (2)把單位圓右半圓分成8等份，分別在單位圓中作出正切線． (3)描點(diǎn)．（橫坐標(biāo)是一個(gè)周期的8等分點(diǎn)，縱坐標(biāo)是相應(yīng)的正切線） (4)連線． 根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖象向左、右擴(kuò)展，就可以得到正切函數(shù)，且的圖象，我們把它叫做正切曲線(如圖)． 正切曲線是被相互平行的直線所隔開的無窮多支曲線組成的． 注：如何作正切函數(shù)的圖象 (1)幾何法 就是利用單位圓中的正切線來做出正切函數(shù)的圖象，該方法作圖較為精確，但畫圖時(shí)較煩瑣． (2)“三點(diǎn)兩線”法 “三點(diǎn)”是指?π4，?1，(0，0)，π4，1；“兩線”是指x＝－π2和x＝π2. 在“三點(diǎn)”確定的情況下，類似于“五點(diǎn)法”作圖，可大致畫出正切函數(shù)在?π2，π2上的簡圖，然后向左、右平移(每次平移π個(gè)單位長度)即可得到正切曲線． 【即學(xué)即練8】（2024高一課堂練習(xí)）在內(nèi)，使成立的x的取值范圍為（　　） A． B． C． D． 【即學(xué)即練9】（2024高一課堂練習(xí)）設(shè)函數(shù). （1）求函數(shù)f(x)的最小正周期?對稱中心； （2）作出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的簡圖. 【即學(xué)即練10】（2024高一課堂練習(xí)）作出函數(shù)y＝|tan x|的圖象，并根據(jù)圖象求其最小正周期和單調(diào)區(qū)間． 知識點(diǎn)04正切函數(shù)的性質(zhì) 1．周期性 由誘導(dǎo)公式可知，，因此是正切函數(shù)的一個(gè)周期. 一般地，函數(shù)的最小正周期． 2．奇偶性 正切函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，由于 ，因此正切函數(shù)是奇函數(shù)． 3．單調(diào)性和值域 單位圓中的正切線如下圖所示． 利用單位圓中的正切線研究正切函數(shù)的單調(diào)性和值域，可得下表： 由上表可知正切函數(shù)在，上均為增函數(shù)，由周期性可知正切函數(shù)的增區(qū)間為 ．此外由其變化趨勢可知正切函數(shù)的值域?yàn)榛?，因此正切函?shù)沒有最值． 【即學(xué)即練11】（2024高一課堂練習(xí)）函數(shù)的周期為__________． 【即學(xué)即練12】（2024高一課堂練習(xí)）函數(shù)y＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,4)))的單調(diào)遞減區(qū)間為________________． 【即學(xué)即練13】（2024高一課堂練習(xí)）下列點(diǎn)不是函數(shù)的圖象的一個(gè)對稱中心的是（　?。?A． B． C． D． 【即學(xué)即練14】（2024高一課堂練習(xí)）已知函數(shù)y=3tan． （1）求函數(shù)的最小正周期； （2）求函數(shù)的定義域； （3）說明此函數(shù)的圖象是由y=tanx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的？ 【即學(xué)即練15】（2024高一課堂練習(xí)）已知函數(shù)． （1）求的定義域； （2）求的周期； （3）求的單調(diào)遞增區(qū)間． 題型一：求函數(shù)的定義域 例1．（2023上·湖南株洲·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋ā　。?A． B． C． D． 變式1．（2023下·內(nèi)蒙古包頭·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域是（????） A． B． C． D． 變式2．（2024上·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第十一中學(xué)校考期末）求函數(shù)的定義域 ． 變式3．（2022上·浙江溫州·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域是（????） A． B． C． D．且 變式4．（2022上·內(nèi)蒙古赤峰·高一赤峰二中?？计谀┖瘮?shù)的定義域?yàn)椋????）． A．， B．， C．， D．， 變式5．（2019下·遼寧朝陽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋????） A． B． C． D． 變式6．（2023上·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域是(　　) A． B． C． D． 【方法技巧與總結(jié)】 求正切函數(shù)定義域的方法 求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時(shí)，除了求函數(shù)定義域的一般要求外，還要保證正切函數(shù)y＝tan x有意義即x≠π2＋kπ，k∈Z.而對于構(gòu)建的三角不等式，常利用三角函數(shù)的圖象求解． 題型二：利用正切函數(shù)誘導(dǎo)公式求值 例2．（2022下·遼寧·高一東港市第二中學(xué)校聯(lián)考期中）的值為（????） A． B． C． D． 變式1．（2023·全國·高一專題練習(xí)） ． 變式2．（2022上·江蘇南通·高一江蘇省南通中學(xué)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)位于第（????）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 變式3．（2022上·黑龍江雞西·高一雞西市第四中學(xué)校考期末）下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（???） A． B． C． D． 【方法技巧與總結(jié)】 給角求值，關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角，通常是特殊角的三角函數(shù)值． 給值求值時(shí)，要注意分析已知角與未知角之間的內(nèi)在關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)恼T導(dǎo)公式求值． 題型三：利用正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡 例3．（2023上·湖北襄陽·高一統(tǒng)考期末）已知，則 . 變式1．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，，則的值為（????） A． B． C． D． 變式2．（2022下·上海長寧·高一華東政法大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┗啠? ． 變式3．（2023·高一單元測試）已知為第三象限角，且． (1)化簡并求； (2)若，求的值． 變式4（2022上·廣東廣州·高一廣州市第九十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知． (1)化簡,并求的值; (2)若,且,求的值． 【方法技巧與總結(jié)】 用正切函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡、證明的總體原則： (1)“切化弦”，函數(shù)名稱盡可能化少． (2)“大化小”，角盡可能化?。? 題型四：正切函數(shù)的圖象及應(yīng)用 例4．（2024上·寧夏銀川·高一銀川二中?？计谀┖瘮?shù)（）的圖象可能是（????） A．?? B．?? C．?? D．?? 變式1．（2023上·廣東·高一校聯(lián)考期末）若函數(shù)的圖象與直線沒有交點(diǎn)，則的最小值為（????） A．0 B． C． D． 變式2．（2023上·河北邢臺(tái)·高一邢臺(tái)市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（????） A．0 B．1 C．2 D．4 變式3．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)是 ． 變式4．（2023上·全國·高一專題練習(xí)）借助函數(shù)的圖象寫出下列不等式或方程的解集： (1)，； (2)； (3)； (4)； 變式5．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)和，的圖象，依據(jù)圖象回答以下問題： (1)寫出這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)； (2)寫出使成立的x的取值范圍； (3)寫出使成立的x的取值范圍； (4)寫出使成立的x的取值范圍； (5)寫出使這兩個(gè)函數(shù)有相同的單調(diào)性的區(qū)間． 【方法技巧與總結(jié)】 解決與正切函數(shù)圖象有關(guān)的問題，必須熟練畫出正切函數(shù)y＝tan x，x∈?π2，π2的圖象，求自變量x的范圍時(shí)，要注意是否包含端點(diǎn)值，切記正切函數(shù)的最小正周期為π. 題型五：正切函數(shù)的周期性問題 例5．（2024上·北京大興·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的最小正周期等于（????） A． B． C． D． 變式1．（2024上·貴州安順·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的最小正周期為（????） A． B． C． D． 變式2．（2024上·山東聊城·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，既是周期函數(shù)又是偶函數(shù)的是（???） A． B． C． D． 變式3．（2024上·河南南陽·高三方城第一高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知是曲線與直線相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，則（????） A． B． C． D． 變式4．（2024上·新疆巴音郭楞·高一新疆兵團(tuán)第二師華山中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)的圖象的相鄰兩支截直線所得線段長為，則的值是 ． 變式5．（2023·廣東·東莞市東華高級中學(xué)校聯(lián)考一模）已知函數(shù)的最小正周期為，則 . 變式6．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考模擬預(yù)測）若，（），則（????） A． B． C．0 D． 題型六：正切函數(shù)的奇偶性問題 例6．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)． 變式1．（2022上·內(nèi)蒙古赤峰·高一?？计谀┖瘮?shù)是（????） A．周期為的偶函數(shù) B．周期為的奇函數(shù) C．周期為的偶函數(shù) D．周期為的奇函數(shù) 變式2．（2023上·河南鄭州·高一河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則（????） A． B．0 C．1 D．2 變式3．（2023上·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，且，則（????） A． B． C．1 D．4 變式4．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則的值為 . 變式5．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（????） A． B． C．D． 變式6．（2021上·河南開封·高三階段練習(xí)）已知，則“函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱”是“”的（????） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 題型七：正切函數(shù)的對稱性問題 例7．（2023上·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）下列是函數(shù)的對稱中心的是（????） A． B． C． D． 變式1．（2024上·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，以點(diǎn)為對稱中心的函數(shù)是（????） A． B． C． D． 變式2．（2024上·河北保定·高一統(tǒng)考期末）“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱”的（????） A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 變式3．（2024·全國·模擬預(yù)測）“函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱”是“”的 條件． 變式4．（2024上·廣東茂名·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其最小正周期為，則的一個(gè)對稱中心的坐標(biāo)為 ． 變式5．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心為，則的值為 ． 變式6．（2023下·湖北荊州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則（????） A． B． C． D． 題型八：正切函數(shù)的單調(diào)性問題 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 例8．（2023下·四川眉山·高一仁壽一中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是（????） A． B． C． D． 變式1．（2023下·四川涼山·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（????） A． B． C． D． 變式2．（2023下·高一單元測試）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是（????） A． B． C． D． 變式3．（2022上·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，則（????） A．增區(qū)間為， B．增區(qū)間為， C．減區(qū)間為， D．減區(qū)間為， 變式4．（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，則的取值范圍為（????） A． B． C． D． 變式5．（2022·湖南長沙·長沙一中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則的取值范圍是（????） A． B． C． D． 比較大小 例9．（2024上·湖南·高一校聯(lián)考期末）三個(gè)數(shù)，，的大小關(guān)系是（????） A． B． C． D． 變式1．（2024上·河南開封·高一統(tǒng)考期末）若 則（????） A． B． C． D． 變式2．（2024上·內(nèi)蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）已知，，，則（????） A． B． C． D． 【方法技巧與總結(jié)】 求函數(shù)y＝A tan (ωx＋φ)(A，ω，φ都是常數(shù))的單調(diào)區(qū)間的方法 ①若ω>0，由于y＝tan x在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上都是增函數(shù)，故可用“整體代換”的思想，令kπ－π2

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