2025年高考數(shù)學高考數(shù)學二輪題型必刷(新高考通用)大題仿真卷02(最新模擬速遞)(學生版+解析)-試卷下載-教習網(wǎng)

（模式：5題滿分：77分限時：70分鐘）
一、解答題
1．（2024·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·二模）已知為數(shù)列的前項和，若.
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)令，若，求滿足條件的最大整數(shù).
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用與的關(guān)系式可得，即，即可得證.
（2）由（1）可得，則，設(shè)，根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式可得，令，結(jié)合，即可求解.
【詳解】（1）證明：由可得，
當時，，解得，
當時，，即，
則
，即，
即，即，
又，
所以數(shù)列是首項為6，公比為2的等比數(shù)列.
（2）由（1）得，則，
設(shè)，
則
令，得，
即，即，
又，，，
所以滿足條件的最大整數(shù)為為5.
2．（2024·陜西寶雞·模擬預測）統(tǒng)計顯示，我國在線直播生活購物用戶規(guī)模近幾年保持高速增長態(tài)勢，下表為年—年我國在線直播生活購物用戶規(guī)模（單位：億人），其中年—年對應的代碼依次為—.
，，，其中
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)、、、，其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.
(1)由上表數(shù)據(jù)可知，若用函數(shù)模型擬合與的關(guān)系，請估計年我國在線直播生活購物用戶的規(guī)模（結(jié)果精確到）；
(2)已知我國在線直播生活購物用戶選擇在品牌官方直播間購物的概率，現(xiàn)從我國在線直播購物用戶中隨機抽取人，記這人中選擇在品牌官方直播間購物的人數(shù)為，若，求的數(shù)學期望和方差.
【答案】(1)億人
(2)，
【分析】（1）將題中數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，求出的值，即可得出與的擬合函數(shù)關(guān)系式，再將代入函數(shù)關(guān)系式，即可得出結(jié)論；
（2）由題意可知，，由結(jié)合獨立重復試驗的概率公式可求得的值，然后利用二項分布的期望和方差公式可求得結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)，則，
因為，，，
所以，，
所以，與的擬合函數(shù)關(guān)系式為
當時，，
則估計年我國在線直播生活購物用戶的規(guī)模為億人.
（2）由題意知，所以，，
，
由，可得，
因為，解得，
所以，，.
3．（24-25高三上·貴州·階段練習）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，底面為等邊三角形，平面平面，點滿足，點為棱上的動點（含端點）．
(1)當與重合時，證明：平面平面；
(2)是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【分析】（1）取中點，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明平面，證明，可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；
（2）連接，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.
【詳解】（1）如圖，取中點，連接，
因為側(cè)面為菱形，，
所以，
又因為平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又因為為的中點，所以四邊形為平行四邊形，所以，
所以平面，又平面，所以平面平面；

（2）連接，因為為等邊三角形，則，
所以兩兩垂直，則以為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示：
令三棱柱的棱長為2，所以，
故，
，
又，所以，
設(shè)，，
則，
即；
又，
設(shè)平面的法向量為，
則則，取，則，
故平面的法向量可為，
又，設(shè)直線與平面所成角為，
由題可得，即，
整理得：，解得，
故當時，直線與平面所成角的正弦值為．
4．（2024·廣東·模擬預測）已知橢圓的焦點為，為橢圓上一點且的周長為.
(1)求橢圓的方程.
(2)若直線過點交橢圓于兩點，且線段的垂直平分線與軸的交點
（i）求直線的方程；
（ii）已知點，求的面積.
【答案】(1)
(2)（i）或；（ii）
【分析】（1）根據(jù)條件列方程，求出，即可得答案；
（2）（i）判斷直線斜率存在，聯(lián)立橢圓方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，結(jié)合題意可得，化簡即可求得答案；（ii）利用弦長公式求出，再求出Q到直線AB的距離，即可求得答案.
【詳解】（1）根據(jù)題意有，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）（i）若直線的斜率不存在，其垂直平分線與軸重合，不符合題意；
不妨設(shè)直線的方程為的中點為，
設(shè)，
與橢圓方程聯(lián)立有，整理得，
直線過橢圓焦點，必有，則，
所以，
由題意知，即，解得，
即，整理得直線的方程為或
（ii）由弦長公式可知
，
由直線的對稱性，知點到兩條直線的距離相同，即，
所以的面積為.
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達定理求解.
5．（2024·重慶·模擬預測）已知函數(shù).
(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求的取值范圍；
(3)若有三個極值點，求的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
(3)且
【分析】（1）求導后構(gòu)造函數(shù)，再次求導分析單調(diào)性，得到，然后再分析的單調(diào)性即可；
（2）分和時討論，當時分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求導分析單調(diào)性即可；
（3）求導后將問題轉(zhuǎn)化為有三個變號零點，當時分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，求導分析單調(diào)性和極值即可；
【詳解】（1）當時，，，
令，則，
令，
所以當時，，為減函數(shù)；
當時，，為增函數(shù)，
所以，即，
所以當時，，為減函數(shù)；當x∈0,+∞時，，為增函數(shù)；
綜上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）因為gx>0，即恒成立，
當時，顯然成立；
當時，分離參數(shù)，即恒成立，
令，則，
令，可得，
所以當時，，為增函數(shù)；時，，為減函數(shù)；當x∈2,+∞時，，為增函數(shù)，
當時，；當時，；當時，；當時，，
畫出其大致圖像
所以.
（3），
，
因為有三個極值點，所以有三個變號零點，
即有三個變號零點，
容易得到是方程的一個根，不是方程的根，
當時，分離變量，，
令，則，
令，
所以當時，，單調(diào)遞減；當x∈0,1時，，單調(diào)遞減；當x∈1,+∞時，，單調(diào)遞增；
畫出其大致圖像為
極小值，
因為已經(jīng)是方程的一個根，
所以要使與有兩個交點，即且.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二小問的關(guān)鍵是能夠分離參數(shù)后求導分析單調(diào)性，利用數(shù)形結(jié)合求解；第三小問的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為有三個變號零點，再當時，分離變量構(gòu)造函數(shù)分析單調(diào)性和極值，再數(shù)形結(jié)合求解.
（模式：3題滿分：45分限時：40分鐘）
6．（2024·四川內(nèi)江·一模）在中，，，分別為內(nèi)角所對的邊，且滿足．
(1)求；
(2)若，求周長的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理邊化角，再結(jié)合三角恒等變換運算求解即可；
（2）利用余弦定理可得，再結(jié)合不等式可得，即可得結(jié)果.
【詳解】（1）因為，
由正弦定理可得，
且，即，
又因為，則，
可得，即，所以.
（2）由余弦定理可得：，
即，可得，
又因為，可得，即，
當且僅當時，等號成立，
所以周長的最大值為.
7．（2024·福建福州·三模）已知某種機器的電源電壓U（單位：V）服從正態(tài)分布．其電壓通常有3種狀態(tài)：①不超過200V；②在200V~240V之間③超過240V．在上述三種狀態(tài)下，該機器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率分別為0.15，0.05，0.2．
(1)求該機器生產(chǎn)的零件為不合格品時，電壓不超過200V的概率；
(2)從該機器生產(chǎn)的零件中隨機抽取n（）件，記其中恰有2件不合格品的概率為，求取得最大值時n的值．
附：若，取，．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）記電壓“不超過200V”、“在200V~240V之間”、“超過240V”分別為事件A，B，C，“該機器生產(chǎn)的零件為不合格品”為事件D，得到，分別求得，結(jié)合條件概率和全概率的公式，即可求解.
（2）設(shè)不合格品件數(shù)為，得到，求得，結(jié)合，求得的范圍，即可求解.
【詳解】（1）解：記電壓“不超過200V”、“在200V~240V之間”、“超過240V”分別為事件A，B，C，“該機器生產(chǎn)的零件為不合格品”為事件D，
因為，所以，
，
．
所以
，
則
所以該機器生產(chǎn)的零件為不合格品時，電壓不超過200V的概率為．
（2）解：從該機器生產(chǎn)的零件中隨機抽取n件，設(shè)不合格品件數(shù)為，則，
所以，
由，解得．
所以當時，；當時，；
所以最大，因此當時最大．
8．（2024·河南·模擬預測）如圖，已知圓錐的底面圓周上有三點，為底面圓的直徑，且為的中點．
(1)證明：平面平面；
(2)若，求二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【分析】（1）利用圓錐性質(zhì)以及圓的性質(zhì)，由面面垂直判定定理即可得出結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標系求出兩平面的法向量，再由空間向量夾角的計算公式可得結(jié)果.
【詳解】（1）根據(jù)圓錐性質(zhì)可得平面，平面，
可得，
又為的中點，利用圓的性質(zhì)可得，
因為平面，
可得平面，又平面，
所以平面平面.
（2）取的中點為，連接，
又為底面圓的直徑，且為的中點，
可知，且為等邊三角形，
因此可得兩兩垂直，
以為坐標原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：
由可知；
所以
因此，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，令，可得;
即；
設(shè)平面的一個法向量為，
則，解得，令，可得;
即；
易知，
所以二面角的正弦值為.
（模式：2題滿分：34分限時：30分鐘）
9．（2024·湖北·一模）如圖，已知拋物線，過點作斜率為的直線，分別交拋物線于與，當時，為的中點.
(1)求拋物線的方程；
(2)若，證明：；
(3)若直線過點，證明：直線過定點，并求出該定點坐標.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析，
【分析】（1）先求直線再聯(lián)立拋物線得出韋達定理應用中點坐標得出,進而得出拋物線；
（2）先設(shè)直線方程代入拋物線聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，應用，即可得到結(jié)論.
（3）先設(shè)直線過點P得出,同理結(jié)合理過點Q得出,最后得出BM的直線得出定點.
【詳解】（1）當時，，
聯(lián)立消去，
可得，
設(shè)，
拋物線C方程為：.
（2）由題知，設(shè)，
，代入拋物線可得，
，
又，
同理.
（3）因為，
所以，代入點得①，
設(shè)，同理，
過點②
，
結(jié)合①②可得
又因為
所以，整理得
所以直線過定點.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題定點的關(guān)鍵是先點斜式設(shè)出AB直線方程結(jié)合拋物線方程得出直線,同理得出BM的直線方程進而得出定點.
10．（2024·山西呂梁·二模）已知雙曲線，點在上.按如下方式構(gòu)造點：過點作斜率為1的直線與的左支交于點，點關(guān)于軸的對稱點為，記點的坐標為.
(1)求點的坐標；
(2)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(3)為坐標原點，分別為線段的中點，記的面積分別為.判斷是否為定值，如果是定值，求的值；如果不是，說明理由.
【答案】(1)
(2)證明見解析；
(3)是，
【分析】（1）由已知條件可求得的值，求出直線的方程和，與雙曲線方程聯(lián)立可求得，即可求得，再借助直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立，求得，即可求得；
（2）聯(lián)立與雙曲線方程，結(jié)合韋達定理可得，結(jié)合代入可得，利用等比數(shù)列定義即可證；
（3）由，結(jié)合，可得與，利用面積公式分別計算出與，即可得到答案.
【詳解】（1）
由題知，所以雙曲線，
又過點，斜率為1的直線方程為，
由雙曲線與直線的對稱性可知，所以，
又過，且斜率為1的直線方程為，即，
由，解得或，
當時，，
所以，所以；
綜上：
（2）設(shè)，
則過，且斜率為1的直線方程為，
聯(lián)立，消得到，
由題有，得到，
由題知點在直線上，
即有，
所以，所以，所以，
由（1）知，所以數(shù)列為1為首項，3的公比的等比數(shù)列；
（3）由（2）知，得到，
由，即，
即，
則，
，
故，
故
，
即，則，
所以：
年份代碼
市場規(guī)模

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