考生注意：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。
2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚。
3.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。
4.本卷命題范圍：高考范圍。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
A．B．C．D．
2.已知，，為非零的平面向量，則“”是“”的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3.下圖是我國2018～2023年純電動(dòng)汽車銷量統(tǒng)計(jì)情況，下列說法錯(cuò)誤的是
A．我國純電動(dòng)汽車銷量呈現(xiàn)逐年增長趨勢B．這六年銷量的第60百分位數(shù)為536.5萬輛
C．這六年增長率最大的為2019年至2020年D．2020年銷量高于這六年銷量的平均值
4.直線l過拋物線C：（）的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，若使的直線l恰有2條，則p的取值范圍為
A．B．C．D．
5.已知等差數(shù)列與等比數(shù)列的首項(xiàng)均為，且，則數(shù)列
A．既有最大項(xiàng)又有最小項(xiàng)B．只有最大項(xiàng)沒有最小項(xiàng)
C．只有最小項(xiàng)沒有最大項(xiàng)D．沒有最大項(xiàng)也沒有最小項(xiàng)
6.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方程對應(yīng)的曲線為橢圓，則該橢圓的離心率為
A．B．C．D．
7.已知定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
A．，B．，
C．，D．，
8.在△ABC中，若，則的取值范圍為
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9.已知復(fù)數(shù)，，下列結(jié)論正確的有
A．若，則或
B．若，則
C．若，則
D．若，則的最大值為
10.設(shè)函數(shù)（）在處的切線與直線平行，則
A．B．函數(shù)存在極大值，不存在極小值
C．當(dāng)時(shí)，D．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)
11.如圖，在棱長都是4的直四棱柱中，，點(diǎn)P在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足，則
A．點(diǎn)P的軌跡的長度為B．直線AP與平面所成的角為定值
C．點(diǎn)P到平面的距離的最小值為D．的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.的展開式中的系數(shù)為 .
13.已知函數(shù)（，）的圖象在y軸上的截距為，在y軸右側(cè)的第一個(gè)零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，若方程恰有三個(gè)不同的根，分別記為，，，則零點(diǎn)為的取值范圍為 .
14.法國數(shù)學(xué)家盧卡斯在研究一元二次方程的兩個(gè)根，?不同冪的和時(shí)，發(fā)現(xiàn)了，，…，由此推算 .
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.（本小題滿分13分）
如圖所示的五面體為直三棱柱截去一個(gè)三棱錐后的幾何體，，，D為的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn).
（1）判斷BF和CE是否垂直，并說明理由；
（2）設(shè)（），是否存在，使得平面ABC與平面PBF夾角的余弦值為？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.
16.（本小題滿分15分）
將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次，所得的向上的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，設(shè)表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，的值為隨機(jī)變量X.
（1）求在的條件下，方的概率；
（2）求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
17.（本小題滿分15分）
設(shè)函數(shù)，其中.
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
18.（本小題滿分17分）
已知，，M是圓O：上任意一點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)M的對稱點(diǎn)為N，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)T，記點(diǎn)T的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)（）為曲線C上一點(diǎn)，不與x軸垂直的直線l與曲線C交于G，H兩點(diǎn)（異于E點(diǎn)）.若直線GE，HE的斜率之積為2，求證：直線l過定點(diǎn).
19.（本小題滿分17分）
隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代來臨，數(shù)據(jù)傳輸安全問題引起了人們的高度關(guān)注，國際上常用的數(shù)據(jù)加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密鑰長度也不同，其中RSA的密鑰長度較長，用于傳輸敏感數(shù)據(jù).在密碼學(xué)領(lǐng)域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應(yīng)用就是在RSA加密算法中的應(yīng)用.設(shè)p，q是兩個(gè)正整數(shù)，若p，q的最大公約數(shù)是1，則稱p，q互素.對于任意正整數(shù)n，歐拉函數(shù)是不超過n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，記為.
（1）試求，的值；
（2）設(shè)p，q是兩個(gè)不同的素?cái)?shù)，試用p，k表示（），并探究與和的關(guān)系；
（3）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為（），求該數(shù)列的前m項(xiàng)的和.
江西省重點(diǎn)中學(xué)盟校2024屆高三第二次聯(lián)考·數(shù)學(xué)
參考答案、提示及評分細(xì)則
1.A
由得，所以，因?yàn)?，所以對恒成立，所?故選A．
2.B
若，則，在方向上的投影向量相等，但與不一定相等；若，則，所以“”是“”的必要不充分條件.故選B
3.D
A顯然正確；對于B，因?yàn)?，所以銷量的第60百分位數(shù)為536.5，故B正確；對于C，因?yàn)?019年至2020年的增長率為，超過其他年份的增長率，故C正確；對于D，這六年銷量的平均數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選D．
4.A
當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)，所以.故選A．
5.A
設(shè)的公差為d，的公比為q，則，；，，所以，，，當(dāng)時(shí)，顯然奇數(shù)項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)都是正數(shù).設(shè)（），則.當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，即數(shù)列從到遞增，從往后遞減，又，，，所以中，最大，又，，所以是最小項(xiàng).故選A．
6.C
易得該橢圓的對稱中心為，且關(guān)于直線對稱，將代入方程，解得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為，，將代入方程，解得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為，，所以該橢圓的長半軸長，短半軸長，所以半焦距，所以其離心率為.故選C．
7.D
因?yàn)?，所以為奇函?shù)；又因?yàn)?，所以關(guān)于直線對稱；由知的一個(gè)周期為4.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象可知，若，則，，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍是，.故選D．
8.B
由得，所以，又，所以B，C均為銳角，即，..因?yàn)?，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，，.故選B．
9.ABD
對于A，因?yàn)椋曰?，即或，故A正確；對于B，因?yàn)?，所以，即，則或，所以或，所以，故B正確；對于C，設(shè)，，a，b，c，，所以，，因?yàn)椋?，則，整理得.所以不一定為0，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)?，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在圓上，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在圓上，因?yàn)閮蓤A的圓心距為，所以的最大值為，故D正確.故選ABD．
10.AC
對于A，，故，解得，故A正確；對于B．因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，不存在極值，故B錯(cuò)誤；對于C，令（），則，由，故，故在上單調(diào)遞減，所以.即當(dāng)時(shí)，，故C正確；對于D，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又，在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象，如圖所示，所以函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選AC．
11.BC
易得，設(shè)，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，過O垂直于底面的直線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，.點(diǎn)P在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，，由，得，即（，），所以點(diǎn)P的軌跡為yOz平面內(nèi)，以O(shè)為圓心，2為半徑的半圓弧，所以點(diǎn)P的軌跡的長度為，故A錯(cuò)誤；平面的法向量為，，設(shè)直線AP與平面所成的角為，則，又，則，所以直線AP與平面，所成的角為定值，故B正確；，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，，，所以點(diǎn)P到平面的距離，，所以時(shí)，所以點(diǎn)P到平面的距離的最小值為，故C正確；，，，其幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方減12，由，點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為，的最小值為，故D錯(cuò)誤.故選BC．
12.120
由于，所以的展開式中含的項(xiàng)為，其系數(shù)為120.
13.
將代入得到，又，所以，令，解得，所以.令，由可得：，依題可知方程在時(shí)恰有三個(gè)不同的根，記為，，，則（，2，3），畫出與在上的圖象.由圖象易知，關(guān)于直線對稱，則，又由圖知，則，又，即，解得.
14.123
因?yàn)?，，，，所以，所以，所?
15.解：
（1）BF和CE不垂直，理由如下：
以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
所以，，，，
因?yàn)椋?br>所以BF和CE不垂直.
（2）假設(shè)存在使得平面ABC與平面PBF夾角的余弦值為，因?yàn)椋裕?br>顯然平面ABC的一個(gè)法向量為，
，設(shè)平面PBF的法向量為，
則，
即，
取，得.
設(shè)平面ABC與平面PBF的夾角為，
則，
解得或（舍去），
所以存在實(shí)數(shù)，使得平面ABC與平面PBF夾角的余弦值為.
16.解：
（1）記拋擲骰子的樣本點(diǎn)為，則樣本空間為，樣本空間容量為36，
設(shè)事件A為：，事件B為：，
則，且其包含的樣本點(diǎn)數(shù)為21，
而，其包含的樣本點(diǎn)數(shù)為14，
根據(jù)條件概率得.
（2）隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，4，5，6，
，，，
，，，，
所以其分布列為：
所以數(shù)學(xué)期望
17.解：
（1），，
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，則，
所以時(shí)，；時(shí)，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）不等式化簡得，
設(shè)，，
則，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以在上，，且，
當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，不合題意，舍去.
當(dāng)，即時(shí)，
若且，即，，使得，當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞減，，不符合題意，舍去，
若且，即，，使得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，
所以恒成立，符合題意；
若且，即，恒成立，
在上單調(diào)遞增，則，符合題意.
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
18.
（1）解：連接OM，
由題意可得，且M為的中點(diǎn)，又O為的中點(diǎn)，
所以，且|.
因?yàn)榫€段的中垂線與直線相交于點(diǎn)T，
所以，
所以，
由雙曲線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)T的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線.
設(shè)其方程為（，），則，，，
故曲線C的方程為.
（2）證明：由（1）知
依題意直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為，，，
由，得，
，由，得，
所以，.
則
，
整理得，
即，
解得或，
當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，
直線l過定點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，
直線l過定點(diǎn)，不合題意，舍去.
綜上所述，直線l過定點(diǎn).
19.解：
（1）易得，
不超過9且與9互素的正整數(shù)有1，2，4，5，7，8，則，
不超過7且與7互素的正整數(shù)有1，2，3，4，5，6，則，
不超過21且與21互素的正整數(shù)有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，則，
所以，.
（2）在不大于的正整數(shù)中，只有p的倍數(shù)不與互素，而p的倍數(shù)有個(gè)，
因此.
由p，q是兩個(gè)不同的素?cái)?shù)，得，，
在不超過的正整數(shù)中，p的倍數(shù)有個(gè)，q的倍數(shù)有個(gè)，
于是，
所以.
（3）根據(jù)（2）得，
所以，
，
兩式相減，得，
所以，
故.
X
0
1
2
3
4
5
6
P

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