1． 本試卷滿分 150 分， 考試時(shí)間 120 分鐘．
2． 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．
3． 回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需
改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫
在本試卷上無效．
4． 考試結(jié)束后， 將本試卷和答題卡一并交回．
一、單項(xiàng)選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分． 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，
只有一項(xiàng)符合題目要求．
1. 已知集合 , ，則集合 的真子集個(gè)數(shù)為（ ）
A. 3 B. 5 C. 7 D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】由 知道 為奇數(shù)，從而求出集合 ，然后由集合的真子集公式求得結(jié)果.
【詳解】∵ ，∴ 為奇數(shù)，∴ ，∴集合 中有 3 個(gè)元素，∴集合 的真子集個(gè)數(shù)為：
.
故選：C
2. 若 為第二象限角，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取 可判斷 AB 選項(xiàng)的正誤；利用二倍角的正弦公式可判斷 CD 選項(xiàng)的正誤.
【詳解】取 ，則 為第二象限角， ，AB 選項(xiàng)錯(cuò)誤；
因?yàn)?為第二象限角，則 ， ，所以， ，C 錯(cuò) D 對(duì).
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故選：D.
3. 設(shè) 為非零向量，則 “存在 ，使得 ” 是 “ ” 的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)向量共線定理和平面向量 數(shù)量積的定義，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.
【詳解】由題意，存在正數(shù) ，使得 ，所以 ， 同向，
所以 ，即充分性是成立的；
反之，當(dāng)非零向量 夾角為銳角時(shí)，滿足 ，而 不成立，即必要性不成立，
所以“存在 ，使得 ” 是 “ ” 的充分不必要條件.
故選：A.
4. 在等比數(shù)列 中，若 ，則 （ ）
A. 1 B. 9 C. 1 或 9 D. 或 9
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比中項(xiàng)運(yùn)算求解，并根據(jù) 同號(hào)取舍.
【詳解】因 數(shù)列 為等比數(shù)列，
則 ，則 ，
又因?yàn)?，所以 或 9，
且 ，可知 同號(hào)，所以 .
故選：A.
5. 已知隨機(jī)變量 的分布列如下：
2 3 5
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若 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)以及期望的計(jì)算公式列式求解即可.
【詳解】由分布列可得 ，解得 ，
由期望可得 ，解得 .
故選：C.
6. 若函數(shù) 的圖像關(guān)于直線 對(duì)稱，則函數(shù) 圖像的一條對(duì)
稱軸為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由輔助角公式（正弦）化簡函數(shù) ，由函數(shù)對(duì)稱軸求出 的值.由輔助角公式（余弦）化簡函
數(shù) ，由 的值求出函數(shù)的對(duì)稱軸.
【詳解】 ，
由題意可知 是 的解，即 ，
∴ ，當(dāng) 時(shí)， ，
，
∴令 ，即 ， ，
∴函數(shù) 的對(duì)稱軸為 ，
當(dāng) 時(shí)， .
故選：C.
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7. 已知雙曲線 的漸近線與橢圓 在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為 ，
是橢圓 的左、右焦點(diǎn)，且 ，則雙曲線 的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由橢圓方程可知 的長，由垂直可知 ，然后設(shè)點(diǎn) 坐標(biāo)，得到方程組，解得點(diǎn)
坐標(biāo)，然后得到雙曲線的漸近線斜率即 ，然后由雙曲線離心率公式求得結(jié)果.
【詳解】橢圓 中， ， ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
設(shè) ，則 ，解得 ，即 ，
∴雙曲線的漸近線的斜率 ，
∴雙曲線的離心率 .
故選：A.
8. 已知函數(shù) 的定義域?yàn)?，若函數(shù) 是奇函數(shù)，
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． 記 的導(dǎo)函數(shù)為 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，周期性，結(jié)合方程組法，以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則逐一求值即可.
【詳解】由 ，得 ；
因?yàn)?是奇函數(shù)，所以 ，
由 ，得 ，則 ；
由 ，得 ，所以 ， .
由 ，得 ，由 ，得 ，
由 ，得 ，所以 .
因此， .
故選：B.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分． 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，
有多項(xiàng)符合題目要求． 全部選對(duì)得 6 分， 部分選對(duì)得部分分， 有選錯(cuò)得 0 分．
9. 某班級(jí)的一次測驗(yàn)后， 隨機(jī)抽取 7 名同學(xué)的成績作為樣本， 這 7 名同學(xué)的成績分別為 80， 82， 83
， 84， 85， 86， 88， 則（ ）
A. 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)， 估計(jì)這次考試全班成績的上四分位數(shù)為 86
B. 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)， 估計(jì)這次考試全班成績的標(biāo)準(zhǔn)差為 6
C. 當(dāng)該樣本中加入一個(gè) 84 形成新樣本時(shí)，新樣本數(shù)據(jù)的方差小于原樣本數(shù)據(jù)的方差
D. 若該班成績 服從正態(tài)分布 ，用這 7 名同學(xué)的成績估計(jì)總體，則有
【答案】ACD
【解析】
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【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義可判斷 A，先計(jì)算平均數(shù)，再計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差可判斷 B，根據(jù)方差公式可判斷 C，
根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷 D.
【詳解】選項(xiàng) A：因?yàn)?，所以上四分位數(shù)為第 6 個(gè)數(shù)，即 86，故 A 正確；
選項(xiàng) B： ，
，
則標(biāo)準(zhǔn)差 ，故 B 錯(cuò)誤；
選項(xiàng) C：因?yàn)樾缕骄鶖?shù)為 84，所以新方差為 ，故 C 正確；
選項(xiàng) D： ，因?yàn)?， ，所以 ，故 D 正確.
故選：ACD.
10. 如圖 1，在 中， 分別在 上，且 ．將
沿 翻折得到圖 2，其中 ．記三棱錐 外接球球心為 ，球 表面積為 ，
三棱錐 外接球球心為 ，球 表面積為 ，則在圖 2 中，下列說法正確的有（ ）
A. 平面
B. 直線 與 所成角的正切值為
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
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【分析】根據(jù)勾股定理和線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理可判斷 A，根據(jù) ，確定 為異面
直線 與 所成角的平面角，求解后可判斷 B；確定 為 的中點(diǎn)， 為 的中點(diǎn)，可得
，又 與 不平行，從而可判斷 C；根據(jù)球的表面積公式計(jì)算即可判斷 D.
【詳解】選項(xiàng) A：由圖 1，在直角 中， ， ，
因?yàn)?，所以 ，且 ，
， ， ， ，
由圖 2，在直角 中， ，
因?yàn)?，且 ，所以 ，
所以在直角 中， ，又 ，
所以 ，所以 ，
又因?yàn)?， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ；
中， ， ， ，所以 ，
即 ，又 ，所以 平面 ，故 A 正確；
選項(xiàng) B：因?yàn)?，所以 即為所求，
因?yàn)?平面 ， 平面 ，所以 ，
所以在直角 中， ，故 B 正確；
選項(xiàng) C：由上可知 平面 ， ，則 的中點(diǎn)到 距離相等，
因?yàn)?平面 ， ，則 的中點(diǎn)到 距離相等，所以 為 的中點(diǎn)，
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同理可知 為 的中點(diǎn)，
所以 ，而 與 不平行，所以 與 不平行，故 C 錯(cuò)誤；
選項(xiàng) D：由選項(xiàng) C 可知：球 的半徑 ，球 的半徑 ，
所以 ，故 D 正確.
故選：ABD.
11. 已知正數(shù) 滿足 ，則下列不等關(guān)系正確的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】令 ，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可判斷 AB，利用作商法可判斷 C，利用基本不等式可
判斷 D.
【詳解】令 ，則 ， ， ， .
A 選項(xiàng)： ，故 A 正確；
B 選項(xiàng)： ，故 B 錯(cuò)誤；
C 選項(xiàng)： ，故 ； ，故 ；從而
，故 C 正確；
D 選項(xiàng)：由 A 知 ，則 ，故 D 正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共 3 小題， 每小題 5 分， 共 15 分．
12. 直線 被圓 截得的弦長為_____．
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【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意先求圓心到直線的距離，結(jié)合垂徑定理求弦長.
【詳解】圓 圓心為 ，半徑 ，
則圓心 到直線 的距離 ，
所以所求弦長為 .
故答案為： .
13. 某年級(jí)將甲、乙、丙三位體育老師分配到 5 個(gè)不同班級(jí)指導(dǎo)學(xué)生體育活動(dòng)，要求每位體育老師至少指
導(dǎo)一個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)只有一位體育老師指導(dǎo)，則不同的分配方案有_____種．
【答案】150
【解析】
【分析】先將 5 個(gè)班級(jí)分組，再進(jìn)行分配即可.
【詳解】將 5 個(gè)班級(jí)分成三組，有 和 兩種類型，
故有 種不同的分配方案.
故答案為：150.
14. 如圖，邊長為 的一組正三角形 的底邊 依次排列在 軸上，其中 與坐標(biāo)
原點(diǎn) 重合． 若所有正三角形頂點(diǎn) 在第一象限，且均落在拋物線 上，則第 個(gè)正三角形
的邊長 _____．
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【答案】
【解析】
【 分 析 】 為 數(shù) 列 的 前 項(xiàng) 和 ， 則 ， 得 到 ， 結(jié) 合
，化簡得到 ，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.
【詳解】記 為數(shù)列 的前 項(xiàng)和，則 ，
即 ，整理得 ，
當(dāng) 時(shí)，可得 ，
所以 ，即 ，
因?yàn)?，所以 ，
又因?yàn)?，即數(shù)列 是以 為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列，
所以數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 ．
故答案為： .
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分． 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 如圖，在四棱錐 中， ， ， ， ，二面
角 大小 ．
（1）求 的長度；
（2）證明： 平面 ．
【答案】（1）2 （2）證明見詳解
【解析】
第 10頁/共 19頁
【分析】（1）取 中點(diǎn)，證明 ， ，求出 .由二面角的定義得到 ，由
余弦定理求出 的長；
（2）由（1）可知 ， 平面 ，從而得到 ，然后由線面垂直的判定即可得到
平面 .
【小問 1 詳解】
取 中點(diǎn) ，則 ，
∴ ，又∵ 且 ，
∴四邊形 為矩形，即 且 ，
又∵ ，∴ 且 ，
∵平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，
∴二面角 為 ，即 ，
在 中， .
【小問 2 詳解】
由（1）可知 ，∴ ，
又∵ ， ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴ ，
又 平面 ， 平面 ， ，
∴ 平面 .
16. 2025 年春晚最火的節(jié)目無疑是機(jī)器人扭秧歌． 其中表演的機(jī)器人出自宇樹科技， 宇樹科技是一家專注
于高性能四足機(jī)器人研發(fā)和生產(chǎn)的中國科技公司． 該公司以其創(chuàng)新的四足機(jī)器人在全球范圍內(nèi)廣受關(guān)注，
主要應(yīng)用于教育、科研、娛樂和工業(yè)等領(lǐng)域，其中四大產(chǎn)品之一的機(jī)器人 Unitree A1 具備較強(qiáng)的負(fù)載能里
和環(huán)境適應(yīng)性， 可用于巡檢與監(jiān)控、物流和運(yùn)用、安防與救援． 現(xiàn)統(tǒng)計(jì)出機(jī)器人 Unitree A1 在某地區(qū) 2024
年 2 月到 6 月的銷售量如下表所示：
第 11頁/共 19頁
月份
2 3 4 5 6
銷量
42 53 66 109
用最小二乘法得到 Unitree A1 的銷售量 關(guān)于月份 的回歸直線方程為 ，且相關(guān)系數(shù) ，
銷量 的方差 ．
（1）求 的值(結(jié)果精確到 0.1)；
（2）求 的值，并根據(jù)（1）的結(jié)果計(jì)算 5 月銷售量的殘差．
附： 回歸系數(shù) ，相關(guān)系數(shù) ．
【答案】（1）
（2） ；殘差為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)可得 ， ， ，
代入即可求 的值；
（2）根據(jù)線性回歸方程必過樣本中心點(diǎn)求 的值，令 ，可得 ，即可得殘差.
【小問 1 詳解】
由表可得： ， ，
因?yàn)?，可得 ，
又因?yàn)?，
第 12頁/共 19頁
可得 ，
所以 .
【小問 2 詳解】
由表可知： ，
由（1）可知回歸直線方程為 ，且 ，
則 ，解得 ，
此時(shí) ， ，可得 ，符合題意，
所以 ，
對(duì)于回歸直線方程 ，令 ，可得 ，
所以 5 月銷售量的殘差 .
17. 已知函數(shù) ，若 ，且對(duì) 都有 ．
（1）求 的解析式；
（2）若函數(shù) ，且過點(diǎn) 有 3 條直線與函數(shù) 的圖象相切．求 的
取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程求得 ，從而求得 的解析式.
（2）先求得 的解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)來求得 的取值范圍.
【小問 1 詳解】
依題意， ①，
第 13頁/共 19頁
，
即 ，
，所以 ，結(jié)合①可得 ，
所以 .
【小問 2 詳解】
，設(shè)切點(diǎn)為 ，
所以切線方程為 ，
代入 得 ，
，
設(shè) ，
，
所以 在區(qū)間 單調(diào)遞減，
在區(qū)間 單調(diào)遞增，
，
，
畫出 的圖象如圖所示，
因?yàn)檫^點(diǎn) 有 條直線與函數(shù) 的圖象相切，
即 與 的圖象有 個(gè)交點(diǎn)，所以 ，
綜上， 的取值范圍是 .
第 14頁/共 19頁
18. 如圖， 是拋物線 上一點(diǎn)，過點(diǎn) 的直線 與 軸分別交于 兩點(diǎn)，
且 是線段 的中點(diǎn)．
（1）證明：直線 是拋物線 的切線；
（2）若點(diǎn) 是拋物線 上異于點(diǎn) 的動(dòng)點(diǎn)， ， 分別在線段 ， 上，且
， 交 于點(diǎn) ．
①證明： 點(diǎn) 是 的重心；
②若直線 過點(diǎn) ，求 的最小值．
【答案】（1）見解析 （2）①見解析；②
【解析】
【分析】（1）設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn) 的坐標(biāo)，進(jìn)而得直線 的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，
消元后得一元二次方程，計(jì)算得 ，即證明直線 是拋物線 的切線；
（ 2） ① 由 三 點(diǎn) 共 線 ， 設(shè) ， 再 結(jié) 合 ， 可 得
，由 是線段 的中點(diǎn)，得 ，進(jìn)而得 ，即
可證明 是 的重心；
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②設(shè)直線 的方程，與拋物線方程聯(lián)立，可得 ，進(jìn)而可得點(diǎn) 的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式
可得 的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù) ，利用導(dǎo)函數(shù)求 的最小值，即可得 的最小值.
【小問 1 詳解】
設(shè) ，因?yàn)?是線段 的中點(diǎn)，所以 .
則 ，所以直線 的方程為 ，即 .
聯(lián)立 ，整理得 ，所以 ，
因此，直線 是拋物線 的切線.
【小問 2 詳解】
①因?yàn)?三點(diǎn)共線，所以 .
又因?yàn)?，設(shè) ，則 ，
所以 ，
所以 ，
因?yàn)?是線段 的中點(diǎn)，所以 ，即 ，
所以 ，所以 是 的重心.
②設(shè)直線 ， .
聯(lián)立 ，整理得 ，所以 ，則 ，
由 ， ， ，得 ，
第 16頁/共 19頁
所以
令 ，
則 ，
因此，當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞減；
當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞增；
所以當(dāng) 時(shí)， 取最小值，最小值為 ，
所以當(dāng) 時(shí)， 取最小值 .
19. 一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù) 可以寫成 ，其中 是復(fù)數(shù)的模，
是復(fù)數(shù)的輻角，我們稱 叫做復(fù)數(shù) 的三角形式． 利用復(fù)數(shù)的三角形式可
以進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法、乘方等運(yùn)算．如：
，
（1）若復(fù)數(shù) ，求復(fù)數(shù) 的實(shí)部和虛部；
（2）利用復(fù)數(shù)的三角形式計(jì)算： 的
值；
（3）若復(fù)數(shù) 滿足 ，記復(fù)數(shù)
證明： 且 ．
【答案】（1）實(shí)部為 ，虛部為 0；
（2） ；
（3）證明見解析.
【解析】
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【分析】（1）轉(zhuǎn)化為三角形式后再計(jì)算即可；
（2）令 ，再代入根據(jù)三角運(yùn)算即可得到答案；
（ 3） 首 先 分 析 出 ， 再 計(jì) 算 得 ， 即 證 明 ， 則 則
，再累加計(jì)算，最后放縮即可.
【小問 1 詳解】
，
，
復(fù)數(shù) 的實(shí)部為 ，虛部為 0；
【小問 2 詳解】
由 可得：
，
令 ，則
，
，
【小問 3 詳解】
由 可得: ，
第 18頁/共 19頁
， ，
令 ,則 .
，
又
綜上， ．
第 19頁/共 19頁

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