1．（3分）如圖所示的圖形是全等圖形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）下列三條線段中，能組成三角形的是（ ）
A．2，4，6B．5，8，11C．5，8，14D．3，4，9
3．（3分）如圖，△ABC中AC邊上的高是（ ）
A．線段AEB．線段CBC．線段BED．線段AB
4．（3分）如圖，把三角形紙片ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)A'重合，且落在四邊形BCDE的內(nèi)部a，已知∠1+∠2＝78°，則∠A的度數(shù)為（ ）
A．39°B．38°C．30°D．35°
5．（3分）如圖，將△ABC折疊，使點(diǎn)B和點(diǎn)C重合，展開(kāi)后得到點(diǎn)E，連接AE，則AE是（ ）
A．角平分線B．高線
C．中線D．任意一條線段
6．（3分）如圖所示，△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，B，E，C在一條直線上．下列結(jié)論：
①BD是∠ABE的平分線；②AB⊥AC；③∠C＝30°；④線段DE是△BDC的中線；⑤AD+BD＝AC
其中正確的有（ ）個(gè)．
A．2B．3C．4D．5
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
7．（3分）如圖，膠州灣大橋是一座斜拉式大橋，斜拉式大橋多采用三角形結(jié)構(gòu)，使其不易變形，這種做法的依據(jù)是 ．
8．（3分）一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為5，7，x，另一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為y，5，4，若這兩個(gè)三角形全等，則x+y＝ ．
9．（3分）已知：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共有6條對(duì)角線；從m邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的所有對(duì)角線把m邊形分成6個(gè)三角形；正t邊形的邊長(zhǎng)為7，周長(zhǎng)為49．則（n﹣m）t的值為 ．
10．（3分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝80°，∠C＝30°，則∠DAE的度數(shù)是 ．
11．（3分）如圖，D，E，F(xiàn)分別是邊BC，AD，AC上的中點(diǎn)，若陰影的面積為6，則△ABC的面積是 ．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊AC，BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．則∠α，∠1，∠2之間的關(guān)系為 ．
三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13．（6分）（1）如圖，△ABC≌△DCB，若AC＝10，BE＝7，求DE的長(zhǎng)；
（2）已知兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1800°且兩多邊形的邊數(shù)之比為2：5，求這兩個(gè)多邊形的邊數(shù)．
14．（6分）一個(gè)等腰三角形的一邊長(zhǎng)為8cm，周長(zhǎng)為22cm，求其他兩邊的長(zhǎng)．
15．（6分）如圖，已知△ABC≌△DEF且點(diǎn)A、B、D、E在同一直線上，請(qǐng)你僅用無(wú)刻度的直尺按以下要求作圖．
（1）在圖1中，作出一個(gè)與∠CAB相等的角（∠EDF除外）．
（2）若∠ACB＝90°，在圖2中，作出△AEC的邊AC上的高．
16．（6分）如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的角平分線，且CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）若∠B＝20°，∠ACB＝48°，求∠E的度數(shù)；
（2）求證：∠BAC＝∠B+2∠E．
17．（6分）如圖，在四邊形MNCB中，BD平分∠MBC，且與四邊形MNCB的外角∠NCE的平分線交于點(diǎn)D，若∠BMN＝150°，∠CNM＝110°，求∠D的度數(shù)．
四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
18．（8分）如圖，已知AD，AE分別是△ABC的邊BC上的高和中線，若AB＝12cm，AC＝16cm，BC＝20cm，∠BAC＝90°．
（1）求AD的長(zhǎng)度；
（2）求△ABE的面積；
（3）求△ACE和△ABE的周長(zhǎng)之差．
19．（8分）如圖所示，E為線段AB上一點(diǎn)．△ACE≌△BED．
（1）試猜想線段CE與DE的位置關(guān)系滿足什么條件時(shí)，能保證AC⊥AB，并證明你的結(jié)論；
（2）猜想AC，AB，BD的數(shù)量關(guān)系．
20．（8分）如圖，∠BCD和∠BAD的角平分線交于點(diǎn)P．
（1）求證：∠PCB+∠P＝∠PAB+∠B；
（2）若∠B＝44°，∠D＝58°，求∠P的度數(shù)．
五、解答題（本大題共3小題，每小題9分，共18分）
21．（9分）李大爺準(zhǔn)備用一段長(zhǎng)60m的籬笆圍成一個(gè)三角形形狀的場(chǎng)地用于飼養(yǎng)雞，已知第一條邊長(zhǎng)為am，由于條件限制，第二條邊長(zhǎng)只能比第一條邊長(zhǎng)的2倍少3m．
（1）第二條邊長(zhǎng)為 m，第三條邊長(zhǎng)為 m（用含a的式子表示）；
（2）第一條邊長(zhǎng)能否為10m？為什么？
（3）求a的取值范圍．
22．（9分）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P，從點(diǎn)A出發(fā)，沿著三角形的邊AC→CB→BA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止，速度為3cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s．
（1）當(dāng)t＝ s時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)被線段AP平分為相等的兩部分；
（2）如圖1，當(dāng)t＝ s時(shí)，△APC的面積等于△ABC面積的一半；
（3）如圖2，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的邊上，若另外有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，與點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，沿著邊AB→BC→CA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止．在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，恰好△APQ≌△DEF，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．
23．（12分）解答題
【概念認(rèn)識(shí)】
如圖1，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，BD是“鄰AB三分線”，BE是“鄰BC三分線”．
【問(wèn)題解決】
（1）如圖1，∠ABC＝66°，BD，BE是∠ABC的“三分線”，則∠ABE＝ ；
（2）如圖2，在△ABC中，∠A＝62°，∠B＝45°，若∠B的“三分線”BD交AC于點(diǎn)D，則∠BDC＝ ；
（3）如圖3，在△ABC中，BP，CP分別是∠ABC的“鄰BC三分線”和∠ACB的“鄰BC三分線”，且∠BPC＝142°，求∠A的度數(shù)；
【延伸推廣】
（4）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的“三分線”所在的直線與∠ACD的“三分線”所在的直線交于點(diǎn)P．若∠A＝α，∠B＝β，直接寫出∠BPC的度數(shù)（用含α，β的代數(shù)式表示）．
2024-2025學(xué)年江西省南昌市南昌縣蓮塘四中八年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分.每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)）
1．【解答】解：如圖所示的圖形是全等圖形的是B，
故選：B．
2．【解答】解：A、∵2+4＝6，∴不能構(gòu)成三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、∵8+5＞11，∴能構(gòu)成三角形，故本選項(xiàng)符合題意；
C、∵5+8＜14，∴不能構(gòu)成三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、∵4+3＜9，∴不能構(gòu)成三角形，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
3．【解答】解：△ABC中AC邊上的高是線段BE．
故選：C．
4．【解答】解：由折疊的性質(zhì)得：∠A'ED＝∠AED，∠A'DE＝∠ADE，
∵∠1＝180°﹣∠A'ED﹣∠AED，∠2＝180°﹣∠A'DE﹣∠ADE，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AED+∠ADE），
又∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A＝78°，
∴∠A＝39°，
故選：A．
5．【解答】解：根據(jù)題意可得，E是BC的中點(diǎn)，
∴AE是△ABC的中線，
故選：C．
6．【解答】解：①∵△ADB≌△EDB，
∴∠ABD＝∠EBD，
∴BD是∠ABE的平分線，故①正確；
②∵△BDE≌△CDE，
∴BD＝CD，BE＝CE，
∴DE⊥BC，
∴∠BED＝90°，
∵△ADB≌△EDB，
∴∠A＝∠BED＝90°，
∴AB⊥AD，
∵A、D、C可能不在同一直線上
∴AB可能不垂直于AC，故②不正確；
③∵△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，
∴∠ABD＝∠EBD，∠EBD＝∠C，
∵∠A＝90°
若A、D、C不在同一直線上，則∠ABD+∠EBD+∠C≠90°，
∴∠C≠30°，故③不正確；
④∵△BDE≌△CDE，
∴BE＝CE，
∴線段DE是△BDC的中線，故④正確；
⑤∵△BDE≌△CDE，
∴BD＝CD，
若A、D、C不在同一直線上，則AD+CD＞AC，
∴AD+BD＞AC，故⑤不正確．
故選：A．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
7．【解答】解：膠州灣大橋是一座斜拉式大橋，斜拉式大橋多采用三角形結(jié)構(gòu)，使其不易變形，這種做法的依據(jù)是：三角形的穩(wěn)定性．
故答案為：三角形的穩(wěn)定性．
8．【解答】解：∵兩個(gè)三角形全等，
∴x＝4，y＝7，
∴x+y＝11，
故答案為：11．
9．【解答】解：∵n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共有6條對(duì)角線，
∴n邊形是9邊形，即n＝9，
∵從m邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的所有對(duì)角線把m邊形分成6個(gè)三角形，
∴m邊形是8邊形，即m＝8，
∵正t邊形的邊長(zhǎng)為7，周長(zhǎng)為49，
∴7t＝49，
∴t＝7，
∴（n﹣m）t＝（9﹣8）7＝1．
故答案為：1．
10．【解答】解：在△ABC中∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝35°，
在直角△ACD中，∠DAC＝90°﹣∠C＝60°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝25°，
故答案為：25°．
11．【解答】解：∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，
∴S△ABD＝2S△EBD，S△AFD＝2S△EFD，
∴S四邊形ABDF＝2S四邊形EBDF＝12，
∵D，F(xiàn)分別是邊BC，AC上的中點(diǎn)，
∴DF∥AB，DF＝AB，
∴△CDF∽△CBA，且相似比為1：2，
∴＝，即，
解得，S△CDF＝4，
∴△ABC的面積＝12+4＝16，
故答案為：16．
12．【解答】解：∵點(diǎn)P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，
∴有以下三種情況：
①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如圖1所示：
∴∠PDC＝180°﹣∠1，∠PEC＝180°﹣∠2，
∵∠C+∠PDC+∠PEC+∠DPE＝360°，∠C＝90°，
∴90°+180°﹣∠1+180°﹣∠2+∠α＝360°，
∴∠1+∠2﹣∠α＝90°；
②當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示：
∵∠PAD＝∠C+∠ABC＝90°+∠ABC，∠APE＝180°﹣∠2﹣∠ABC，
∴∠APD＝∠DPE+∠APE＝∠α+180°﹣∠2﹣∠ABC，
∵∠PAD+∠APD+∠PDA＝180°，
∴90°+∠ABC+∠α+180°﹣∠2﹣∠ABC+∠1＝180°，
∴∠2﹣∠1﹣∠α＝90°；
③當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3所示：
∵∠PBE＝∠C+∠BAC＝90°+∠BAC，∠BPD＝180°﹣∠1﹣∠BAC，
∴∠BPE＝∠DPE+∠BPD＝∠α+180°﹣∠1﹣∠BAC，
∵∠BPE+∠PEB+∠PBE＝180°，
∴∠α+180°﹣∠1﹣∠BAC+∠2+90°+∠BAC＝180°，
∴∠1﹣∠2﹣∠α＝90°，
綜上所述：∠α，∠1，∠2之間的關(guān)系為：∠1+∠2﹣∠α＝90°或∠2﹣∠1﹣∠α＝90°或∠1﹣∠2﹣∠α＝90°．
故答案為：∠1+∠2﹣∠α＝90°或∠2﹣∠1﹣∠α＝90°或∠1﹣∠2﹣∠α＝90°．
三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13．【解答】解：（1）∵△ABC≌△DCB，
∴BD＝AC＝10，
∵BE＝7，
∴DE＝BD﹣BE＝10﹣7＝3；
（2）設(shè)兩個(gè)多邊形的邊數(shù)分別是2x和5x，
則（2x﹣2）?180+（5x﹣2）?180＝1800，
解得x＝2，
則兩個(gè)多邊形的邊數(shù)分別為4和10．
14．【解答】解：①底邊長(zhǎng)為8cm，則腰長(zhǎng)為：（22﹣8）÷2＝7，所以另兩邊的長(zhǎng)為7cm，7cm，能構(gòu)成三角形；
②腰長(zhǎng)為8cm，則底邊長(zhǎng)為：22﹣8×2＝6，底邊長(zhǎng)為6cm，另一個(gè)腰長(zhǎng)為8cm，能構(gòu)成三角形．
因此另兩邊長(zhǎng)為7cm、7cm或8cm、6cm．
15．【解答】解：（1）如圖1中，延長(zhǎng)FD到T，∠BDT即為所求．
（2）如圖2中，延長(zhǎng)EF交AC的延長(zhǎng)線于H，線段EH即為所求．
16．【解答】解：（1）∵∠ACB＝48°，
∴∠ACD＝180°﹣48°＝132°，
∵∠B＝20°，
∴∠EAC＝∠B+∠ACB＝68°，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，
∴∠ACE＝66°，
∴∠E＝180°﹣68°﹣66°＝46°；
（2）∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠B+∠E，
∴∠ACE＝∠B+∠E，
∵∠BAC＝∠ACE+∠E，
∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．
17．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)BM，CN交于點(diǎn)A，
∵∠BMN＝∠ANM+∠A，∠CNM＝∠AMN+∠A，
∴∠A＝∠BMN+∠CNM﹣180°＝150°+110°﹣180°＝80°，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴，，
∵∠ACE＝∠ABC+∠A，∠DCE＝∠DBC+∠D，
∴，
即，
∴，
∴∠D＝40°．
四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
18．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD是邊BC上的高，
∴AB?AC＝BC?AD，
∴AD＝＝＝（cm），即AD的長(zhǎng)度為cm；
（2）如圖，∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝12cm，AC＝16cm，
∴S△ABC＝AB?AC＝×12×16＝96（cm2）．
又∵AE是邊BC的中線，
∴BE＝EC，
∴BE?AD＝EC?AD，即S△ABE＝S△AEC，
∴S△ABE＝S△ABC＝48（cm2）．
∴△ABE的面積是48cm2．
（3）∵AE為BC邊上的中線，
∴BE＝CE，
∴△ACE的周長(zhǎng)﹣△ABE的周長(zhǎng)＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝16﹣12＝4（cm），
即△ACE和△ABE的周長(zhǎng)的差是4cm．
19．【解答】解：（1）當(dāng)CE⊥DE時(shí)，AC⊥AB，
證明：∵CE⊥DE，
∴∠CED＝90°，
∴∠AEC+∠BED＝90°，
∵△ACE≌△BED，
∴∠ACE＝∠BED，
∴∠ACE+∠AEC＝90°，
∴∠A＝180°﹣（∠ACE+∠AEC）＝180°﹣90°＝90°，
即AC⊥AB，
所以當(dāng)CE⊥DE時(shí)，AC⊥AB；
（2）AB＝AC+BD，
理由是：∵△ACE≌△BED，
∴AC＝BE，BD＝AE，
∴AB＝BE+AE＝AC+BD．
20．【解答】（1）證明：∵∠PCB+∠P+∠PNC＝∠PAB+∠B+∠ANB＝180°，∠PNC＝∠ANB，
∴∠PCB+∠P＝∠PAB+∠B；
（2）解：由（1）的結(jié)論得到：∠D+∠MCD＝∠P+∠PAM，∠B+∠BAN＝∠P+∠PCN，
∴∠D+∠MCD+∠B+∠BAN＝∠P+∠PAM+∠P+∠PCN，
∵PC平分∠BCD，PA平分∠BAD，
∴∠MCD＝∠PCN，∠BAN＝∠PAM，
∴∠D+∠B＝2∠P，
∵B＝44°，∠D＝58°，
∴∠P＝（∠B+∠D）＝51°．
五、解答題（本大題共3小題，每小題9分，共18分）
21．【解答】解：（1）∵第二條邊長(zhǎng)為（2a﹣3）米，
∴第三條邊長(zhǎng)為60﹣a﹣（2a﹣3）＝（63﹣3a）米．
故答案為：（2a﹣3），（63﹣3a）；
（2）當(dāng)m＝10時(shí)，三邊長(zhǎng)分別為10，17，33，
由于10+17＜33，
所以不能構(gòu)成三角形，即第一條邊長(zhǎng)不能為10米．
（3）由題意，可得，
解得11＜m＜，
則m的取值范圍是：11＜m＜．
22．【解答】解：（1）①Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，
∴周長(zhǎng)為：9+12+15＝36（cm），
依據(jù)題意得：
3t＝×36，
解得：t＝6，
∴當(dāng)t＝6s時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)被線段AP平分為相等的兩部分，
故答案為：6；
②當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，如圖1.1，
若△APC的面積等于△ABC面積的一半；則CP＝BC＝cm，
此時(shí)，點(diǎn)P移動(dòng)的距離為AC+CP＝12+＝，
移動(dòng)的時(shí)間為：÷3＝秒，
當(dāng)點(diǎn)P在BA上時(shí)，如圖1.2，
若△APC的面積等于△ABC面積的一半；則PD＝AB，即點(diǎn)P為BA中點(diǎn)，
此時(shí)，點(diǎn)P移動(dòng)的距離為AC+CB+BP＝12+9+＝cm，
移動(dòng)的時(shí)間為：÷3＝秒，
故答案為：或；
（2）△APQ≌△DEF，即，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為A與D，P與E，Q與F；
當(dāng)點(diǎn)P在AC上，如圖2.1：
此時(shí)，AP＝4，AQ＝5，
∴點(diǎn)Q移動(dòng)的速度為5÷（4÷3）＝cm/s；
當(dāng)點(diǎn)P在AB上，如圖2.2：
此時(shí)，AP＝4，AQ＝5，
即點(diǎn)P移動(dòng)的距離為9+12+15﹣4＝32cm，點(diǎn)Q移動(dòng)的距離為9+12+15﹣5＝31cm，
∴點(diǎn)Q移動(dòng)的速度為31÷（32÷3）＝cm/s，
綜上所述，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，恰好△APQ≌△DEF，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s或cm/s．
23．【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分線”，
∴∠ABD＝∠DBE＝∠EBC＝ABC＝60°＝20°，
∴∠ABE＝∠ABD+∠DAE＝20°+20°＝40°，
故答案為：40°；
（2）如圖2，
當(dāng)BD是“鄰AB三分線”時(shí)，
∵∠A＝62°，∠ABC＝45°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝62°+×45°＝77°；
當(dāng)BD′是“鄰BC三分線”時(shí)，
∵∠A＝62°，∠B＝45°，
∴∠BDC′＝∠A+∠ABD′＝62°+×45°＝92°；
綜上所述，∠BDC＝77°或92°，
故答案為：77°或92°；
（3）∵∠BPC＝142°，
∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣142°＝38°，
∵BP、CP分別是∠ABC鄰BC三分線和∠ACB鄰BC三分線，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝38°，
∴∠ABC+∠ACB＝114°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣114°＝66°；
（4）分為四種情況：
情況一：如圖4﹣1，
當(dāng)BP和CP分別是“鄰AB三分線”、“鄰AC三分線”時(shí)，
由外角可得：∠PCD＝∠ACD＝（α+β），
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝（α+β）﹣β＝α；
情況二：如圖4﹣2，
當(dāng)BP和CP分別是“鄰BC三分線”、“鄰AC三分線”時(shí)，
由外角可知：∠PCD＝∠ACD＝（α+β），
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝（α+β）﹣β＝；
情況三：當(dāng)α＞β時(shí)，如圖4﹣3，
當(dāng)BP和CP分別是“鄰AB三分線”、“鄰CD三分線”時(shí)，
由外角可得：∠PCD＝ACD＝（α+β），
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝（α+β）﹣n°＝；
當(dāng)α＜β時(shí)，如圖4﹣4，
由外角及對(duì)頂角可得：∠DCE＝∠PCB＝∠ACD＝（α+β），
∴∠BPC＝∠FBC﹣∠PCB＝n°﹣（α+β）＝；
情況四：如圖4﹣5，
當(dāng)BP和CP分別是“鄰BC三分線”、“鄰CD三分線”時(shí)，
由外角可得：∠PCD＝ACD＝（α+β），
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝（α+β）﹣β＝α；
綜合上述：∠BPC的度數(shù)是α或或或或α．

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