永州市2022年下期高二期末質量監(jiān)測試卷數(shù)學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1. 下列直線經(jīng)過第一象限且斜率為-1的是（）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意利用直線方程的斜截式即可選出答案．【詳解】滿足題意的直線方程通式為：故選：B2. 已知，，且，則（）A. 5 B. 4 C. 3 D. 2【答案】D【解析】【分析】利用向量垂直充要條件列出關于的方程，解之即可求得的值.【詳解】，，且，則，則，解之得故選：D3. 若雙曲線：的虛軸長為8，漸近線方程為，則雙曲線C的方程為（）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)虛軸、漸近線的定義求解.【詳解】由題可得解得，所以雙曲線方程為，故選:C.4. 設數(shù)列的前項和為，若，，則（）A. 27 B. 64 C. 81 D. 128【答案】C【解析】【分析】利用題給條件即可依次求得的值.【詳解】數(shù)列的前項和為，，則，，，.故選：C.5. 如圖，在四面體ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，點M是EG和FH的交點，對空間任意一點О都有，則（）A.  B.  C. 2 D. 4【答案】D【解析】【分析】證明出四邊形平行四邊形，為中點，利用空間向量基本定理求解即可.【詳解】E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，故，，所以四點共面，且四邊形為平行四邊形，故為中點，因為，，所以，故故選：D6. 已知拋物線C的焦點為F，準線為l，過F的直線m與C交于A、B兩點，點A在l上的投影為D，若，則（）A.  B. 2 C.  D. 3【答案】B【解析】【分析】結合圖像，分析出點為的中點，從而利用拋物線的定義即可求得結果.【詳解】過點作，垂足為，作，垂足為，如圖，.又因為，所以四邊形為矩形，所以，因為，，所以點為的中點，所以，故，由拋物線的定義可得，，所以，即.故選：B.7. 已知，，是圓：上的動點，則外接圓的周長的最小值為（）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意確定圓：和圓，有公共點，結合圓與圓的位置關系列出不等式可求解.【詳解】中點橫坐標為，所以外接圓的圓心在上，設圓心為，則半徑為，圓心距，圓，又因為在圓上，所以圓與圓有公共點，所以，顯然成立，兩邊同時平方可得，，所以，所以所以當且僅當解得時取得等號，所以周長的最小值為，故選:C.8. 如圖，瑞典數(shù)學家科赫在年通過構造圖形描述雪花形狀．其作法是：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊．反復進行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線．設原正三角形（圖①）的邊長為，則圖④中圖形的面積為（）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】設圖①、②、③、④中正三角形的邊長分別為、、、，圖形面積依次記為、、、，圖形分別記為、、、，圖形的邊數(shù)分別記為、、、，易得，，，利用累加法可求得的值.【詳解】設圖①、②、③、④中正三角形的邊長分別為、、、，圖形面積依次記為、、、，圖形分別記為、、、，圖形的邊數(shù)分別記為、、、，觀察圖形可知，且，，且，由題意可知，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則，數(shù)列是首項為公比為的等比數(shù)列，，由圖可知，圖形是在圖形的每條邊上生成一個小三角形（去掉底邊），共增加了個邊長為的正三角形，所以，，由累加法可得.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9. 已知a，b，c為非零實數(shù)，則下列說法正確的是（）A. 是a，b，c成等差數(shù)列的充要條件B. 是a，b，c成等比數(shù)列的充要條件C. 若a，b，c成等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列D. 若a，b，c成等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)等差中項與等比中項對選項一一驗證即可得出答案.【詳解】對于選項A：根據(jù)等差中項即可得出是a，b，c成等差數(shù)列的充要條件，故A正確；對于選項B：，即，又a，b，c為非零實數(shù)，所以根據(jù)等比中項即可證明a，b，c成等比數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，只能證明，即是a，b，c成等比數(shù)列的充分不必要條件，故B錯誤；對于選項C：若a，b，c成等比數(shù)列，則，則，則，，成等比數(shù)列，故C正確；對于選項D：若a，b，c成等差數(shù)列，則，無法得到，故D錯誤；故選：AC.10. 如圖，一個底面半徑為的圓柱被與其底面所成的角為的平面所截，截面為橢圓，若，則（）A. 橢圓的短軸長為B. 橢圓的離心率為C. 橢圓的方程可以為D. 橢圓上的點到焦點的距離的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】利用圖中的幾何性質即可求出，即可判斷的正誤，利用二次函數(shù)的性質即可求出橢圓上的點到焦點的距離的最小值.【詳解】設橢圓的長半軸為，短半軸為，由已知可知，解得，∵，∴橢圓的短軸長為，故A正確；則橢圓的標準方程為，故C不正確；∵，∴，∴，故B正確；橢圓上的一點為,其中一個焦點坐標為,且，則該拋物線的對稱軸為，故函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，當有最小值，此時，即，故D正確.故選：ABD.11. 已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過點作直線與雙曲線的右支交于，兩點，若，則（）A.  B. 點的橫坐標為C. 直線的斜率 D. 的內切圓的面積【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義得到方程組，求出、，即可判斷A，再由等面積法求出，代入雙曲線方程求出，即可判斷B，再求出直線的斜率，即可判斷C，利用直角三角形即內切圓的性質求出內切圓的半徑，即可判斷D【詳解】由雙曲線：可得，如圖所示，由題意知，解得，故A正確；在中，由等面積法知，解得，代入雙曲線方程得，又因為點在雙曲線的右支上，故，故B正確；由圖知當點在第一象限，，由對稱性可知，若點在第四象限，則，故C不正確；設的內切圓為，圓切于，連接易得，，四邊形是正方形，故的內切圓半徑，對應面積為，故D正確．故選：ABD12. 在長方體中，，E，F為的兩個三等分點，點P是長方體表面上的動點，則（）A. 的最小值為 B. 的最大值為2C. 的最小值為30° D. 的最大值為90°【答案】BD【解析】【分析】建立空間直角坐標系，得到點的坐標，分析出P位于長方體的四個側面時情況相同，P位于長方體的上下兩個平面時情況相同，分兩種情況進行求解出，得到最值，并分析出的最大值，舉出反例得到C錯誤.【詳解】以A為坐標原點，分別以為軸，建立空間直角坐標系，因為，所以，不妨設，故，，由對稱性可知：P位于長方體的四個側面時，所處情況相同，不妨設，則，故當時，的最小值為，此時當或2，或1時，的最大值為2，由對稱性可知：P位于長方體的上下兩個平面時，所處情況相同，不妨設，則，故當時，的最小值為0，當或2，時，的最大值為2，綜上：的最小值為0，的最大值為2，A錯誤，B正確；因為的最小值為0，故的最小值為0，因為，所以的最大值為90°，D正確；當點與點重合時，此時，C錯誤.故選：BD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 已知直線與圓交于，兩點，則__________．【答案】【解析】【分析】求出圓心到直線的距離，再由計算可得.【詳解】圓的圓心坐標為，半徑，圓心到直線的距離，所以.故答案為：14. 已知數(shù)列滿足：，，，則__________．【答案】1或8【解析】【分析】根據(jù)遞推關系，對分奇偶即可逐項求解得.【詳解】①若為偶數(shù)，則由可得，若為偶數(shù)，則由可得，進而或者，均滿足要求，若為奇數(shù)，則由可得，不符合要求，舍去，②若為奇數(shù)，則由可得，不符合要求，舍去，綜上或，故答案為：1或815. 在中國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，，，，均與曲池的底面垂直，且，每個底面扇環(huán)對應的兩個圓的半徑分別為1和2，對應的圓心角為90°，則直線與所成角的余弦值為_____．【答案】##【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量即可求得直線與所成角的余弦值.【詳解】延長AB交CD于O，過點O作平面，以O為原點，分別以OD，OA，OT所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系.則，，，，則，，則，則直線與所成角的余弦值.故答案為：16. 已知雙曲線的左、右頂點分別為、，是在第一象限的圖象上的點，記，，，若，則雙曲線的離心率__________．【答案】【解析】【分析】設點，則，，且，分析可得，，，根據(jù)可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】設點，則，，且，可得，易知點、，所以，，，則，，，所以，，所以，，則，可得.因此，雙曲線的離心率為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17. 如圖，在正方體中，為的中點．（1）證明：直線平面；（2）求直線與平面所成角正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先利用中位線定理證得，再利用線面平行的判定定理即可得證；（2）建立空間直角坐標系，分別求出與平面的法向量，從而利用空間向量夾角余弦的坐標表示即可得解.【小問1詳解】連接直線BD，設直線BD交直線AC于點O，連接EO，如圖，因為在正方體中，底面是正方形，所以O為BD中點，又因為E為的中點，所以，又因為平面，平面，所以直線平面．【小問2詳解】根據(jù)題意，以DA為x軸，DC為y軸，為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，如圖，不妨設正方體的棱長為2，則，，，，故，，，設平面的法向量，則，即，令，則，，故，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．18. 已知等差數(shù)列的前項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算即可求解公差和首項，進而可求通項，（2）根據(jù)分組求和，結合等差數(shù)列以及等比數(shù)列的求和公式即可求解.【小問1詳解】設數(shù)列的首項為，公差為，由題意得,解得：，所以【小問2詳解】因為所以．19. 已知拋物線：焦點為，點在上，且（為坐標原點）．（1）求拋物線的標準方程；（2）過點的直線與拋物線交于點A，B兩點，若為定值，求實數(shù)的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由先表示出點坐標，代入拋物線的方程求，得出拋物線的標準方程；（2）設過的直線為，與拋物線的方程聯(lián)立，得出韋達定理及判別式大于零，把韋達定理代入為定值，求出實數(shù)的值.【小問1詳解】已知點在上，且，，則點在線段的中垂線上，即，把點代入拋物線的方程，則，，解得，所以拋物線的標準方程為．【小問2詳解】設過的直線為，，聯(lián)立，得，則，即，且，所以因為為定值，所以，，解得或（舍去）當，時，所以當為定值時，．20. 如圖，在三棱錐中，，平面平面，，，．（1）證明：平面；（2）若點D在線段AC上，直線PD與直線BC所成的角為，求平面DBP與平面CBP夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由勾股定理證明，由已知面面垂直證明線面垂直，再到線面垂直，從而證得結果；（2）建立空間直角坐標系, 由直線PD與直線BC所成的角，求得點坐標，再求平面DBP與平面CBP的法向量，得出兩平面夾角的余弦值．【小問1詳解】證明：在中，因為，，，所以，所以，因為，平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又，，平面，所以平面．【小問2詳解】以B為坐標原點，BA為x軸正方向，BC為y軸正方向，過B垂直于平面ABC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意得，，，平面平面，平面平面，過點作于點，則平面ABC，，，則，所以，，，，設點，，則，所以，，，所以點坐標為，所以因為直線與直線所成的角為，，解得所以點坐標為，則．設平面的法向量為則，取，可得．因平面，所以平面的一個法向量為，所以所以平面與平面夾角的余弦值．21. 設數(shù)列的前項之積為，且滿足．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）記，證明：．【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）法一：根據(jù)，得到，變形后得到，證明出結論，并求出通項公式；法二：由題目條件得到，得到以3為首項，以2為公差的等差數(shù)列，求出，進而求出，并證明出數(shù)列是等差數(shù)列；（2）利用放縮法得到，裂項相消法求和，得到.【小問1詳解】方法一：當，得，當時，①②兩式相除可得：即，又，故，變形為：，因為，所以是以為首項，1為公差的等比數(shù)列．所以化簡可得法二：因為，，所以即令，則，所以以3為首項，以2為公差的等差數(shù)列，所以，即，所以．又因為滿足上式，所以，所以，故，故數(shù)列是等差數(shù)列．【小問2詳解】因為，所以22. 設為圓：上的動點，點，且線段的垂直平分線交于點，設點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）已知，，是曲線上異于A的不同兩點，是否存在以為圓心的圓，使直線AM，AN都與圓D相切，且三邊所在直線的斜率成等差數(shù)列?若存在，請求出圓D的方程；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在圓，圓的方程為．【解析】【分析】（1）利用橢圓定義即可求得曲線的方程；（2）假設存在以為圓心的半徑為的圓符合題意，利用題給條件和設而不求的方法列方程求得的值即可解決.【小問1詳解】圓的方程化為，所以圓心，半徑．因為在的垂直平分線上，所以，所以又因為，則，所以Q的軌跡是以E，F為焦點，長軸長為4的橢圓，由，，得．所以的方程為．【小問2詳解】假設存在以為圓心的半徑為的圓符合題意．設圓方程為，，，設直線的方程為，直線的方程為直線與圓相切，得，直線與圓相切，，所以，則，由得，由于點，均在橢圓上，所以，，又，故在上式中以代，可得，所以直線的斜率以，，按照一定次序成等差數(shù)列，得或故，因此，所以存在圓，圓的方程為．
 

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