上冊(cè)第一章第1節(jié)～第二章第4節(jié)
說(shuō)明：共有六個(gè)大題，23個(gè)小題，滿分120分，作答時(shí)間120分鐘．
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是最符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填入題后括號(hào)內(nèi)．錯(cuò)選、多選或未選均不得分．
1．若關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值不可能為（ ）
A．1B．C．0D．2
2．一元二次方程的解是（ ）
A．B．
C．D．
3．圖（1）的杜嶺二號(hào)方鼎是河南博物院九大鎮(zhèn)院之寶之一，方鼎的口呈正方形（如圖（2）），正方形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，則下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，菱形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，則下列判斷正確的是( )
A．若，則四邊形是正方形
B．若，則四邊形是平行四邊形
C．若，則四邊形是菱形
D．若，則四邊形是矩形
6．若關(guān)于的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
7．已知是方程的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)的值是 ．
8．如圖，矩形為一個(gè)正在倒水的水杯截面圖，若杯內(nèi)水面剛好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則水杯底面與水平面夾角的大小為 ．
9．若關(guān)于的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是 ．
10．如圖，在正方形中，為對(duì)角線上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為 ．
11．一元二次方程配方為，則k的值是 ．
12．如圖，在菱形中，E為對(duì)角線上的一動(dòng)點(diǎn)，， ，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為 ．
三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13．（1）解方程：．
（2）如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，若，求的度數(shù)．
14．如圖，在中，，為邊的中點(diǎn)，頂點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)刻度尺上的和，求的長(zhǎng)．
15．下面是小明用因式分解法解一元二次方程的過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的問(wèn)題．
解一元二次方程：
解：原方程可以化為：第一步
兩邊同時(shí)除以得：第二步
系數(shù)化為1，得：第三步
任務(wù)：
(1)小明的解法是不正確的，他從第_________步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤；
(2)請(qǐng)你繼續(xù)用因式分解法完成這個(gè)方程的正確解題過(guò)程．
16．如圖，E是矩形的邊上的中點(diǎn)，現(xiàn)僅用無(wú)刻度的直尺分別按下列要求畫圖．（保留作圖痕跡，不寫作法）
(1)在圖1中，畫一個(gè)以點(diǎn)E為頂點(diǎn)的等腰三角形．
(2)在圖2中，畫AD的中點(diǎn)F．
17．如圖，某校準(zhǔn)備將校園內(nèi)的一塊正方形空地進(jìn)行改造，原空地一邊減少了，另一邊減少了，剩余部分的面積為，求原正方形空地的邊長(zhǎng)．
四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
18．已知菱形的兩條對(duì)角線分別為和．
(1)用含的代數(shù)式表示菱形的面積．
(2)若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求此時(shí)菱形的面積．
19．我們規(guī)定：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，d有，其中等式右邊是常用的乘法和減法運(yùn)算．如：
(1)已知，求x的值．
(2)已知關(guān)于x的方程的一個(gè)根為2，求方程的另一個(gè)根．
20．如圖，在中，是邊上的中線，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．
(1)求證：．
(2)若為等腰直角三角形，，求證：四邊形是正方形．
五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）
21．小穎新房買了一盞簡(jiǎn)單而精致的吊燈（圖1），其正面的平面圖如圖2所示，四邊形是一個(gè)菱形外框架，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，四邊形是其內(nèi)部框架，且點(diǎn)、在上，．
(1)求證：四邊形內(nèi)部框架為菱形．
(2)若，為的中點(diǎn)，，求四邊形的周長(zhǎng)．
22．已知關(guān)于x的方程可以變形為的形式．
下面通過(guò)列表探究的變形：
(1)依據(jù)表格解答：
①求表格中t的值．
②觀察上述探究過(guò)程，直接寫出表格中m與n滿足的等量關(guān)系．
(2)記的兩種變形為和，求的值．
六、解答題（本大題共12分）
23．如圖，四邊形為矩形，分別為邊上的中點(diǎn)，將一足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)上，并繞著點(diǎn)在AD下方旋轉(zhuǎn)，兩直角邊(或直角邊所在直線)分別與矩形的邊交于點(diǎn)．
(1)如圖1，當(dāng)三角板的一條直角邊交AB于點(diǎn),另一條直角邊交于點(diǎn)時(shí)，求證： ．
(2)如圖2，當(dāng)三角板的一條直角邊與矩形的邊相交于點(diǎn)，另一條直角邊交CD邊于點(diǎn)時(shí)，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，小圣發(fā)現(xiàn)，試說(shuō)明理由．
(3)在（2）的條件下，若，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)落在的三等分點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)．
變形
m
n
P
1．A
解：∵方程是一元二次方程，
∴，則，
故選：A．
2．D
解：，
∴，
∴，，
故選：D
3．B
解：∵正方形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，
∴
∴，
故選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
故選B．
4．B
解：∵菱形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
∴，，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為．
故選：B．
5．D
解：A、，不能判定四邊形是正方形，原選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤；
B、，不能判定四邊形是平行四邊形，原選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤；
C、，則四邊形是矩形，原選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤；
D、，則四邊形是矩形，原選項(xiàng)判斷正確；
故選：D．
6．C
∵，
∴，
∵關(guān)于的一元二次方程有一根為，
∴有一根為，
解得，
∴一元二次方程必有一根為，
故選：．
7．
解：∵是方程的一個(gè)根，
∴
解得：，
故答案為：．
8．##40度
解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，如圖所示：
∵，，
∴，
∵四邊形為矩形，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
9．##
解：∵關(guān)于的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，且，
∴，即，
故答案為：．
10．
解：過(guò)點(diǎn)作于，則，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴四邊形是矩形，
∵，，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
11．１
解：
∴
故答案為：1．
12．或或
解：菱形中，，為菱形的對(duì)角線，
，，
連接，交于點(diǎn)，
，
，
，
，
，
為等腰三角形時(shí)，
①當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，
，
②當(dāng)時(shí)，，
③當(dāng)時(shí)，
，
，
，
，
，
，
即，
解得或（不合題意，舍去），
，
綜上所述，的長(zhǎng)為或或，
故答案為：或或．
13．（1）；（2）
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵在矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴．
14．
解：由題意可知，，
又∵，且為邊的中點(diǎn)，
∴，
∴的長(zhǎng)為．
15．(1)二
(2)或，過(guò)程見(jiàn)解析
（1）解：他從第二步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤，
故答案為：二；
（2）解：
或，
解得：或．
16．(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
（1）解：如圖1所示，連接，DE，
四邊形是矩形，
，
點(diǎn)E是的中點(diǎn)，
，
，
是以點(diǎn)E為頂點(diǎn)的等腰三角形；
（2）解：如圖2所示，點(diǎn)F為所求．
連接交于點(diǎn)O，連接并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
點(diǎn)E是的中點(diǎn)，
，
，
點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)．
17．
解：設(shè)原正方形空地的邊長(zhǎng)為，則剩余部分是長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，
根據(jù)題意得，，
整理得，，
解得（不合題意，舍去），
答：原正方形空地的邊長(zhǎng)為．
18．(1)
(2)
（1）解：菱形的面積
（2）解：由題意得：，
即：，
∴，
∴菱形的面積
19．(1)，
(2)
（1）解：∵，
∴，
整理得：，
解得：，；
（2）解：∵，
∴，
∵的一個(gè)根為，
將代入，得，
解得：，
則，即，
解得：，；
∴方程的另一個(gè)根為．
20．(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
（1）證明：∵為的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵是中邊上的中線，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴四邊形是平行四邊形．
∵為等腰直角三角形，，為中線，
∴，，
∴平行四邊形是正方形．
21．(1)見(jiàn)解析；
(2)24．
解：（1）證明： ∵四邊形是菱形，
∴，．
∵，
∴，
∴四邊形是平行四邊形．
∵四邊形是菱形，
∴，
∴平行四邊形是菱形．
（2） ∵，
∴是直角三角形．
∵為的中點(diǎn)，
∴．
∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
又∵．
∴．
∴，
∴．
∵四邊形為菱形．
∴．
在中，，
∴
∴（負(fù)值舍去）．
∵四邊形為菱形，
∴菱形的周長(zhǎng)為．
22．(1)①；②
(2)
（1）解：①∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：7；
②，，，，
為一次項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù)，
，
故答案為：；
（2）解：由可得，
由可得，
∴，，
∴，
∴．
23．(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)或
（1）證明：∵四邊形為矩形，分別為邊上的中點(diǎn)，
∴四邊形為矩形，
∵，分別為邊上的中點(diǎn)，
∴
∴四邊形為正方形，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
（2）證明：∵
∴，
∵，
∴
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解：∵，，
∴，
∴，
若點(diǎn)落在靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則,
∴，
∴，
∴；
若點(diǎn)落在靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則,
∴，
∴，
∴；
綜上所述：或

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