注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的姓名、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米的黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區(qū)”.
2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案：非選擇題用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡的對(duì)應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效.
3.考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故選：C.
2. 若直線的方向向量為，且過點(diǎn)，則直線的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因直線的方向向量為，則直線的斜率
于是直線的方程為，即.
故選:A.
3. 成都市某高中為鼓勵(lì)全校師生增強(qiáng)身體素質(zhì)，推行了陽光校園跑的措施，隨機(jī)調(diào)查了10名同學(xué)在某天校園跑的時(shí)長（單位：分鐘），得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：20，25，32，38，40，43，56，62，67，74，則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是（ ）
A. 56B. 59C. 62D. 64.5
【答案】B
【解析】數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)共有10個(gè)，且為從小到大排列，
這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為第7個(gè)數(shù)據(jù)56和第8個(gè)數(shù)據(jù)62的平均數(shù)59，
故選:B.
4. 設(shè)為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線，且，
，雙曲線的方程為.
故選：B.
5. 不透明的口袋里有4個(gè)白球，2個(gè)紅球，這6個(gè)球除了顏色外完全相同，從中不放回地抽取2個(gè)球，則抽出的2個(gè)球均為白球的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】記4個(gè)白球?yàn)椋?個(gè)紅球?yàn)椋?br>從4個(gè)白球，2個(gè)紅球中不放回抽取2個(gè)球有:
，共種不同的取法，
其中抽出2球均為白球有共種不同的取法，
所以抽出的2個(gè)球均為白球的概率.
故選：C.
6. 已知圓，直線，若圓上至少有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】由圓，可得圓心，半徑為，
所以圓心到直線的距離為，
由圓上至少有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，
所以.
故選：A.
7. 如圖,在平行六面體中,,，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)，
，
.
，.
，
異面直線與所成角的余弦值.
故選：D.
8. 設(shè)為雙曲線上的兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)雙曲線上的點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，
則，
則，且，
兩式相減，得，即，
則直線斜率，直線的方程為：，
由，消去，得，解得，
.
故選：B
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求；全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 在空間直角坐標(biāo)系中，，則（ ）
A.
B. 點(diǎn)到直線的距離為
C.
D. 直線與平面所成角的正弦值為
【答案】BC
【解析】A選項(xiàng)：，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：取
，
點(diǎn)到直線的距離，故B正確；
C選項(xiàng)：，故C正確；
D選項(xiàng)：，設(shè)平面的法向量為，
故，取，則，故D錯(cuò)誤；
故選:BC.
10. 已知事件，事件發(fā)生的概率分別為，則下列說法正確的是（ ）
A. 若事件與事件互斥，則
B. 若事件與事件相互獨(dú)立，則
C. 若事件發(fā)生時(shí)事件一定發(fā)生，則
D. 若，則事件與事件相互獨(dú)立
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A，事件與事件互斥，，故A正確；
對(duì)于B，事件與事件相互獨(dú)立，，
，故B正確；
對(duì)于C，若事件發(fā)生時(shí)事件一定發(fā)生，則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因則事件與事件相互獨(dú)立，
故事件與事件相互獨(dú)立，故D正確.
故選:ABD.
11. 已知橢圓與雙曲線的左、右焦點(diǎn)相同，分別為，橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，且，橢圓與雙曲線的離心率分別為，則下列說法正確的是（ ）
A. B. 當(dāng)時(shí)，
C. 的最小值為D. 的最大值為
【答案】ACD
【解析】A選項(xiàng)：為焦點(diǎn)三角形，，故A正確；
B選項(xiàng)：根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，可得，，
在中，由余弦定理，可得：，
，整理得，
，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)等號(hào)成立，
故C正確；
D選項(xiàng)：，故取，
，當(dāng)且僅當(dāng),
即，此時(shí)時(shí)取到等號(hào)，故D正確；
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 設(shè)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為11，則的平均數(shù)為______.
【答案】90
【解析】因的平均數(shù)
則的平均數(shù)為：.
故答案為：90.
13. 過三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.
【答案】
【解析】設(shè)圓的方程為，
代入三點(diǎn)，有
解得
故圓的方程為,
故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：
14. 已知橢圓的上頂點(diǎn)為分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作線段的垂線，垂線與橢圓交于兩點(diǎn)，若橢圓的離心率為，且，則的周長為______.
【答案】26
【解析】離心率，，
，又因?yàn)闉榈冗吶切危?br>設(shè)，
過點(diǎn)作線段的垂線，的傾斜角為，
直線的方程為，代入中，
得，
周長.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. “世界圖書與版權(quán)日”又稱“世界讀書日”，2024年4月23日是第29個(gè)“世界讀書日”.自“世界讀書日”確定以來，某高校每年都會(huì)舉辦讀書知識(shí)競賽活動(dòng)來鼓勵(lì)該校學(xué)生閱讀，現(xiàn)從參加競賽學(xué)生中抽取100人，將他們的競賽成績分成六組：第1組40,50，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求這100名學(xué)生成績的眾數(shù)和平均數(shù)（取各組區(qū)間中間值計(jì)算）；
（2）已知成績落在的學(xué)生平均成績?yōu)?2，方差為9，落在的學(xué)生平均成績?yōu)?7，方差為4，求這兩組成績的總體平均數(shù)和總體方差.
解：（1）眾數(shù)：75，
第1至第6組的頻率分別為，
平均數(shù)：；
（2）根據(jù)題意可知，成績落在的學(xué)生人數(shù)為20人，成績落在的學(xué)生人數(shù)為30人，
總體平均數(shù)：，
總體方差：.
16. 已知圓是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為.
（1）當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求切線的方程；
（2）當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求四邊形面積的最小值.
解：（1）由圓，可得圓心，半徑，
點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為，
①當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，與圓相切，滿足題意，；
②當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，此時(shí)切線方程為，
即：，設(shè)圓心到切線的距離為，根據(jù)題意可得：，
，
此時(shí)，切線方程為，化簡，得，
切線方程為或；
（2）為公共邊，，
，
又當(dāng)最小時(shí)，最小，
由題意可知，當(dāng)時(shí)，最小，
此時(shí)，，
，
四邊形面積的最小值為.
17. 甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃一次，規(guī)則如下：若命中，則此人繼續(xù)投籃一次，若未命中，則換對(duì)方投籃一次.已知甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為，甲、乙每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立，第一次投籃者為甲.
（1）求第3次投籃者為乙的概率；
（2）求前4次投籃中甲投籃次數(shù)不少于3次的概率.
解：（1）設(shè)事件"甲第次投籃投進(jìn)"，事件"乙第次投籃投進(jìn)"，事件"第三次投籃者為乙"，
根據(jù)題意可知，與互斥，
；
（2）設(shè)事件"前4次投籃中甲投籃次數(shù)不少于3次"，根據(jù)題意可知：
，
事件互斥，且每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立，
.
18. 在平行四邊形中（如圖1）,為的中點(diǎn),將等邊沿折起，連接，且（如圖2）.
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）點(diǎn)在線段上,若點(diǎn)到平面的距離為,求平面與平面所成角的余弦值.
解：（1）連接
在中，，
，
在中，，
同理可得：，
平面
（2）設(shè)為的中點(diǎn)，，
平面平面，
平面平面，
又平面平面平面，
平面以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過點(diǎn)且平行于的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，
，
設(shè)平面的法向量為，
，，
取，
設(shè)直線與平面所成角為，
（3）設(shè)，
，
，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
，
，
是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，易求平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
，
.取，
設(shè)平面與平面所成的角為，
.
19. 一動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切.
（1）設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為，求曲線的方程；
（2）①若點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線與曲線分別交于兩點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)；
②設(shè)和的面積分別為和，求的最大值.
解：（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，動(dòng)圓與圓外切，，
又動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且圓在圓內(nèi)部，，
，又，
即，
故動(dòng)圓圓心的軌跡是一個(gè)橢圓，且故得，
動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為；
（2）①如圖，設(shè)點(diǎn)，因
則直線的方程為，
代入橢圓中，得：，
依題意，，解得：，同理可得：，
，
直線方程為，
整理得：，
直線恒過定點(diǎn)；

②如圖，根據(jù)①已得：直線恒過定點(diǎn)，且，
即點(diǎn)到直線的距離為點(diǎn)到直線的距離的3倍，故，
，
，
設(shè)直線，代入橢圓中，
得：，
，
，
設(shè)則，
在上單調(diào)遞增，，
，
的最大值為3.

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