1．若集合（i是虛數(shù)單位），，則（ ）
A．B．C．D．
2．若命題，，則命題的否定為（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知向量，其中，，且，則向量和的夾角是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，則（ ）
A．B．C．D．
5．白舍窯位于江西省南豐縣白舍鎮(zhèn)，是宋元時期“江西五大名窯”，其瓷器以白瓷最為聞名，素有“白如玉，薄如紙”的特點(diǎn)．如圖是白舍窯生產(chǎn)的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部為一個圓臺，下部實(shí)心且外形為圓柱．現(xiàn)測得底部直徑為6cm，上部直徑為12cm，茶杯側(cè)面與水平面的夾角為，則該茶杯容量（茶杯杯壁厚度忽略不計(jì)）約為（ ）（單位：）
A．B．C．D．
6．已知函數(shù)，則在點(diǎn)處的切線方程為（ ）
A．B．
C．D．
7．已知曲線，，其中．點(diǎn)，，是曲線與依次相鄰的三個交點(diǎn)．若是等腰直角三角形，則（ ）
A．B．C．D．
8．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則（ ）
A．2B．C．D．
二、多選題
9．下列說法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)據(jù)，，，，，，，的第80百分位數(shù)為10
B．若兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)的值越接近于1
C．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，越大，則隨機(jī)變量越集中
D．若隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，則
10．已知函數(shù)，是函數(shù)的一個極值點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
C．過點(diǎn)能作兩條不同直線與相切
D．函數(shù)恰有4個零點(diǎn)
11．如圖，有一組圓都內(nèi)切于點(diǎn)，圓，設(shè)直線與圓在第二象限的交點(diǎn)為，若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．圓的圓心都在直線上
B．圓的方程為
C．若，則圓與軸有交點(diǎn)
D．設(shè)直線與圓在第二象限的交點(diǎn)為，則
三、填空題
12．已知橢圓，過左焦點(diǎn)作直線與圓相切于點(diǎn)，與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，且，則橢圓的離心率為 ．
13．在等比數(shù)列中，，是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，若，則的值為 ．
14．設(shè)，，，，函數(shù)（e是自然對數(shù)的底數(shù)，）．從有序?qū)崝?shù)對中隨機(jī)抽取一對，使得恰有兩個零點(diǎn)的概率為 ．
四、解答題
15．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知．
(1)求角；
(2)若，，求的周長．
16．已知拋物線與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6．
(1)求拋物線的方程；
(2)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，證明：直線必過定點(diǎn)．
17．如圖，四面體中，是正三角形，是直角三角形，，．
(1)證明：平面平面；
(2)是邊上的點(diǎn)，且與平面所成角的正切值是，求的面積．
18．已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
(2)若，證明：；
(3)設(shè)，是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，證明：．
19．甲、乙、丙三人進(jìn)行傳球游戲，每次投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳球的方式，當(dāng)球在甲手中時，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則甲將球傳給乙，若點(diǎn)數(shù)不大于3，則甲將球保留，當(dāng)球在乙手中時，若骰子點(diǎn)數(shù)大于4，則乙將球傳給甲，若點(diǎn)數(shù)不大于4，則乙將球傳給丙，當(dāng)球在丙手中時，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點(diǎn)數(shù)不大于3，則丙將球傳給乙．初始時，球在甲手中．設(shè)投擲次后，球在乙手中的概率為．
(1)求和；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)；
(3)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，證明：．
參考答案
1．B
【詳解】，
所以，
故選：B
2．C
【詳解】命題的否定為: ，,
故選：C
3．A
【詳解】
解：由于，，且，
則，即有，
，
由于，，
則與的夾角為．
故選：A．
4．B
【詳解】因?yàn)椋?br>則，即，
所以，
則.
故選：B.
5．D
【詳解】圓臺的體積即為該茶杯容量，如圖，cm，cm，
過點(diǎn)分別作⊥，⊥于點(diǎn)，
則cm，cm，
其中圓臺的高為cm，
故圓臺體積為.
故選：D
6．A
【詳解】當(dāng)時，，
當(dāng)時，，則，
所以，，
則所求切線方程為，即.
故選：A
7．D
【詳解】
因?yàn)辄c(diǎn)，，是曲線與依次相鄰的三個交點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)為曲線與在軸上的交點(diǎn)，如圖所示，為的中點(diǎn)，連接,
易知，,與軸平行，所以
又因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以，所?br>又因?yàn)樵谇€上，所以，
又因?yàn)樗裕杭?br>所以.
故選：D
8．C
【詳解】由題設(shè)可得 (當(dāng)且僅當(dāng)時取等號),
即,由于，均為正實(shí)數(shù)，即，
設(shè)，
則當(dāng)時，在單調(diào)遞減，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，故當(dāng)，
故當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
因此，故，則，
故，解得,所以,
故選：C.
9．AD
【詳解】對于A，將數(shù)據(jù)，，，，，，，從小到大排列為，由于，故第80百分位數(shù)為第7個數(shù)10，A正確，
對于B，若兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，B錯誤，
對于C，正態(tài)分布，表示標(biāo)準(zhǔn)差，故越大，隨機(jī)變量越分散，C錯誤，
對于D，隨機(jī)變量，則,故隨機(jī)變量，則，D正確，
故選：AD
10．AB
【詳解】對于A中，由函數(shù)，可得，
因?yàn)?是函數(shù)的一個極值點(diǎn)，可得，
解得，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意，所以A正確；
對于B中，由，令，解得或，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，
故在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，所以B正確；
對于C中，設(shè)過點(diǎn)且與函數(shù)相切的切點(diǎn)為，
則該切線方程為，
由于切點(diǎn)滿足直線方程，則，
整理得，解得，所以只能作一條切線，所以C錯誤；
對于D中，令，則的根有三個，如圖所示，，
所以方程有3個不同根，方程和均有1個根，
故有5個零點(diǎn)，所以D錯誤．
故選：AB．

11．ABC
【詳解】圓的圓心，直線的方程為，即，
由兩圓內(nèi)切連心線必過切點(diǎn)，得圓的圓心都在直線上，即圓的圓心都在直線上，故A正確；
顯然，設(shè)點(diǎn)，則，而，
解得，因此圓的圓心，半徑為，
圓的方程為，
則圓的方程為，故B正確；
圓的圓心為，半徑，
圓心到軸的距離為，
由兩邊平方得，
，，而
所以當(dāng)時，圓與軸有交點(diǎn)，C選項(xiàng)正確.
在中，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，因此，故D錯誤．
故選：ABC
12．
【詳解】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，連接，如下圖所示：
由圓：可知圓心，半徑，
顯然，且，
因此可得，所以，可得，可得，又，
由余弦定理可得，解得，
再由橢圓的定義可得，即，
因此離心率.
故答案為：
13．16
【詳解】的定義域?yàn)椋?br>，
由題意得是方程的兩個不相等的正根，
故，解得，
由韋達(dá)定理得，故，
因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，
其中，故，
所以，解得，滿足要求.
故答案為：16
14．
【詳解】由題意，，，，，則有序?qū)崝?shù)對有81個.
由，得，
令，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且時，；當(dāng)時，，
所以，
要使有兩個零點(diǎn)，則，
即，得，即.
滿足該條件的有序?qū)崝?shù)對有：
對于，可以取，共7個；
對于，可以取，共4個；
對于，可以取，共1個；
所以所求事件的概率為.
故答案為：
15．(1)
(2)
【詳解】（1）在中，由正弦定理得，
又因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>所以，又因?yàn)椋?
（2）在中，由正弦定理，得，
因?yàn)椋裕?br>在中，，
由余弦定理得，即，
所以，所以，
所以，所以周長為.
16．(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，
雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的漸近線上，所以，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)在拋物線上，所以，所以，
故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消得，，
方程的判別式，即，
設(shè)，則，
設(shè)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，
則直線的方程為，
根據(jù)拋物線的對稱性可知定點(diǎn)必定在軸上，
令得：
．
直線過定點(diǎn)．
17．(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由題設(shè)得，從而.
又是直角三角形，所以.
取AC的中點(diǎn)O，連接DO、BO，則DO⊥AC，
又是正三角形，故.
則在直角中，，
又，所以，
故.
而,平面，
故平面，而平面，
所以平面⊥平面.
（2）設(shè)，與平面所成角為,
結(jié)合（1）結(jié)論，以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸，為軸，為軸，建立的空間直角坐標(biāo)系，
則，,
,
設(shè)平面的法向量，
則,則,令,則,
故,
由,則
故
則,解得
故,
則,
所以邊上的高為,
故.
18．(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【詳解】（1）由題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>在上恒成立，
所以在上恒成立，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以，即的取值范圍是,
（2）若，，所以，
令，解得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
令，，所以，
令，解得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以，又等號不同時成立，
所以.
（3）由題意可知，
因?yàn)橛袃蓚€極值點(diǎn)，，
所以，是方程的兩個不同的根，
則
所以
，
所以要證，即證，
即證，即證，即證.
令，則證明，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，則，即，
所以原不等式成立.
19．(1)
(2)
(3)證明見解析
【詳解】（1）當(dāng)投擲2次骰子后，球在乙手中，共有1種情況：甲甲乙，其概率為，故，
當(dāng)投擲3次骰子后，球在乙手中，共有3種情況：
①：甲乙甲乙，其概率為
②：甲乙丙乙，其概率為
③：甲甲甲乙，其概率為
所以投擲3次后，球在乙手中的概率為.
（2）由于投擲次骰子后球不在乙手中的概率為，此時無論球在甲手中還是球在丙手中，均有的概率傳給乙，故有．
變形為．
又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．
所以．
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（3）,故，
故，
所以，故，
記，其前項(xiàng)和為，
所以，
故，
相減可得，
故，
故，
故，

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