第Ⅰ卷
選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）
1．2025的相反數(shù)是（ ）
A．B．2025C．D．
1．C
【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的相反數(shù)，只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：2025的相反數(shù)是，
故選：C．
2．保護環(huán)境，人人有責．下列四個圖形是生活中常見的垃圾回收標志，屬于中心對稱圖形的是（ ）
A．廚余垃圾 B．可回收物 C．其他垃圾 D．有害垃圾
2．D
【分析】本題考查了中心對稱圖形的識別，熟練掌握中心對稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形稱為中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，中心對稱圖形是一種特殊的旋轉(zhuǎn)對稱圖形，常見的中心對稱圖形有：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、圓、線段、相交直線等．根據(jù)中心對稱圖形的概念逐項分析判斷即可得出答案．
【詳解】
解：A. 廚余垃圾，不是中心對稱圖形，故選項不符合題意；
B. 可回收物，不是中心對稱圖形，故選項不符合題意；
C. 其他垃圾，不是中心對稱圖形，故選項不符合題意；
D. 有害垃圾，是中心對稱圖形，故選項符合題意；
故選：．
3．截止目前，電影《哪吒之魔童鬧每》以111.7億元票房領(lǐng)跑2025年春節(jié)檔電影票房，其中數(shù)據(jù)111.7億用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A． B． C． D．
3．D
【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．
【詳解】解：數(shù)據(jù)111.7億用科學(xué)記數(shù)法表示為．
故選：D．
4．下列運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．B
【分析】本題主要考查同底數(shù)冪的乘除法，冪的乘方，合并同類項，掌握整式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．
同底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變，指數(shù)相加；同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變，指數(shù)相減；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；合并同類項，底數(shù)相同，指數(shù)也相同，合并同類項時，字母及指數(shù)不變，系數(shù)相加或相減，由此即可求解．
【詳解】解：A、，故此選項不符合題意；
B、，故此選項符合題意；
C、，故此選項不符合題意；
D、與不是同類項，不能合并，故此選項不符合題意；
故選：B．
5．把一塊含有角的三角尺與兩條長邊平行的直尺按如圖所示方式放置（直角頂點在直尺的一條邊上）．若，則（ ）
A．B．C．D．
5．C
【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)三角板的性質(zhì)得到，由直尺得到，則，在中，由三角形內(nèi)角和定理得到，由此即可求解．
【詳解】解：如圖所示，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故選：C ．
6．在一個不透明的盒子中裝有紅球和白球共50個，這些球除顏色外都相同．現(xiàn)從中隨機摸出一個球，記下顏色后放回，搖勻再從中隨機摸出一個球…，通過大量重復(fù)試驗后發(fā)現(xiàn)摸出白球的頻率逐漸穩(wěn)定在0.4，則盒子中白球的個數(shù)最有可能是（ ）
A．10B．20C．30D．40
6．B
【分析】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．利用頻率估計概率可估計摸到白球的概率，然后求出這個口袋中白球的個數(shù)．
【詳解】解：利用頻率估計概率可得，摸到白球的概率為0.4，
則這個口袋中白球的個數(shù)最有可能是：（個）．
故選：B．
7．不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A． B． C． D．
7．D
【分析】本題主要考查了解不等式并把解集在數(shù)軸上表示，熟練的掌握不等式的性質(zhì)，會求不等式的解集，是解題的關(guān)鍵．注意：“”在數(shù)軸上是空心小圓圈，“”在數(shù)軸上是實心小圓點．
根據(jù)不等式的性質(zhì)，求出不等式的解集，進而判定在數(shù)軸上表示正確選項即可．
【詳解】解：∵
∴．
在數(shù)軸上表示D選項是正確的．
故選：D．
8．若分式的值為0，則（ ）
A．B．C．D．或－2
8．C
【分析】此題主要考查了分式的值為零的條件，熟練掌握分式的值為零的條件是解題的關(guān)鍵；
根據(jù)分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零得且即可解答．
【詳解】解：由題意得：且，
解得：，
故選C．
9．二元一次方程組的解是（ ）
A．B．C．D．
9．B
【分析】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法并靈活運用是解答的關(guān)鍵．利用用加減消元法解方程組即可．
【詳解】解：，
①②得：，
把代入①中得：，
∴原方程組的解為，
故選：B．
10．對于反比例函數(shù)，下列說法不正確的是（ ）
A．點在它的圖象上B．它的圖象在第一、三象限
C．當時，隨的增大而減小D．當時，
10．D
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一判斷即可，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：、當時，，
∴點在它的圖象上，故原選項正確，不符合題意；
、由可知，，
則它的圖象在第一、三象限，故原選項正確，不符合題意；
、由可知，，
∴當時，隨的增大而減小，故原選項正確，不符合題意；
、當時，，故原選項錯誤，符合題意；
故選：．
11．某超市1月份的營業(yè)額為100萬元，第一季度的營業(yè)額為萬元，如果每月平均增長率為，那么與的函數(shù)關(guān)系式是（ ）
A． B． C． D．
第5題圖 第12題圖
11．D
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)題意列出二次函數(shù)解析式即可．
【詳解】解：由題意得，與的函數(shù)解析式為，
故選：D ．
12．如圖，二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，與軸交于，兩點，若，則下列四個結(jié)論：①②③④，正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）
A．1個B．2個C．3個D．0個
12．B
【分析】結(jié)合所給函數(shù)圖象，拋物線的開口方向、對稱性及二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系對所給結(jié)論進行依次判斷即可．
【詳解】解：二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，與軸交于，兩點，
，兩點關(guān)于直線對稱，
，
，
結(jié)論①正確；
直線是二次函數(shù)對稱軸，
，即，
，
由函數(shù)圖象可知，該二次函數(shù)開口向上，，
，
結(jié)論②錯誤；
該二次函數(shù)與軸有兩個交點，
，
由圖可知，當時，，
即，，
，
，
即，
結(jié)論③正確；
，即，
，
，
，即，
，
，
∴不一定正確，
結(jié)論④錯誤；
綜上，正確結(jié)論為①③，共個．
故選：．
【點睛】本題考查的知識點是二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系．
第Ⅱ卷
二、填空題（本大題共4個小題，每小題3分，共12分）
13．若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為 ．
13．
【分析】本題考查二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)，進行求解即可．
【詳解】解：由題意，得：，
解得：；
故答案為：
14．學(xué)校舉辦了以“不負青春，強國有我”為主題的演講比賽．已知某位選手的演講內(nèi)容、語言表達、舉止形態(tài)這三項的得分分別為90分、85分、82分，若依次按照，，的比例確定成績，則該選手的成績是 分．
14．86
【分析】本題考查了加權(quán)平均數(shù)的運用，熟練掌握加權(quán)平均數(shù)的計算方法．是解題的關(guān)鍵．若n個數(shù)的權(quán)分別為，則叫做這n個數(shù)的加權(quán)平均數(shù)．
根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算公式列出算式，進行計算即可得出答案．
【詳解】解：（分），
故答案為：86．
15．如圖，在中，，，點D是上一點，且，，則的長為
15．
【分析】本題考查了解直角三角形，圓周角定理，垂徑定理，解一元二次方程．作的外接圓，作的直徑，作于點，利用圓周角定理求得，證明四邊形是矩形，推出，利用垂徑定理結(jié)合圓周角定理求得，求得，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求得，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：作的外接圓，作的直徑，作于點，連接，，，如圖，
∵，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
整理得，
解得(負值已舍)，
故答案為：．
16．如圖，在平面直角坐標系中，按如圖所示放置正方形，D為上一點，其坐標為，將正方形繞坐標原點順時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)2025秒后點的對應(yīng)點坐標為 ．
第15題圖 第16題圖
16．
【分析】本題主要考查了點坐標規(guī)律的探索，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，正確找到旋轉(zhuǎn)2025秒后點的位置是解題的關(guān)鍵．根據(jù)旋轉(zhuǎn)4秒恰好旋轉(zhuǎn)，說明旋轉(zhuǎn)2025秒后點在x軸下方，且，再求出點的坐標即可．
【詳解】解：將正方形繞坐標原點O順時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)4秒恰好旋轉(zhuǎn)，
…1，
∴點在x軸下方，且，
過點D作軸于點E，過點D作軸于點F，
∵點D坐標為，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴點，
故答案為：．
三、解答題（本大題共7個小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17．(本題滿分8分)計算：
17．
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．
先算乘方，再算括號內(nèi)，再算乘法，最后算加減即可解答．
【詳解】解：


．
18．(本題滿分10分)先化簡，再求值：，其中，．
18．，
【分析】本題考查的知識點是整式的加減—化簡求值，解題關(guān)鍵是熟練掌握合并同類項法則．注意去括號時符號的變化，原式去括號，再合并同類項進行化簡，最后將、的值代入計算即可．
【詳解】解：，
，
，
，
，，
原式．
19．(本題滿分10分)如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點分別三個是，，．
(1)把繞原點O旋轉(zhuǎn)后得到對應(yīng)的，請畫出旋轉(zhuǎn)后的；
(2)若點P為的外心，請直接寫出點P的坐標 ．
第19題圖
19．(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的作圖，三角形的外心，掌握旋轉(zhuǎn)的作圖方法，以及三角形的外心是三邊垂直平分線是交點，是解題的關(guān)鍵．
（1）連接并延長，使，再依次連接點即可；
（2）找出，垂直平分線的交點，即可解答．
【詳解】（1）解：如圖1所示：即為所求；
（2）解：如圖2，點P為的外心，
∵四邊形為正方形，
∴為的垂直平分線，
∵，，
∴的垂直平分線為直線，
由圖可知，的垂直平分線與的垂直平分線相交于點，
∴點為外心，
∴點坐標為．
故答案為：．
20．(本題滿分10分)以人工智能、大數(shù)據(jù)、物聯(lián)網(wǎng)為基礎(chǔ)的技術(shù)創(chuàng)新促進了新業(yè)態(tài)蓬勃發(fā)展，新業(yè)態(tài)發(fā)展對人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘軟件、硬件、總線、測式四類專業(yè)的畢業(yè)生，現(xiàn)隨機調(diào)查了名新聘畢業(yè)生的專業(yè)情況，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題．
(1)______，______；
(2)請補全條形統(tǒng)計圖，并直接寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；
(3)若該公司新招聘600名畢業(yè)生，請你估計總線專業(yè)的畢業(yè)生的人數(shù)．
20．(1)50，10
(2)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為硬件，圖見解析
(3)人
【分析】本題主要考查了扇形統(tǒng)計圖與條形統(tǒng)計圖信息相關(guān)聯(lián)，用樣本估計總體，正確讀懂統(tǒng)計圖是解題的關(guān)鍵．
（1）用總線的人數(shù)除以其人數(shù)占比即可求出m，再用測試的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)即可求出n；
（2）先求出硬件的人數(shù)，再補全統(tǒng)計圖即可；
（3）用乘以樣本中總線的人數(shù)占比即可得到答案．
【詳解】（1）解：由題意得，，
∴，
∴，
故答案為：，；
（2）解：由（1）得硬件的人數(shù)為（人），
∴補全統(tǒng)計圖如下所示：
∵硬件的人數(shù)最多，
∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為硬件．
（3）解：（名），
∴估計“總線”專業(yè)的畢業(yè)生有名．
21 . (本題滿分10分)如圖，在 中， ，以 為直徑作 ，交 于點D，交 于點E，過點D作 于F．
(1)求證： 是 的切線；
(2)若 ， 的半徑為5，求 的長．
第21題圖
21．(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，則，所以，由，得，則，所以，則，即可證明是的切線；
（2）連接，由是的直徑，的半徑為5，得，，則，求得，由，即可求得．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，則，
，
，
，
，
，
于點，
，
是的半徑，且，
是的切線．
（2）解：如圖，連接，
是的直徑，，的半徑為5，
，，
，
，，
，
，
，
的長是．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、切線的判定定理、勾股定理、直徑所對的圓周角為直角、平行線的判定和性質(zhì)，根據(jù)面積等式求線段的長度等知識，熟練掌握其性質(zhì)并能正確地作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．
22 . (本題滿分12分)某商品的進價為每件30元．當售價為每件50元時，每星期可賣出80件．現(xiàn)需降價處理，且經(jīng)市場調(diào)查：每降價1元，每星期可多賣出10件．在確保盈利的前提下，解答下列問題：
(1)若設(shè)每件降價x元，每星期售出商品的利潤為y元，請寫山y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
(2)當降價多少元時，每星期的利潤最大？最大利潤是多少？
22．(1)
(2)當降價6元時，每星期的利潤最大，為1960元
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出等量關(guān)系和掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
（1）根據(jù)總利潤單件利潤數(shù)量即可列出函數(shù)解析式，根據(jù)確保盈利列式求出x的取值范圍；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行解答即可得．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得，
∵降價要確保盈利，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴當時，有最大值，
即當降價6元時，每星期的利潤最大，為1960元．
23．(本題滿分12分)【綜合與實踐】
【實踐背景】在學(xué)習(xí)幾何變換旋轉(zhuǎn)知識的過程中，同學(xué)們對于由幾何變換引起幾何圖形的變化有了更深入的了解，并對此產(chǎn)生濃厚的興趣．興趣小組同學(xué)決定利用手中的三角板進行各種變換操作，通過操作觀察分析，發(fā)現(xiàn)并提出系列有趣的數(shù)學(xué)問題．
【實踐過程】如圖1，是等腰直角三角形，且AC=BC，點D是斜邊AB上的動點（點D與點A不重合），連接CD，將CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)900得到CE，連接DE，BE．
【猜想證明】經(jīng)過觀察分析，大家猜想與是全等的關(guān)系，請你說明理由．（1）求證：；
【拓展應(yīng)用】
（2）繼續(xù)探究，作點C關(guān)于DE的對稱點F，連接DF，EF（如圖2），若．
①求四邊形CDFE面積的最小值；
②請在圖2中連接BF，當BF=2時，直接寫出AD的長度．
第23題圖
23．（1）證明見解答過程；（2）① 16 ；②
【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，進而得，由此可依據(jù)“”判定和全等；
（2）①過點作于點，連接，先求出，則，證明四邊形形是正方形，得四邊形面積的為，根據(jù)“垂線段最短”得，即當點與點重合時，為最小，此時四邊形面積的為最小，由此即可得出答案；
②作的外接圓，過點作交的延長線于，過點作于點，設(shè)，則是等腰直角三角形，則，由（1）的結(jié)論得，則，進而得點在的外接圓上，，繼而得，則是等腰直角三角形，，在 和中，由勾股定理求出，進而可得的長．
【詳解】解：（1）證明：∵是等腰直角三角形，且，
，
，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，
，
，
在和中
，
；
（2）①解：過點作于點，連接，如圖2所示：

∵是等腰直角三角形，且，
由勾股定理得：，
∵，
，
∵點關(guān)于的對稱點為，
∴是的垂直平分線，
，
∵，
，
∴四邊形是菱形，
又 ∵，
∴菱形是正方形，
∴四邊形面積的為，
根據(jù)“垂線段最短”得：，
∴當點與點重合時，為最小，此時四邊形面積的為最小，
∴四邊形面積的最小值為 16 ；
②作的外接圓，過點作交的延長線于點，過點作于點，如圖3所示：

設(shè)，
，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由勾股定理得：，
由（1）可知：，
，
由（2）①可知：四邊形是正方形，為對角線，
，
∴是外接圓的直徑，
，
，
∴點在的外接圓上，
根據(jù)圓周角定理得：，
，
∴是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
，
，
在中，，
由勾股定理得：，
在中，，
由勾股定理得：，
，
，
解得：，
．
【點睛】此題主要考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)變換及其性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識點，理解等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握圖形的旋轉(zhuǎn)變換及其性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，靈活運用勾股定理構(gòu)造方程是解決問題的關(guān)鍵．

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2023年中考第一次模擬考試卷數(shù)學(xué)（廣西卷）（參考答案）

2023年中考第一次模擬考試卷數(shù)學(xué)（廣西卷）（參考答案）
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