填空題
13． 14．
部分選擇填空題詳細過程
6．B
【詳解】由題意知要將4個相鄰的小島A，B，C，D連接起來，
共有個位置可以建設(shè)橋梁，從這6個位置中選3個建設(shè)橋梁，共有種選法，
但選出的3個位置可能是僅連接或或或三個小島，不合題意，
故要建3座橋梁，將這4個小島連接起來，共有（種）不同的方案.故選B.
7．D
【詳解】因為，
所以
.故選：D.
8．C
【詳解】設(shè)，，延長ON交于A，如圖所示.
由題意知，O為的中點，∴點A為中點.
又，點N在的平分線上，
∴，∴是等腰三角形，
∴，
則，所以.
又，所以.
又在中，由余弦定理得，
即，即，
化簡得：.又，所以，所以，即
故選：C.
10．ABD
【詳解】對A：如圖：
取中點，中點，連接，，，，
易證平面平面.
因為平面，所以點軌跡為線段，且.故A正確.
對B：設(shè)點C關(guān)于平面對稱的點為M,
所以B正確。
對C：如圖：
因為，且，，所以不存在滿足，故C錯誤；
對D：如圖：
連接，取其中點，連接.
因為是棱的中點，則.所以為外接圓圓心.
過作平面的垂線，則三棱錐外接球的球心一定在該垂線上.
連接，設(shè)，則，
連接，，所以，
所以，解得，所以，
所以三棱錐外接球的表面積為：，故D正確.
故選：ABD
11．ACD
【詳解】如圖：

對A：由，所以函數(shù)的反函數(shù)為，所以關(guān)于直線對稱，故A正確；
對B：有.
設(shè)，則，
由，由.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
且，，所以存在，使得，另.
所以上兩點，，，所以.
所以的弦長最大值小于32.故B錯誤；
對C：因為直線與直線垂直，設(shè)曲線的切線為，
由，所以切點為，所以切線方程為.
直線與的距離為.
所以直線被截得弦長的最大值為即.故C正確；
對D：由，所以B中.
過點做的切線，再做該切線關(guān)于對稱的直線，過，做切線的垂線，與兩切線分別交于，如圖所示，構(gòu)成矩形，該矩形將圖形包含在內(nèi)，所以的面積小于矩形的面積.
又，，
所以矩形的面積為.所以D正確.
故選：ACD
13．
【詳解】過分別作軸的垂線，垂足分別為，過分別作軸、軸的垂線相交于點，

連接，則，
由余弦定理得，
由上可知，軸垂直于，又平面，
所以軸垂直于平面，又軸，所以平面，
因為平面，所以，
因為的周期，所以，
由勾股定理得，解得，
由圖知，的圖象過點，且在遞減區(qū)間內(nèi)，
所以，即
因為，點在遞減區(qū)間內(nèi)，所以.
14．【詳解】當時，由，可得對任意的恒成立，
即對任意的恒成立，此時不存在；
當時，由對任意的恒成立，
作出的大致圖象，如圖所示：
由題意可知，又是整數(shù)，
所以或或.
故答案為：
解答題
15.【詳解】（1）列聯(lián)表數(shù)據(jù)如下：
……3分
……5分
∴有的把握認為學業(yè)成績優(yōu)秀與日均作業(yè)時長
不小于2小時且小于3小時有關(guān)． ……6分
已知，則
由已知得,所以 ……8分
而則 ……10分
由得 ……12分
所以 ……13分
16.【詳解】（1）因為，
則，
可得， ……4分
且，則，可得，即，
又因為，所以. ……7分
（2）因為，由（1）可知：，
設(shè)，則.
在Rt中，可得，即， ……8分
在中，由正弦定理得，
可得， ……10分
又因為，即， ……13分
可得，解得，所以的值為. ……15分
（注：其他解法酌情給分。如用幾何法也行）
17．【詳解】（1）因為，，
所以，，，
又因為，所以，
在中，由余弦定理得，所以，
因為，所以， ……2分
又因為四邊形為矩形，所以， ……4分
因為，所以平面， ……6分
因為，所以平面. ……7分
取中點中點N，以M為原點，以方向為x軸，
以方向為y軸，以方向為z軸，建立如圖所示的坐標系

又，則
所以，則
，． ……9分
假設(shè)平面的一個法向量為，則
，令，則，所以， ……11分
假設(shè)平面的一個法向量為，則
，令則，所以 ……13分
假設(shè)平面與平面所成的角為，則，
即平面與平面所成角的余弦值為 ……15分
18．【詳解】（1）當時，，則，
則曲線在點處的切線斜率為，
又，所以曲線在點處的切線方程為． ……4分
（2），由題意得，恒成立．
令，則，且在單調(diào)遞增，
令，解得，
所以當時，，故單調(diào)遞減；
當時，，故單調(diào)遞增；
所以，
又，當且僅當，故． ……10分
（3）解法一：因為，所以題意等價于當時，．
即，
整理，得，
因為，所以，故題意等價于．
設(shè)，
的導函數(shù)，
化簡得，
考察函數(shù)，其導函數(shù)為，
當單調(diào)遞減；當單調(diào)遞增；
故在時，取到最小值，即，
即，所以，
所以當單調(diào)遞減；當單調(diào)遞增；
所以的最小值為，故． ……17分
19．【詳解】（1）由題可得，則，，，
故點Q處的切線方程為
即． ……3分
（2）①
則由（1）可知直線AB為，直線AC為，
由A在AB上，同時A在AC，
可知直線BC的方程為， …… 6分
，
又由（1）可知直線的斜率為，又，
，即，則直線AM為，E點橫坐標為， ……8分
又在BC上，，，
即A、M、E三點的縱坐標成等差數(shù)列． ……10分
②由①可知A、M、E三點的縱坐標成等差數(shù)列，則，
又，則，可得，且相似比為，
故， ……12分
同理可得
如圖連接BM，CM，因，又，
則與在底邊BC與底邊對應(yīng)的高相同，
又，則，則，
則，
即第二次所做的“外切三角形”的面積之和是第一次所做“外切三角形”的面積的，
同理每一次所做“外切三角形”面積之和都是上一次“外切三角形”面積之和的 ……14分題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
D
C
B
A
B
D
C
AC
ABD
ACD
時長
其他
總計
優(yōu)秀
不優(yōu)秀
總計

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