（模式：5題 滿分：77分 限時：70分鐘）
一、解答題
1．（23-24高三下·遼寧·期末）如圖所示，，，為山腳兩側(cè)共線的三點，在山頂處測得三點的俯角分別為，，．計劃沿直線開通穿山隧道，請根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，計算：
(1)的長度
(2)隧道的長度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由求出，從而可求出，然后在中利用正弦定理可求出；
（2）在中利用正弦定理求出，從而可求出.
【詳解】（1）因為，為銳角，所以，
所以
，
在中，，
所以由正弦定理得，
所以；
（2）因為，
在中，，
所以由正弦定理得，
則，
所以，
所以隧道的長度為.
2．（2024·廣東肇慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)求的極值；
(2)對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)極小值，無極大值
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，分類討論確定函數(shù)單調(diào)性即可求解.
（2）將不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求解最值求解,或者第一問函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的最值分類討論求解.
【詳解】（1）的定義域為.
當(dāng)時，f′x>0恒成立，此時單調(diào)遞增，無極值；
當(dāng)時，令，得.
故當(dāng)時，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
此時在處取到極小值，無極大值.
（2）方法一：對任意時，恒成立，即恒成立.
令，則.
令，則，
即?x在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，又，
所以當(dāng)時，?x>0，即，此時單調(diào)遞增；
當(dāng)時，?x

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