第Ⅰ卷
一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）
1．的相反數(shù)是（ ）
A．B．5C．D．
1.A
【分析】本題考查的是絕對值和相反數(shù)的概念．根據(jù)絕對值、相反數(shù)的定義即可得出答案．
【詳解】解：根據(jù)絕對值的定義，
，
根據(jù)相反數(shù)的定義，
5的相反數(shù)是．
故選：A．
2．如圖，直線被直線所截，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
2. B
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得出答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴．
故選：B．
3．下列立體圖形中，可能被一個(gè)平面截出的截面是長方形的是（ ）
A．B．
C．D．
3. D
【分析】本題考查的是幾何體截面的形狀，截面的形狀既與被截幾何體有關(guān)，還與截面的角度和方向有關(guān)．認(rèn)真觀察圖中的截面是解題的關(guān)鍵．根據(jù)幾何體截面的概念求解即可．
【詳解】解：由題意可得，可能被一個(gè)平面截出的截面是長方形的是圓柱體，
故選：D．
4．不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A．B．
C．D．
4. D
【分析】此題考查了解一元一次不等式組，利用數(shù)軸表示不等式組的解集，正確掌握一元一次不等式的解法是解題的關(guān)鍵
【詳解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
將解集表示在數(shù)軸上為：
故選：D
5．如圖，，，分別是的高、角平分線、中線，則下列各式中錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．D．
5. C
【分析】本題考查三角形的三線，根據(jù)高線，中線，角平分線的定義，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：∵，，分別是的高、角平分線、中線，
∴，，，
故選項(xiàng)A，B，D正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
故選C．
6．如圖，在中，分別以點(diǎn)B，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D，E，且點(diǎn)D恰好在邊上，直線與交于點(diǎn)F，連接．若，則四邊形的面積為（ ）
A．B．C．4D．8
6. A
【分析】此題考查了菱形的判定和性質(zhì)、含角的直角三角形、勾股定理等知識．由作圖可得到，四邊形是菱形，則再由含角的直角三角形和勾股定理求出，，即可得到即可得到四邊形的面積．
【詳解】解：由題意可知，垂直平分，，
∴，四邊形是菱形，
∴
∵，
∴，
∴
∴
∴四邊形的面積為，
故選：A
7．直線與直線（，為常數(shù)，）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對稱，若在直線上，則的值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
7. C
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
先求得直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為和，則其對稱點(diǎn)和在直線，再用待定系數(shù)法求直線的表達(dá)式，把代入即可求解．
【詳解】解：當(dāng)，則，
∴直線與y軸交于點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，解得，
∴直線與x軸交于點(diǎn)，
∵直線與直線（，為常數(shù)，）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對稱，
∴可得和關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)和在直線上，
將和代入
得：，
解得：，
∴直線的表達(dá)式為，
∵在直線上，
∴有，
故選：C．
8．拋物線上部分點(diǎn)的坐標(biāo)如下表，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．對稱軸是直線B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小D．拋物線開口向下
8. B
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和表格中的數(shù)據(jù)，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的結(jié)論是否成立，得出答案，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、由表格中點(diǎn)，，可知對稱軸是直線，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、根據(jù)對稱軸是直線，圖象過點(diǎn)，則根據(jù)二次函數(shù)的對稱性得當(dāng)時(shí)，，故此選項(xiàng)符合題意；
C、由表格數(shù)據(jù)可得，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、根據(jù)對稱軸是直線，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，得出拋物線開口向下，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
第Ⅱ卷
二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）
9．分解因式： ．
9.
【分析】本題考查了提公因式法進(jìn)行因式分解．直接提取公因式，即可作答．
【詳解】解：∵，
故答案為：．
10．如圖，是的直徑，圓上的點(diǎn)D與點(diǎn)C，E分布在直線的兩側(cè)，，則 ．
10. /50度
【分析】本題考查了圓周角定理．根據(jù)圓周角定理可求的度數(shù)，然后根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出求解即可．
【詳解】解：連接，
∵，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴，
故答案為：．
11．幻方歷史悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時(shí)代的“洛書”當(dāng)中，根據(jù)幻方的相等關(guān)系設(shè)計(jì)出來一個(gè)“幻圓”，即大圓．小圓．橫線．豎線上的四個(gè)數(shù)字加起來的和均相等．如圖給出了部分?jǐn)?shù)字，則幻圓中的值為 ．
11.
【分析】如圖所示，設(shè)小圓空白處為，根據(jù)題意列出等式，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：如圖所示，設(shè)小圓空白處為，
依題意，，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，代數(shù)式求值，等式的性質(zhì)，理解題意是解題的關(guān)鍵．
12．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過、兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則k的取值范圍是 ．
12.
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象上的點(diǎn)的特征，熟知反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)已知條件判斷出函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)系數(shù)k與函數(shù)圖象的關(guān)系解答即可．
【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過、兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，
∴此反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，
∴．
故答案為：．
13．如圖，在菱形中，，，為菱形的對稱中心，過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)為上的一點(diǎn)，連接．若，則四邊形的面積為 ．
13.
【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、中心對稱性以及解直角三角形的知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是利用菱形的中心對稱性將四邊形的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
通過連接相關(guān)線段，利用菱形中心對稱性得到一些等量關(guān)系．過點(diǎn)作垂線，構(gòu)造出可以計(jì)算面積的三角形．因?yàn)榱庑尉哂兄行膶ΨQ性，所以將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為幾個(gè)易求面積的三角形面積之和或差．利用已知條件和所作輔助線，結(jié)合三角形面積公式（底×高÷2）來計(jì)算相關(guān)三角形面積，進(jìn)而得出四邊形的面積．
【詳解】如圖，由菱形的中心對稱性可知，
連接，
∵，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
作于點(diǎn)，
，
連接，
則
三、解答題（本大題共13個(gè)小題，共81分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
14．（5分）計(jì)算：
14.
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對值，零指數(shù)冪是解題的關(guān)鍵．
分別計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對值，零指數(shù)冪，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可．
【詳解】解：原式
．
15．（5分）先化簡，再求值：，其中，．
15. ，11
【分析】先算括號內(nèi)的乘法，再合并同類項(xiàng)，最后代入求出即可．
【詳解】解：
，
當(dāng)，時(shí)，原式．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算和求值，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵．
16．（5分）解方程：．
16.
【分析】本題考查了解分式方程．分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．
【詳解】解：
，
，
，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
∴原分式方程的解為．
17．（5分）如圖，在中，，請用尺規(guī)作圖法在邊上求作一點(diǎn)，使保留作圖痕跡，不寫作法
17. 見解析
【分析】根據(jù)題意，作出的垂直平分線（或作出的角平分線），交于點(diǎn)，即可求解．
【詳解】解法一：如圖所示，作的垂直平分線，交于點(diǎn)，則點(diǎn)，即為所求；
解法二：如圖所示，作的角平分線，交于點(diǎn)，則點(diǎn)，即為所求；
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
∵,，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，作角平分線，作垂直平分線，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．
18．（5分）如圖，在矩形中，對角線與交于點(diǎn)，，，垂足分別為、．求證：．
18. 證明見解析．
【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，掌握矩形的對角線互相平分且相等是解決問題的關(guān)鍵．
根據(jù)矩形的性質(zhì)求出，根據(jù)推出即可證得結(jié)論．
【詳解】證明：四邊形是矩形，
，，，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
19．（5分）某校為豐富學(xué)生的課余生活，強(qiáng)化學(xué)生的校園安全意識，準(zhǔn)備舉辦一次趣味知識競答活動(dòng)，計(jì)劃購買兩種獎(jiǎng)品獎(jiǎng)勵(lì)答題優(yōu)秀同學(xué)．已知種獎(jiǎng)品比種獎(jiǎng)品每件貴12元，且購買種獎(jiǎng)品15件，種獎(jiǎng)品10件，共需資金280元．求種獎(jiǎng)品每件需要多少元．
19. 種獎(jiǎng)品每件需要16元
【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)種獎(jiǎng)品每件需要元，則種獎(jiǎng)品每件需要元，列出方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)種獎(jiǎng)品每件需要元，則種獎(jiǎng)品每件需要元．
根據(jù)題意，得，
解得．
答：種獎(jiǎng)品每件需要16元．
20．（5分）化學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，王老師帶來了（鎂）、（鋁）、（鋅）、（銅）四種金屬，這四種金屬分別用四個(gè)相同的不透明容器裝著，讓同學(xué)們隨機(jī)選擇一種金屬與鹽酸反應(yīng)來制取氫氣．（根據(jù)金屬活動(dòng)順序可知：可以置換出氫氣，而不能置換出氫氣）
(1)小明從四種金屬中隨機(jī)選一種，則選到（鎂）的概率為________；
(2)小明和小紅分別從四種金屬中隨機(jī)選一種金屬分別進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，請用列表或畫樹狀圖的方法，求二人所選金屬均能置換出氫氣的概率．
20. (1)
(2)
【分析】本題考查的是根據(jù)概率公式求概率，用列表法求概率．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）根據(jù)列表法求概率即可求解．
【詳解】（1）由題意得，選到的概率為
故答案為：
（2）列表如下：
由表格知共有16種等可能的結(jié)果，其中二人所選金屬均能置換出氫氣的結(jié)果有：，，，，，，，，，共種，
二人所選金屬均能置換出氫氣的概率為．
21．（6分）2025年春節(jié)期間，某市舉辦煙花表演，其中最美煙花當(dāng)屬“驚艷天梯”．當(dāng)煙花在空中點(diǎn)燃的那一刻，一段段明亮的臺階依次向上顯現(xiàn)，在空中逐漸形成一幅美妙的“天梯”圖案，十分驚艷．如圖，某專業(yè)團(tuán)隊(duì)在水平地面上豎直架設(shè)測角儀，測量“天梯”的長度，在處測得“天梯”最低點(diǎn)的仰角，最高點(diǎn)的仰角，若，，，，共線且垂直于地面，且與，位于同一平面內(nèi)．請你根據(jù)以上信息，計(jì)算出天梯的長度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）
21. “天梯”的長度約為
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，由題意得，，在中，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，在中，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，于是可得到結(jié)論．
【詳解】解：由題意得，，
在中，，
，
解得，
在中，，
解得，
，
答：“天梯”的長度約為．
22．（7分）某市采用分段收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)的方式來鼓勵(lì)節(jié)約用水，居民每月應(yīng)交水費(fèi)y(元)與用水量x(噸)之間的關(guān)系如圖所示．
(1)月用水量超過5噸時(shí)，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)若某戶居民本月比上個(gè)月多用水2噸，而水費(fèi)多5.5元，求該戶本月用水量多少噸?
22. (1)
(2)該戶居民本月用水量為6噸．
【分析】此題是一次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是分析統(tǒng)計(jì)圖，得出兩個(gè)不同的直線表示的意義，再結(jié)合問題進(jìn)行解答．
（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）先判斷出上月用水量不超過5噸，本月用水量超過5噸．設(shè)本月的用水量為噸，則上個(gè)月的用水量為噸，根據(jù)題意列出方程，求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)月用水量超過5噸時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為，
把，代入得，
解得，
∴；
（2）解：設(shè)月用水量不超過5噸時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為，
把代入得，
解得，
∴用水量不超過5噸時(shí)，，
若本月和上月用水量都不超過5噸，那么水費(fèi)應(yīng)該多4元，
若本月和上月用水量都超過5噸，那么水費(fèi)應(yīng)該多7元，
所以上月用水量不超過5噸，本月用水量超過5噸．
設(shè)本月的用水量為噸，則上個(gè)月的用水量為噸，
則，
解得，
該戶居民本月用水量為6噸．
23．（7分）為保護(hù)學(xué)生視力，讓學(xué)生在學(xué)校專心學(xué)習(xí)，防止沉迷網(wǎng)絡(luò)和游戲，促進(jìn)學(xué)生身心健康發(fā)展，2024年2月1日教育部印發(fā)《關(guān)于加強(qiáng)中小學(xué)生手機(jī)管理工作的通知》，要求中小學(xué)生原則上不得將個(gè)人手機(jī)帶入校園．某校為了解全校學(xué)生在此之前使用手機(jī)情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生調(diào)查其一周使用手機(jī)的時(shí)間，并用調(diào)查結(jié)果繪制了如下統(tǒng)計(jì)圖表，請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表解答以下問題：
(1)______，填出所抽取學(xué)生一周使用手機(jī)時(shí)間的中位數(shù)落在______組；
(2)若以各組組中值（例如的組中值為1小時(shí)）代表各組的實(shí)際數(shù)據(jù)，求出所抽取學(xué)生一周使用手機(jī)時(shí)間的平均數(shù)及眾數(shù)；
(3)若該校共有1200名中學(xué)生，請你估計(jì)該校學(xué)生中一周使用手機(jī)的時(shí)間在6小時(shí)以上的有多少人？
23. (1)15；C
(2)平均數(shù)為4.4小時(shí)，眾數(shù)為5
(3)該校學(xué)生中一周使用手機(jī)的時(shí)間在6小時(shí)以上的有180人
【分析】本題考查頻數(shù)分布表、扇形統(tǒng)計(jì)圖，加權(quán)平均數(shù)、眾數(shù)、用樣本估計(jì)總體，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
（1）根據(jù)C組的頻數(shù)和所占的百分比，可以計(jì)算出本次抽取的人數(shù)，然后即可計(jì)算出A組的頻數(shù)，再根據(jù)頻數(shù)分布表中的數(shù)據(jù)，即可得到相應(yīng)的眾數(shù)；
（2）根據(jù)頻數(shù)分布表中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，寫出相應(yīng)的眾數(shù)；
（3）根據(jù)頻數(shù)分布表中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出該校學(xué)生中一周使用手機(jī)的時(shí)間在6小時(shí)以上的有多少人．
【詳解】（1）解：這次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為(人)，
A組人數(shù)是：(人)；
，
所抽取學(xué)生一周使用手機(jī)時(shí)間的中位數(shù)落在C組，
故答案為：15；C；
（2）解：平均數(shù)為（小時(shí)），眾數(shù)為5；
（3）解：（人）
答：該校學(xué)生中一周使用手機(jī)的時(shí)間在6小時(shí)以上的有180人
24．（8分）如圖，在中，，點(diǎn)O在上，以O(shè)為圓心，為半徑的⊙O切于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)E．
(1)求證：．
(2)若，求的長．
24. (1)見解析
(2)
【分析】本題是圓綜合題，考查了切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義、三角形面積的計(jì)算等知識，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）由切線的性質(zhì)得出再證得，得出，即可得出結(jié)論；
（2）由，設(shè)，則，再由銳角三角函數(shù)定義求出，然后由勾股定理求出，進(jìn)而得出，求出，最后由即可得出結(jié)果．
【詳解】（1）切于點(diǎn)D，

在和中
，
（2）在中，，
設(shè)，則，
在中，
，
，
解得，
，
在中，
由勾股定理得，
，
即的長為．
25．（8分）公路隧道是專供汽車運(yùn)輸行駛的通道，隧道的修建在縮短運(yùn)行距離、提高運(yùn)輸能力、減少事故等方面起到重要的作用．某隧道頂部橫截面可視為拋物線，如圖1．隧道底部寬為，高為．為了避免司機(jī)在隧道內(nèi)行車疲勞，交通技術(shù)部門擬在隧道頂部安裝上下長度為的警示燈帶．普通貨車的高度大約為（載貨后高度），貨車頂部與警示燈帶底部的距離應(yīng)不少于．
(1)在圖2中建立合適的平面直角坐標(biāo)系，并求拋物線的解析式．
(2)在你建立的坐標(biāo)系中，在安全的前提下，確定燈帶懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．
25.(1)坐標(biāo)系見解析；
(2)
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，理清題中的數(shù)量關(guān)系、熟練掌握待定系數(shù)法及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
(1)以為原點(diǎn)，所在直線為軸，以所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法即可得解；
(2)先計(jì)算出懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后由縱坐標(biāo)范圍即可確定橫坐標(biāo)范圍．
【詳解】（1）解：以為原點(diǎn)，所在直線為軸，以所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為：．
拋物線過點(diǎn)，
，
解得：，
拋物線的解析式為；
（2）解：普通貨車的高度大約為（載貨后高度），貨車頂部與警示燈帶底部的距離應(yīng)不少于．
懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)，
即懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是．
當(dāng)時(shí)，，
，
懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是：．
26．（10分）問題探索：
（1）如圖1，在矩形中，點(diǎn)、分別在邊、上，連接、，且于點(diǎn)，若，則______；
問題解決：
（2）如圖2，小明家原有一塊四邊形菜地，其中，，米，米，米，后經(jīng)土地資源再分配調(diào)整為五邊形，經(jīng)測量米，，現(xiàn)需過點(diǎn)修建一條小路將五邊形分割成兩個(gè)區(qū)域進(jìn)行不同的蔬菜種植，設(shè)計(jì)時(shí)滿足點(diǎn)在邊上，與所夾銳角為，求需修小路的長（小路寬度忽略不計(jì)）．
26.（1）（2）米
【分析】（1）由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（2）過作交于，過作交于，交于，過作交于，交于，過作交于，由判定，由全等三角形的性質(zhì)得，由勾股定理得 ，求出， 由（1）同理可證，由相似三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】（1）解：四邊形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案為：；
（2）解：過作交于，過作交于，交于，過作交于，交于，過作交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
與所夾銳角為，
，
，
，
，
在和中
（），
，
，
，
，
，
解得：，
，
由（1）同理可證：，
，
，
解得∶；
故需修小路的長米．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定及性質(zhì)等；掌握矩形中“十字架”的典型解法，矩形的性質(zhì)，能構(gòu)建全等三角形及相似三角形，同時(shí)能熟練利用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．
組別
使用時(shí)間t（小時(shí)）
人數(shù)
A
a
B
20
C
50
D
10
E
5

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