一、單選題
1. 已知直線與曲線相切，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)切點，利用切點處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，切點既在曲線上，又在直線上，聯(lián)立求解即可.
【詳解】設(shè)切點，故，
又切點在直線上，所以.
故選：C.
2. 已知函數(shù)，那么的值是（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的除法法則求，即可得結(jié)果.
【詳解】因為，則，
所以.
故選：D.
3. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式計算即得.
【詳解】函數(shù)是函數(shù)與的復(fù)合函數(shù)，則.
故選：C.
【點睛】本題考查復(fù)合函數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)，是基礎(chǔ)題.
4. 若函數(shù)在處取得極小值，則實數(shù)（ ）
A. B. 2C. 2或0D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)極小值點求參數(shù)，注意驗證即可得答案.
【詳解】由，則，得或2，
時，，在R上單調(diào)遞增，不滿足；
時，，在上，在上，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，滿足題設(shè)，
所以.
故選：D
5. 若都有成立，則的最大值為（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】將所給不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由此得出正確的選項.
【詳解】根據(jù)題意，若，則.
設(shè).
所以可得在，函數(shù)為增函數(shù).
對于，其導(dǎo)數(shù).
若，解得，即函數(shù)的遞增區(qū)間為；
若都有成立，即在，函數(shù)為增函數(shù)，則的最大值為1.
故選：B.
6. 記為數(shù)列的前項和，為數(shù)列的前項和，且數(shù)列是一個首項不等于公差的等差數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 和均是等差數(shù)列
B. 是等差數(shù)列，不是等差數(shù)列
C. 不是等差數(shù)列，是等差數(shù)列
D. 和均不是等差數(shù)列
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，得到，再通過的值判斷不是等差數(shù)列，利用定義，判斷是等差數(shù)列.
【詳解】因為數(shù)列是一個首項不等于公差的等差數(shù)列，可設(shè)且.
所以，，，又，所以不成等差數(shù)列，故不是等差數(shù)列；
因為，所以，
所以，所以是以為首項，以為公差的等差數(shù)列.
故選：C
7. 過雙曲線的右焦點作直線，且直線與雙曲線的一條漸近線垂直，垂足為，直線與另一條漸近線交于點（、均在軸右側(cè)）.已知為坐標(biāo)原點，若的內(nèi)切圓的半徑為，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用已知條件結(jié)合三角形與內(nèi)切圓的位置關(guān)系得出點在的角平分線上，
利用線線垂直證出四邊形進而證出為正方形，由焦點到漸近線的距離結(jié)合雙曲線、
、三者的幾何意義，利用直線的斜率與傾斜角的關(guān)系式得出的值，結(jié)合雙曲線的離心率與
的關(guān)系式得出雙曲線的離心率.
【詳解】如圖，
設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，則在的平分線上，
過點分別作于，于，
由得出四邊形為正方形，
設(shè)，直線的方程為，則.
又因為，所以.
因為，所以.
因為，
所以雙曲線的離心率為.
故選：C.
【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：
（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；
（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；
（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.
8. 若函數(shù)有兩個極值點，且，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A. B.
C. 的范圍是D.
【答案】B
【解析】
【分析】對于AC，原函數(shù)的極值點即為導(dǎo)函數(shù)的零點，求導(dǎo)后等價于與有兩個交點，結(jié)合單調(diào)性等函數(shù)特征畫出圖象判斷出，且；對于B，利用，推導(dǎo)，則可得；對于D，而等價于，構(gòu)造合適的函數(shù)進行分析.
【詳解】對于AC，，有兩個極值點且，
所以，有兩個零點，且在各自兩邊異號，
所以與有兩個交點，，
記，則，
易知：時，時，
所以在上遞增，在上遞減，
所以有最大值，且時，時，
又當(dāng)趨向于正無窮時，趨向于正無窮的速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過趨向于正無窮的速率，所以趨向于0，且，
由上可得的圖象如下，
所以當(dāng)且僅當(dāng)時與有兩個交點，且，故A，C正確；
對于B，又，
所以，即，故B錯誤.
對于D，令，則，所以，則，，
所以要證，只需證，
只需證，
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，即時，不等式得證，故D正確.
故選：B.
【點睛】方法點睛：根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)求解參數(shù)范圍，一般方法：
（1）轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，利用導(dǎo)數(shù)解決；
（2）轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點問題，數(shù)形結(jié)合解決問題；
（3）參變分離法，結(jié)合函數(shù)最值或范圍解決.
二、多選題
9. 下列不等式恒成立的有（ ）.
A. 當(dāng)時，
B. 當(dāng)時，
C. （其中，為自然對數(shù)的底數(shù)）
D. 當(dāng)時，
【答案】ABD
【解析】
【分析】分別構(gòu)造，，，，即可利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性得解.
【詳解】對于A，令，則，故在單調(diào)遞增，故，故，A正確，
對于B，設(shè)，則當(dāng)時在單調(diào)遞減，
當(dāng)時，在單調(diào)遞增，故，故，B正確，
對于C，令, ，當(dāng)在單調(diào)遞增，
當(dāng)在單調(diào)遞減，所以，故，故C錯誤，
對于D，令，則，
故在單調(diào)遞增，故，故，D正確，
故選：ABD
10. 已知函數(shù)，下列選項正確的是（ ）
A. 若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為
B. 若在區(qū)間上有極小值，則a的取值范圍為
C. 當(dāng)時，若經(jīng)過點可以作出曲線的三條切線，則實數(shù)m的取值范圍為
D. 若曲線的對稱中心為，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，切線，對稱中心問題.
【詳解】令
若在區(qū)間上單調(diào)遞減,
則在區(qū)間上小于或者等于零恒成立，
即恒成立，
即，又在區(qū)間單調(diào)遞增，
則
所以a的取值范圍為，故選項A錯誤.
若在區(qū)間上有極小值,
則在區(qū)間上有零點，且在零點左端小于零，在零點右端大于零，
則
解得a的取值范圍為.故選項B正確.
當(dāng)時,設(shè)經(jīng)過點作出曲線的三條切線切點為，則切線斜率為
切線為又切線經(jīng)過點，
則有三解，即有三解，
令
則當(dāng)時函數(shù)取極值，
則實數(shù)m取值范圍為，故選項C正確.
若曲線的對稱中心為,則即
解得.
故選：BCD.
11. 如圖，為的直徑，為上異于、的動點，平面，為的中點，且，，則（ ）
A. 的長等于點到直線的距離
B. 為二面角的平面角
C. 當(dāng)時，與平面所成角為
D. 過作平面平面，則平面與交點的軌跡為橢圓
【答案】AC
【解析】
【分析】利用線面垂直的性質(zhì)證明出，可判斷A選項；利用二面角的定義可判斷B選項；利用線面角的定義可判斷C選項；找出平面與的交點，并求其軌跡，可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，為的直徑，為上異于、的動點，則，
因為平面，平面，則，
因為，、平面，所以，平面，
因為平面，所以，，故的長等于點到直線的距離，A對；
對于B選項，因為，，所以，為二面角的平面角，B錯；
對于C選項，當(dāng)時，由于，則，
因為平面，平面，則，
所以，，
因為平面，則直線與平面所成角為，
因為，則，則，
故當(dāng)時，與平面所成角為，C對；
對于D選項，分別取、的中點、，連接、、，
取線段的中點，連接，如下圖所示：
因為、分別為、的中點，則，
因為平面，平面，所以，平面，
同理可證平面，且，
因為，、平面，所以，平面平面，
所以，平面即為平面，所以，平面與的交點為，
因為、分別為、中點，則，
因為，則，
因為為的中點，所以，，
又因為點為上異于、的動點，故點不與點、重合，
所以，過作平面平面，則平面與交點的軌跡為圓（除去點和點），D錯.
故選：AC.
三、填空題
12. 設(shè)等差數(shù)列前n項和為，若，則公差d取值范圍為__________．
【答案】或
【解析】
【分析】由題設(shè)得，即，由此推導(dǎo)的，即可求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，因為，
則，即，
則，，
故公差d的取值范圍為或.
故答案為：或
13. 下列說法：
①過點且在，軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為；
②已知雙曲線的漸近線方程為，則它的離心率；
③若關(guān)于的方程有實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為；
④一動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則該動圓圓心的軌跡方程為.
其中正確的序號是_____.
【答案】③
【解析】
【分析】分截距是否為0，求直線方程判斷①；根據(jù)雙曲線漸近線方程可求其離心率，判斷②；根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求參數(shù)范圍可判斷③；根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系可求動點的軌跡方程判斷④.
【詳解】對于①，當(dāng)直線在，軸上的截距均為0時，符合題意，此時直線方程為，
當(dāng)直線在，軸上的截距不為0時，設(shè)方程為，
將代入，則，即直線方程為，
即過點且在，軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為或，①錯誤；
對于②，雙曲線焦點在x軸上時，設(shè)雙曲線方程為，
雙曲線的漸近線方程為，則，
則它的離心率，
雙曲線焦點在y軸上時，設(shè)雙曲線方程為，
雙曲線的漸近線方程為，則，
則它的離心率，故②錯誤；
對于③，關(guān)于的方程有實數(shù)解，
即直線與半圓有公共點，
當(dāng)直線與半圓相切時，，當(dāng)直線過點時，，
故直線與半圓有公共點時，，③正確；
對于④，圓與圓的圓心距，
即兩圓內(nèi)切，切點為；
設(shè)動圓圓心為M，半徑為r，由題意得，，
則，即動點M在以為焦點的橢圓上，
該橢圓的長半軸長，半焦距長為，
即橢圓方程為，結(jié)合圖以及題意可知點不符合題意，
故動圓圓心的軌跡方程為，④錯誤，
故答案為：③
14. 已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是_______．
【答案】
【解析】
【分析】問題轉(zhuǎn)化為在上有解，分離參數(shù)，通過求導(dǎo)分析函數(shù)的最小值可得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】∵，∴，
由題意得，在上有解，即在上有解，
∴，，
設(shè)，則，
設(shè)，則，
∴在上為增函數(shù)，
∵，
∴當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，
∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
∴，
∴，故實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
四、解答題
15. 記是等差數(shù)列的前n項和，是等比數(shù)列，且滿足，，，.
（1）求和的通項公式；
（2）對任意的正整數(shù)n，設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式，求和公式，列方程組求解；
（2）利用分組求和，將奇數(shù)項、偶數(shù)項的和分別由等差、等比求和即可求出結(jié)果.
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
則，解得，
所以；
【小問2詳解】
由（1）得，
.
16. 如圖，在三棱臺中，上下底面分別為邊長是2和4的等邊三角形，平面，，為的中點，為線段上一點.

（1）若為的中點，證明：平面；
（2）是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，確定的位置；若不存在，說明理由.
【答案】（1）證明見解析
（2）存在，點為線段的三等分點
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，得線線垂直，進而結(jié)合線面垂直的判定即可求解，
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面法向量，即可根據(jù)向量的夾角求解.
【小問1詳解】
證明：連接，則四邊形為平行四邊形，
由于平面，故平面，平面,
故,結(jié)合為的中點，故為等腰三角形，
可得，，所以，即，
因為，分別為，的中點，所以，所以，
因為平面，平面，所以，易知，
且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，又平面，所以，
又，所以平面.
【小問2詳解】
以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，，，.

設(shè)，，所以，
又，
設(shè)平面的法向量為，
所以，令，則，
因為，設(shè)直線與平面所成角為，
則，
整理得，即或，
所以，當(dāng)點為線段的三等分點時，
直線與平面所成角的正弦值為.
17. 已知函數(shù)，其中．
（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；
（2）當(dāng)時，若在區(qū)間上的最小值為，求a的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，分別求出及，即可寫出切線方程；
（2）計算出，令，解得或，分類討論的范圍，得出的單調(diào)性，由在區(qū)間上的最小值為，列出方程求解即可．
【小問1詳解】
當(dāng)時，，則，，所以，
所以曲線在處的切線方程為：，即．
【小問2詳解】
，令，解得或，
當(dāng)時，時，，則在上單調(diào)遞減，
所以，考慮，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以的極大值為，所以由得；
當(dāng)時，時，，則在上單調(diào)遞減，
時，，則在上單調(diào)遞增，
所以，則，不合題意；
當(dāng)時，時，，則上單調(diào)遞減，
所以，不合題意；
綜上，．
18. 已知點是橢圓：（）上一點，的焦距為2.
（1）求的方程；
（2）過的右焦點作斜率不為0的直線，交于，兩點，，是的左、右頂點，記直線，的斜率分別為，.
（?。┣蟮闹?；
（ⅱ）設(shè)為直線與直線的交點，記的面積為，的面積為，求的最小值.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）依題意列式即可求解；
（2）（?。┰O(shè)直線的方程為，，，直曲聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，代入斜率公式，化簡可得答案；
（ⅱ）設(shè)直線的直線方程為，則由（?。┲薪Y(jié)論可得直線的方程為，聯(lián)立解得的橫坐標(biāo)為4，利用三角形的面積公式及（?。┲许f達(dá)定理化簡可得，當(dāng)時，可得的最小值.
【小問1詳解】
由題意知，解得，
所以橢圓的方程為.
【小問2詳解】

（?。┰O(shè)直線的方程為，，，
由得，，
所以，，
所以，
由（1）得，，
則
.
（ⅱ）設(shè)直線的直線方程為，
由（?。┛芍?br>則直線的方程為，聯(lián)立解得的橫坐標(biāo)為4.
所以
由（?。┲?，
，
所以
，
所以當(dāng)時，的最小值為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：（2）（ⅱ）設(shè)直線為，利用（?。┲薪Y(jié)論得直線為，聯(lián)立解得的橫坐標(biāo)，利用三角形的面積公式及（?。┲许f達(dá)定理化簡可得，可得的最小值.
19. 已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)，），函數(shù)的極值點為0．
（1）求的值；
（2）證明：對；
（3）已知數(shù)列的前項和，證明：．
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）運用極值點的性質(zhì)，借助導(dǎo)數(shù)可解；（2）通過構(gòu)造新函數(shù)，研究其單調(diào)性來證明不等式；（3）先根據(jù)數(shù)列前n項和求出數(shù)列通項公式，再結(jié)合前面的結(jié)論進行放縮，結(jié)合等比數(shù)列求和證明不等式.
【小問1詳解】
由，得，
因為函數(shù)的極值點為0，所以，解得．
若，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．所以0是函數(shù)的極值點．
綜上所述，．
【小問2詳解】
令，則．
因為，在上單調(diào)遞增，，
所以，使得．
當(dāng)時，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，單調(diào)遞增．所以的極小值為，也是的最小值．
由，得，且，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，但，所以等號不成立，即．
所以，即．
【小問3詳解】
證明：當(dāng)時，，
當(dāng)時，，滿足上式，
所以．
由（2）知對，即，
取，則，所以，即．
所以．
【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)證明數(shù)列相關(guān)不等式，常根據(jù)已知函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)的不等式代替函數(shù)不等式中的自變量，通過多次求和（常常用到裂項相消法求和）達(dá)到證明的目的，此類問題一般至少有兩問，已知的不等式常由第一問根據(jù)特征式的特征而得到.

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