第Ⅰ卷（選擇題，共36分）
一、選擇題（每題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，本題共12小題，每題3分，共36分）
1．下列美術(shù)字中，是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】、圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來(lái)的圖形不重合，所以不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；
、圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來(lái)的圖形不重合，所以不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；
、圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來(lái)的圖形重合，所以不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；
、圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來(lái)的圖形重合，所以是中心對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意；
故選：.
2．下列事件中，屬于必然事件的是（ ）
A．投擲一枚硬幣時(shí)，硬幣的正面朝上
B．投擲飛鏢一次，命中靶心
C．從只裝有白球的盒子里摸出一個(gè)球，摸到一個(gè)白球
D．玩“石頭， 剪刀， 布”， 對(duì)方出“剪刀”
【答案】C
【分析】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．
【解析】A、屬于隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、屬于隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、屬于必然事件，故本選項(xiàng)符合題意；
D、屬于隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C.
3．如圖，點(diǎn)A，B，C均在⊙O上，∠BOC＝100°，則∠BAC的度數(shù)為（ ）．
A．70°B．60°C．50°D．40°
【答案】C
【解析】∵ ∠A=∠BOC， ∠BOC=100° ，
∴ ∠A=50° ．
故選：C.
4．已知反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，則的取值可以是（ ）
A．-2B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】∵反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，
∴，∴，的取值可以是3，
故選：D.
5．已知扇形的半徑為3，圓心角為120°，則這個(gè)扇形的面積為（ ）
A．9πB．6πC．3πD．2π
【答案】C
【解析】扇形的半徑為3，圓心角為120°，則這個(gè)扇形的面積為：；
故選：C.
6．如圖，已知，，若的長(zhǎng)度為6，則的長(zhǎng)度為（ ）
A．B．8C．D．
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故選：B.
7．如圖，已知與是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，位似比為，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】與是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，位似比為，
∴，，且相似比為，
∴．
故A，B選項(xiàng)正確，不符合題意；
與是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，
∴，
，，
，
故C選項(xiàng)正確，不符合題意；
與是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，位似比為，
，
．
故D選項(xiàng)不正確，符合題意．
故選：D.
8．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的值可以是（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】A
【解析】關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
，解得：，故A正確．
故選：A.
9．近年來(lái)，由于新能源汽車(chē)的崛起，燃油汽車(chē)的銷(xiāo)量出現(xiàn)了不同程度的下滑，經(jīng)銷(xiāo)商紛紛開(kāi)展降價(jià)促銷(xiāo)活動(dòng)．某款燃油汽車(chē)今年3月份售價(jià)為23萬(wàn)元，5月份售價(jià)為16萬(wàn)元．設(shè)該款汽車(chē)這兩月售價(jià)的月均下降率是，則所列方程正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵3月份售價(jià)為23萬(wàn)元，月均下降率是x，5月份售價(jià)為16萬(wàn)元，
∴．
故選：B.
10．如圖，在中，．將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至，使，交邊于點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（ ）
A．4B．C．6D．5
【答案】D
【解析】∵將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
而，
∴，
∴，
∴．
故選：D.
11．某項(xiàng)目化研究小組只用一張矩形紙條和刻度尺，來(lái)測(cè)量一次性紙杯杯底的直徑．小敏同學(xué)想到了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯底，紙條的上下邊沿分別與杯底相交于、、、四點(diǎn)，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為，，．請(qǐng)你幫忙計(jì)算紙杯杯底的直徑為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如圖，，過(guò)圓心，連接，，
，
∵，
，
，，
設(shè)，
，
，，
，
，
，
，
，
紙杯的直徑為．
故選：B.
12．對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)的拋物線(xiàn)（，，為常數(shù)，且）如圖所示，小明同學(xué)得出了以下結(jié)論：①，②，③，④，⑤當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。渲薪Y(jié)論正確為（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．②③⑤
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，由拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向判斷a的符號(hào)，由拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號(hào)，然后根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸及拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷，熟知二次函數(shù)系數(shù)符號(hào)由拋物線(xiàn)開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)確定是解題的關(guān)鍵．
【解析】①∵拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
，
，故①不符合題意；
②由圖象可知：，，
，
，
，故②正確，符合題意；
③當(dāng)時(shí)，，
∴，故③符合題意；
④當(dāng)時(shí)，，故④不符合題意；
⑤由圖象可知，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，故⑤符合題意，
故選：D．
二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分．請(qǐng)將答案直接寫(xiě)在答題卡的橫線(xiàn)上）
13．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是 ．
【答案】
【解析】點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
點(diǎn)的坐標(biāo)是．
故答案為：．
14．如圖，是小瑩設(shè)計(jì)用手電來(lái)測(cè)量某古城墻高度的示意圖．在點(diǎn)P處放一水平的平面鏡，光線(xiàn)從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后，剛好射到古城墻CD的頂端C處．已知AB⊥BD，．且測(cè)得米，米，PD=12米，那么該古墻的高度是 米．
【答案】8
【解析】∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∵∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△CDP
∴，
即
解得：CD=8米．
故答案為：8．
15．如圖所示，A為反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，垂直軸，垂足為點(diǎn)，若，則的值為 ．
【答案】12
【解析】設(shè)，則，
∴，
∵函數(shù)圖象位于一、三象限，
∴，
∴取．
故答案為：12.
16．如圖，在中，，，為邊的高，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在第一象限，若從原點(diǎn)出發(fā)，沿軸向右以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)隨之沿軸下滑，并帶動(dòng)在平面內(nèi)滑動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)?shù)竭_(dá)原點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．連接，線(xiàn)段的長(zhǎng)隨的變化而變化，當(dāng)最大時(shí)， ．
【答案】
【解析】∵，為邊的高，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最大，
此時(shí)：，
∴，
∴；
故答案為：.
三、解答題（本大題共7小題，滿(mǎn)分72分．
17．已知二次函數(shù)．
（1）求當(dāng)函數(shù)值時(shí)，自變量的值；
（2）請(qǐng)判斷此函數(shù)有最大值還是最小值，并求出最大值或最小值．
解：（1）當(dāng)時(shí)，
或
，
（2）因?yàn)椋_(kāi)口向上，所以函數(shù)有最小值．
此函數(shù)最小值為．
18．如圖，直線(xiàn)（，為常數(shù)，）與雙曲線(xiàn)（為常數(shù)且）相交于，兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出關(guān)于的不等式的解集；
（3）連接、，求的面積．
解：（1）由題意，將點(diǎn)代入雙曲線(xiàn)解析式，
，
．
雙曲線(xiàn)為．
（2）根據(jù)函數(shù)圖象可知：當(dāng)或時(shí)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的上面，
∴關(guān)于的不等式的解集為或．
（3）在雙曲線(xiàn)為，
，
∴，
將，代入，
得：，解得：，
，
設(shè)與軸交于點(diǎn)，則坐標(biāo)，
，
答：的面積為．
19．如圖，有一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)，被均勻分成5等份，分別標(biāo)上1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)字，甲、乙兩人玩一個(gè)游戲，其規(guī)則如下：任意轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)一次，轉(zhuǎn)盤(pán)停止后指針指向某個(gè)數(shù)字所在的區(qū)域，如果該區(qū)域所標(biāo)的數(shù)字是偶數(shù)，則甲勝；如果該區(qū)域所標(biāo)的數(shù)字是奇數(shù)，則乙勝．
（1）轉(zhuǎn)出的數(shù)字為3的概率是 ．
（2）轉(zhuǎn)出的數(shù)字不大于3 的概率是 ．
（3）你認(rèn)為這樣的游戲規(guī)則對(duì)甲、乙兩人是否公平？為什么？
解：（1）∵一共有5個(gè)數(shù)字，每個(gè)數(shù)字被轉(zhuǎn)出的概率相同，
∴轉(zhuǎn)出的數(shù)字為3的概率是，
故答案為：；
（2）∵一共有5個(gè)數(shù)字，數(shù)字不大于3 的有3個(gè)，，
∴轉(zhuǎn)出的數(shù)字不大于3 的概率是，
故答案為：；
（3）這樣的游戲規(guī)則對(duì)甲、乙兩人不公平，理由如下：
∵一共有5個(gè)數(shù)字，其中奇數(shù)有3個(gè)，偶數(shù)有2個(gè)，且每個(gè)數(shù)字被轉(zhuǎn)出的概率相同，
∴任意轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)一次，轉(zhuǎn)出奇數(shù)的概率為，轉(zhuǎn)出偶數(shù)的概率為，
∴，
∴乙獲勝的概率大，
∴這樣的游戲規(guī)則對(duì)甲、乙兩人不公平．
20．某店銷(xiāo)售某種進(jìn)價(jià)為40元的產(chǎn)品，已知該店按60元出售時(shí)，每天可售出，后來(lái)經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低1元，則每天的銷(xiāo)售量可增加．
（1）若單價(jià)降低2元，則每天的銷(xiāo)售量是______千克，若單價(jià)降低元，則每天的銷(xiāo)售量是______千克；（用含的代數(shù)式表示）
（2）若該店銷(xiāo)售這種產(chǎn)品計(jì)劃每天獲利2160元，單價(jià)應(yīng)降價(jià)多少元？
（3）當(dāng)單價(jià)降低多少元時(shí)，該店每天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少元？
解：（1）若單價(jià)降低2元，則每天的銷(xiāo)售量是（千克），
若單價(jià)降低元，則每天的銷(xiāo)售量是千克；
（2）設(shè)單價(jià)應(yīng)降價(jià)元，依題意得：
，
整理得：，
解得，，
答：?jiǎn)蝺r(jià)應(yīng)降價(jià)2元或8元；
（3）設(shè)利潤(rùn)為w元，單價(jià)降低元，
，
，
w有最大值，
當(dāng)時(shí)，w的最大值是2250，
答：當(dāng)單價(jià)降低5元時(shí)，該店每天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是2250元．
21．如圖，是的直徑，四邊形內(nèi)接于，連接，，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．
（1）求證：是的切線(xiàn)；
（2）若，的半徑為5，求的長(zhǎng)．
（1）證明：如圖，連接，，
，是半徑，
，
是的直徑，
，即，
，
，
，
是半徑，
是的切線(xiàn)；
（2）解：由題意知，，
由勾股定理得，；
是的直徑，
；
，
，
，
，即，
解得，；
的長(zhǎng)為．
22．【綜合探究】運(yùn)用二次函數(shù)來(lái)研究植物幼苗葉片的生長(zhǎng)狀況．在大自然里，有很多數(shù)學(xué)的奧秘．圖1是一片美麗的心形葉片，圖2是一棵生長(zhǎng)的幼苗都可以看作把一條拋物線(xiàn)的一部分沿直線(xiàn)折疊而形成．
【探究一】確定心形葉片的形狀
（1）如圖3建立平面直角坐標(biāo)系，心形葉片下部輪廓線(xiàn)可以看作是二次函數(shù)圖象的一部分，已知圖像過(guò)原點(diǎn)，求拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
【探究二】研究心形葉片的寬度：
（2）如圖3，在（1）的條件下，心形葉片的對(duì)稱(chēng)軸，即直線(xiàn)與坐標(biāo)軸交于，兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)與軸交于另一點(diǎn)，點(diǎn)，是葉片上的一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)．求葉片此處的寬度；
【探究三】探究幼苗葉片的長(zhǎng)度
（3）小李同學(xué)在觀察幼苗生長(zhǎng)的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)幼苗葉片下方輪廓線(xiàn)都可以看作是二次函數(shù)圖象的一部分；如圖4，幼苗葉片下方輪廓線(xiàn)正好對(duì)應(yīng)探究一中的二次函數(shù)．已知直線(xiàn)（點(diǎn)為葉尖）與水平線(xiàn)的夾角為，求幼苗葉片的長(zhǎng)度．
解：（1）拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
．解得：．
拋物線(xiàn)的解析式為：．
頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）取，，解得：，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
心形葉片的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，點(diǎn)，是葉片上的一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，
設(shè)的解析式為：．
經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
．解得：．
的解析式為：．
，解得：
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
．
．
（3）作拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，則，
直線(xiàn)與水平線(xiàn)的夾角為，
．
設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，
．
頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．
點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，
．解得：．
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
．
23．問(wèn)題背景：一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線(xiàn)的一個(gè)結(jié)論．如圖1，已知是的角平分線(xiàn)，可證．小慧的證明思路是：如圖2，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，構(gòu)造相似三角形來(lái)證明．
(1)嘗試證明：請(qǐng)參照小慧的思路，利用圖2證明；
(2)基礎(chǔ)訓(xùn)練：如圖3，在中，，是邊上一點(diǎn)．連接，將沿所在直線(xiàn)折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的E點(diǎn)處．若，，求的長(zhǎng)；
(3)拓展升華：如圖4，中，，，，的中垂線(xiàn)交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
（1）證明：，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的角平分線(xiàn)，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：將沿所在直線(xiàn)折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，
∴，，
由（1）可知，，
又，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵，即是的角平分線(xiàn)，
∴由（1）可得：，
∵，，，
∴，
∴，
∵的中垂線(xiàn)交延長(zhǎng)線(xiàn)于，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．

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