湖南省長沙市長郡中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月作業(yè)檢測(cè) 數(shù)學(xué)試題（含解析）

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一、二、選擇題
D【解析】,
由可得,解得,
則.故選D.
B【解析】設(shè)復(fù)數(shù),由,得,解得.故選B.
A【解析】因?yàn)?
可得,又因?yàn)?
則,所以,整理得,
所以.故選A.
D【解析】由,得,由,
得,則,因此,在上的投影向量為.故選D.
A【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為,將代入雙曲線可得,故,又,故由
得,即,則,即,則雙曲線的離心率為,故選A.
6.C【解析】由題意得,.
令,則,
令,則,
令,則,當(dāng)時(shí),,
在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù),且,
,使得當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
在上為增函數(shù),在為減函數(shù).,
當(dāng)時(shí),在區(qū)間(0,1)上為增函數(shù).
.
令,則,
在區(qū)間(0,1)上為增函數(shù)..故選C.
7.D【解析】因?yàn)?故原題干等式可轉(zhuǎn)化為,
得,
設(shè),則,解得,
因?yàn)?所以,
解得或,又因?yàn)?
所以,整理得,解得,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.
因此,即,所以的取值范圍是.故選D.
8.D【解析】由得,
為等比數(shù)列,,
,
,
①為奇數(shù)時(shí),;
②為偶數(shù)時(shí),,
只能為奇數(shù),為偶數(shù)時(shí),無解,
綜上所述,.故選D.
9.ABD【解析】由題意知,函數(shù)的定義域?yàn)?0,2),
,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知,
函數(shù)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減,正確;
函數(shù),即,
的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,錯(cuò)誤,正確.
故選ABD.
10.ACD【解析】A選項(xiàng),如圖1,取的中點(diǎn),連接,
圖1
因?yàn)辄c(diǎn)是棱的中點(diǎn),所以且,
又是棱中點(diǎn),所以且,故且,
故四邊形為平行四邊形,所以,
因?yàn)槠矫嫫矫?
所以平面,A正確;
選項(xiàng),以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖2,,當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí),,
故,
故,
故與不垂直,故與平面不垂直,錯(cuò)誤;
選項(xiàng),若在棱上運(yùn)動(dòng)(含端點(diǎn)),設(shè),
圖2
,
點(diǎn)到直線的距離
因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),,
則點(diǎn)到直線的距離最小值為正確；
選項(xiàng),如圖3,連接,則,
其中,
,故,
又平面,故平面,
又三角形為等邊三角形,設(shè)交平面于點(diǎn),
圖3
其中,
由于,故,點(diǎn)為的中心,
故四面體的外接球的球心在上,設(shè)球心為,則,
故,
根據(jù)得,
解得,所以外接球的半徑為,
故其表面積為.
故若與重合時(shí),四面體的外接球的表面積為正確.
故選【解析】令,得,則,對(duì)于時(shí),,得或,時(shí),,得,
所以和均在上,選項(xiàng)正確;對(duì)于B:因?yàn)榍€關(guān)于軸對(duì)稱,當(dāng)時(shí),,所以,,所以時(shí),最大,且最大值為,B選項(xiàng)正確；對(duì)于C:,因?yàn)榍€關(guān)于軸對(duì)稱,當(dāng)時(shí),設(shè),所以,
其中,因?yàn)榭扇∪我饨?所以的最小值為的最大值為,所以的最大值與最小值之和為選項(xiàng)錯(cuò)誤;
對(duì)于D:等價(jià)為點(diǎn)在橢圓內(nèi),
即滿足,即,
整理得,即恒成立,
故選項(xiàng)正確.故選ABD.
三、填空題(本題共3小題,每小題5分,共15分)
12.
【解析】由題意可知時(shí),時(shí),；
又因?yàn)?所以在上單調(diào)遞增,
因此可得時(shí),恒成立,可得,
又,可得,綜上可得,的取值范圍是.
13.1728
【解析】甲隊(duì),先用捆綁法,將與捆綁有種排法,將與看作一個(gè)整體,再用除序法得種,利用計(jì)數(shù)原理可知,一共有種排法;
乙隊(duì),利用插空法得種,按照分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,一共有種排法.
21(第1空2分,第2空3分)
【解析】當(dāng)時(shí),表示3個(gè)元素的有限集,
由可知或或或,
故;
由題意知,
故由可得,即,
解得或(舍去),
結(jié)合,故的最小值為21.
四、解答題(本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
15.【解析】
(2).
16.【解析】(1)因?yàn)?所以,
即,又因?yàn)?所以,
又因?yàn)?所以,因?yàn)?所以.
(2)在銳角中,由(1)得,所以,
所以,
,
由,所以,
所以的取值范圍為.
(3)當(dāng)取得最大值時(shí),,解得,
在中,令,
則,所以,
又,
所以,
所以,
所以,
,
而,故當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以面積的最大值為.
17.【解析】(1)證明:翻折前,因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?,則,
因?yàn)?則,由余弦定理可得,
所以,,則,同理可證,
翻折后,則有,因?yàn)槠矫?
所以平面,因?yàn)槠矫?則,
因?yàn)槠矫?所以平面,
所以平面平面.
(2)因?yàn)槠矫?以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),
的方向分別為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,
設(shè),其中,
則,
設(shè)平面的法向量為,則
取,則,所以,,
設(shè)平面的法向量為,
則令,可得,
則,整理可得,
因此,線段上存在點(diǎn),使平面與平面的夾角的余弦值為,且.
【解析】(1)設(shè)橢圓的焦距為,因?yàn)闄E圓的離心率為,
所以,即,由,得,即,
所以直線的方程為,即,
因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為,故,解得,所以,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)(i)設(shè)直線的方程為,其中,且,即,
設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn),
聯(lián)立整理得,
所以,
所以
為定值,得證.
(ii)法一:直線的方程為,令,得,故,
設(shè)直線與軸交于點(diǎn),直線的方程為,令,得,
故,
聯(lián)立整理得,解得或0(舍),
所以的面積,
由(i)可知,,故,代入上式,
所以,
因?yàn)辄c(diǎn)在軸下方且不在軸上,故或,得,
所以,
顯然,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
故只需考慮,令,則,
所以,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),不等式取等號(hào),
所以的面積的最大值為.17分
法二:直線的方程為,令,得,故,
設(shè)直線與軸交于點(diǎn),直線的方程為,令,得,
故,
由(i)可知,,故,所以點(diǎn)是線段的中點(diǎn),
故的面積,其中為點(diǎn)到直線的距離,
思路1顯然,當(dāng)過點(diǎn)且與直線平行的直線與橢圓相切時(shí),取最大值,設(shè)直線的方程為,即,聯(lián)立整理得,令,解得,
所以平行直線與直線之間的距離為,即的最大值為,
所以的面積的最大值為.
思路2因?yàn)橹本€的方程為,
所以,
依題意,,故,
所以,
因?yàn)樵跈E圓上,故,即,
所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),
故,
所以,即的面積的最大值為.
思路3因?yàn)橹本€的方程為,
所以,
因?yàn)樵跈E圓上,故,設(shè),
不妨設(shè),
所以,
所以,
當(dāng)時(shí),,即的面積的最大值為.
19.【解析】(1),
令,
,等號(hào)不同時(shí)取,
所以當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,,
①若,即在上單調(diào)遞增,
所以在上的最小值為,符合題意.
②若,即,此時(shí),
又函數(shù)在的圖象不間斷,由零點(diǎn)存在性定理可知,
存在,使得,
且當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,
所以,與題意矛盾,舍去.
綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是.
(2)(i)由(1)可知,當(dāng)時(shí),,
要證函數(shù)在上具有性質(zhì),即證當(dāng)時(shí),,
即證當(dāng)時(shí),.令,
則,即,
所以在上單調(diào)遞增,.
即當(dāng)時(shí),,得證.9分(ii)法一:由(i)得,當(dāng)時(shí),,
所以當(dāng).
下面先證明兩個(gè)不等式:①,其中;②,其中.
①令,則在上單調(diào)遞增,
所以,即當(dāng).10分
②令,則,
所以在(0,1)上單調(diào)遞增,故,
即當(dāng)時(shí),時(shí),故,得.
據(jù)不等式②可知,當(dāng)時(shí),,
所以當(dāng)時(shí),,
所以當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),時(shí),,有.
所以.又,
所以.
法二:要證:.
顯然,當(dāng)時(shí),,結(jié)論成立.
只要證當(dāng)時(shí),.
即證當(dāng)時(shí),,令.
所以,
所以在上單調(diào)遞減,
所以在上單調(diào)遞增,
所以在上單調(diào)遞增,
所以,
即當(dāng)時(shí),.所以當(dāng)時(shí),.
所以.題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
B
A
D
A
C
D
D
ABD
ACD
ABD