?重慶市高高三第七次質(zhì)量檢測
數(shù)學(xué)試題
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．
1. 已知函數(shù)的定義域，值域，則（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域和值域分析列式求解，進而可得集合，再根據(jù)交集運算求解.
【詳解】∵，由題意可得，解得，
可得，
故.
故選：B.
2. 已知向量，，若向量與垂直，則實數(shù)（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)兩向量垂直時數(shù)量積等于0求解.
【詳解】 ；
故選：C.
3. 已知方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有一根為，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在（ ）．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】把代入已知方程，結(jié)合復(fù)數(shù)的運算及復(fù)數(shù)相等條件可求，再由復(fù)數(shù)幾何意義可求．
【詳解】解：因為方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有一根為，
所以，整理得，
所以，
則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二象限．
故選：B．
4. 如圖，生活中有很多球缺狀的建筑．球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直徑被截后的線段叫做球缺的高．球冠面積公式為，球缺的體積公式為，其中R為球的半徑，H為球缺的高．現(xiàn)有一個球被一平面所截形成兩個球缺，若兩個球冠的面積之比為，則這兩個球缺的體積之比為（ ）．

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件求得，，代入體積公式計算即可.
【詳解】設(shè)小球缺的高為，大球缺的高為，則，①
由題意可得：，即：，②
所以由①②得：，，
所以小球缺的體積，
大球缺的體積，
所以小球缺與大球缺體積之比為.
故選：C.
5. 已知，，且，則的最小值為（ ）．
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式和消元思想對本題目進行求解.

【詳解】解：已知，且xy+2x+y=6，
y=

2x+y=2x+=2(x+1)，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

故2x+y的最小值為4.

故選:A

6. 已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)， ，所以，進而可判斷三者的關(guān)系.
【詳解】由于，所以，而，所以，
又 ，所以 ，因此，
故選：D
7. 已知角，滿足，，則（ ）．
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)和角公式可得，結(jié)合二倍角公式以及弦切互化得齊次式即可求解.
【詳解】由得，進而，
所以，
故選：B
8. 如圖，橢圓的左焦點為，右頂點為A，點Q在y軸上，點P在橢圓上，且滿足軸，四邊形是等腰梯形，直線與y軸交于點，則橢圓的離心率為（ ）．

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】做軸于點，得到點的縱坐標(biāo)，從而得到，然后根據(jù)，列出方程，即可得到結(jié)果.
【詳解】
由題意，做軸于點，
因為四邊形是等腰梯形，則，
則點的橫坐標(biāo)為，代入橢圓方程，
可得，即，
因為，則，
由，則，
化簡可得，，同時除可得，
即，
對于
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
在時，方程有根，
且，故應(yīng)舍，所以.
故選:D
【點睛】解答本題的關(guān)鍵在于得到點的縱坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形相似列出方程，得到的關(guān)系式.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分．
9. 下列命題中正確的是（ ）．
A. 一組從小到大排列的數(shù)據(jù)0，1，3，4，6，7，9，x，11，11，去掉x與不去掉x，它們的80％分位數(shù)都不變，則
B. 兩組數(shù)據(jù)，，，…，與，，，…，，設(shè)它們的平均值分別為與，將它們合并在一起，則總體的平均值為
C. 已知離散型隨機變量，則
D. 線性回歸模型中，相關(guān)系數(shù)r的值越大，則這兩個變量線性相關(guān)性越強
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計算公式，計算即可驗證選項A；由平均值的定義和公式驗證選項B；由二項分布的方差公式計算結(jié)果驗證選項C；由線性相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)判斷選項D.
【詳解】對于A：一組從小到大排列的數(shù)據(jù)0，1，3，4，6，7，9，x，11，11，共10個數(shù)據(jù)，
因為80%×10=8，所以樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為第8個和第9個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即，
若去掉x，一組從小到大排列的數(shù)據(jù)0，1，3，4，6，7，9，11，11，共9個數(shù)據(jù)，
因為80%×9=7.2，所以樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為第8個數(shù)據(jù)，即，
去掉x與不去掉x，它們的80％分位數(shù)都不變，則，解得，A選項正確；
對于B：兩組數(shù)據(jù)，，，…，與，，，…，，設(shè)它們的平均值分別為與，將它們合并在一起，有，則總體的平均值為 ，B選項正確；
對于C：已知離散型隨機變量， 有，則，C選項錯誤；
對于D： 線性回歸模型中，相關(guān)系數(shù)的值越大，則這兩個變量線性相關(guān)性越強，D選項錯誤.
故選：AB
10. 紅黃藍被稱為三原色，選取任意幾種顏色調(diào)配，可以調(diào)配出其他顏色．已知同一種顏色混合顏色不變，等量的紅色加黃色調(diào)配出橙色；等量的紅色加藍色調(diào)配出紫色；等量的黃色加藍色調(diào)配出綠色．現(xiàn)有紅黃藍彩色顏料各兩瓶，甲從六瓶中任取兩瓶顏料，乙再從余下四瓶中任取兩瓶顏料，兩人分別進行等量調(diào)配，A表示事件“甲調(diào)配出紅色”；B表示事件“甲調(diào)配出綠色”；C表示事件“乙調(diào)配出紫色”，則下列說法正確的是（ ）．
A. 事件A與事件C是獨立事件 B. 事件A與事件B是互斥事件
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】對于AB選項，根據(jù)獨立事件和互斥事件的概念即可判斷；對于C選項根據(jù)條件概率公式判定；對于D項，將B、C事件的各種情形一一分析得出其概率即可.
【詳解】解：根據(jù)題意，A事件兩瓶均為紅色顏料，C事件為一瓶紅色，一瓶藍色顏料，則A發(fā)生C必定不能發(fā)生，
∴,故A、C不為獨立事件，為互斥事件，即A錯誤；
∴，即C錯誤；
若調(diào)出紅色，需要兩瓶顏料均為紅色，若調(diào)出綠色，則需1瓶黃色和1瓶藍色，此時調(diào)出紅色和調(diào)出綠色不同時發(fā)生，故A、B為互斥事件，即B正確；
則，若C事件發(fā)生，則甲有三種情況，分別為甲取兩瓶黃色；甲取1瓶黃色和1瓶紅色或藍色；甲取1瓶紅色，1瓶藍色，則，即D正確.
故選：BD
11. 已知，為函數(shù)圖象上兩點，且軸，直線，分別是函數(shù)圖象在點處的切線，且，的交點為，，與軸的交點分別為，則下列結(jié)論正確的是（ ）．
A. B.
C. 的面積 D. 存在直線，使與函數(shù)圖象相切
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于選項A，可以分別求得兩點處的斜率，利用斜率之積即可判斷；
對于選項B，分析條件可得且，由特殊值即可判斷；
對于選項C，根據(jù)兩點處的切線方程可得點的對應(yīng)坐標(biāo)，繼而可以表示的面積，即可判斷；
對于選項D，設(shè)與函數(shù)圖象相切于點，利用公切線切點斜率相等建立方程，判斷方程是否有解即可.
詳解】解:由及圖像可得，
而軸，故，
∴，即，
∴
∴，
顯然A正確；
當(dāng)時，，顯然，B錯誤(也可以用基本不等式或?qū)春瘮?shù)判定)；
，C正確；
設(shè)與函數(shù)圖象相切于點，由題意可得：，
化簡得,
令，則，即在定義域上單調(diào)遞增，
有，故上存在使得，D正確.
故選：ACD
【點睛】本題關(guān)鍵在于表示兩條切線的方程，利用即可解決前三個選項，對于公切線問題關(guān)鍵在于設(shè)切點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化為單變量問題，再利用導(dǎo)數(shù)判斷方程根的問題，屬于難題.
12. 已知數(shù)列滿足，，，則下列結(jié)論正確的有（ ）．
A. 數(shù)列是遞增數(shù)列 B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】對A：根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的定義分析證明；對B：先證，結(jié)合累加法運算求解；對C：可得，結(jié)合裂項相消法分析運算；對D：先證，結(jié)合累積法可得，再根據(jù)等比數(shù)列求和分析運算.
【詳解】對A：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
即，注意到，故，
可知對，，即，即，
故數(shù)列是遞增數(shù)列，A正確；
對B：∵，
由A可得：對，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
故，即，
則，即；
當(dāng)時，則也滿足；
綜上所述：，B正確；
對C：∵，則，
注意到，即，
∴，即，
故，
可得，C正確；
對D：∵，
注意到，則，
故，可得，
則，
當(dāng)時，則，
當(dāng)時，，
故.
則，D錯誤；
故選：ABC.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：
（1）根據(jù)題意證明，放縮結(jié)合等比數(shù)列運算求解；
（2）根據(jù)題意整理可得，裂項相消求和；
（3）可證，放縮結(jié)合等比數(shù)列的通項公式與求和公式運算求解.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知，則__________．（用數(shù)字作答）
【答案】63
【解析】
【分析】根據(jù)展開式，當(dāng)時，有，當(dāng)時，有，可計算.
【詳解】已知，
當(dāng)時，有，
當(dāng)時，有，
所以.
故答案為：63
14. 將函數(shù)的圖象上每個點的橫坐標(biāo)擴大為原來的兩倍（縱坐標(biāo)保持不變），再向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)在的值域為__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)圖象變換可得，再以為整體結(jié)合正弦函數(shù)求值域.
【詳解】將函數(shù)的圖象上每個點的橫坐標(biāo)擴大為原來的兩倍（縱坐標(biāo)保持不變），得到，
再向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，得到，
∵，則，
可得，
故函數(shù)在的值域為.
故答案：.
15. 已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得不等式在恒成立，換元法討論函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性和最值，結(jié)合分類討論即可求的范圍.
【詳解】因為函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，
所以解得，
此時，
函數(shù)為奇函數(shù)，滿足題意，
所以，
因為在R上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞減，
所以在R上單調(diào)遞增，
所以由可得，
即，
所以即在恒成立，
令，即，
當(dāng)時，，
不等式可化為，
令，單調(diào)遞減，所以，
所以；
當(dāng)時，，
不等式顯然成立；
當(dāng)時，，
不等式可化為，
令，單調(diào)遞減，
所以，所以；
綜上，,
故答案為: .
16. 已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線交x軸于點D，過點F作傾斜角為（為銳角）的直線交拋物線于A，B兩點，如圖，把平面沿x軸折起，使平面平面，則三棱錐體積為__________；若，則異面直線，所成角的余弦值取值范圍為__________．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線焦點弦的性質(zhì)可得，，進而根據(jù)面面垂直即可求三棱錐的高，進而利用體積公式即可求解，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角就可求解異面直線的夾角.
【詳解】
過作準(zhǔn)線，垂足為,
在中，，又 ， 同理可得，
過作于,由于平面平面，且交線為，平面 ,所以平面,且，
故三棱錐的體積為，
，
且， ，所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，， 即，,

所以 ，
當(dāng)時，，
所以，
由于為銳角，所以異面直線，所成角的角等于，故異面直線，所成角的余弦值取值范圍為

故答案為：，
【點睛】思路點睛：圓錐曲線中的范圍或最值問題，可根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)題目中給出的范圍或由判別式得到的范圍求解，解題中注意函數(shù)單調(diào)性和基本不等式的作用．另外在解析幾何中還要注意向量的應(yīng)用，如本題中根據(jù)向量的共線得到點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，進而為消去變量起到了重要的作用
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知與都是正項數(shù)列，的前項和為，，且滿足，等比數(shù)列滿足，．
（1）求數(shù)列，的通項公式；
（2）記數(shù)列的前n項和為，求滿足不等式的自然數(shù)n的最小值．
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】(1)利用與的關(guān)系可以得到的通項公式，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得的通項公式；
(2)根據(jù)(1)可以發(fā)現(xiàn)為等差數(shù)列，分組求和可得，解不等式即可.
【小問1詳解】
解：∵，∴
兩式相減得：
化簡得：
∵為正項數(shù)列，且
∴，，
即為首項為1，公差為1等差數(shù)列，
∴
又∵，，為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，
∴，解得或，
而為正項數(shù)列，故，.
綜上，數(shù)列，的通項公式分別為.
【小問2詳解】
解：記，的前項和分別為
由等差數(shù)列及等比數(shù)列的前項和公式可知

∴
易知，
作差可得：
即當(dāng)時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，當(dāng)時，
∴的最小值為8.
故滿足不等式的自然數(shù)的最小值為8.
18. 在中，a，b，c分別是的內(nèi)角A，B，C所對的邊，且．
（1）求角A的大?。?br /> （2）記的面積為S，若，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理先將邊角化統(tǒng)一，然后由余弦定理即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意可得，，然后得到，再由三角形的面積公式可得，最后結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
因為，即
由正弦定理可得，，化簡可得，
且由余弦定理可得，，所以，
且，所以.
【小問2詳解】

因為，則可得，
所以
且，
即，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.
所以
19. 有一種水果，在成熟以后進行裝箱，每一箱10個．根據(jù)以往經(jīng)驗，該種水果每箱含有0，1，2個壞果的概率分別為，，．
（1）現(xiàn)隨機取三箱該水果，求三箱水果中壞果總數(shù)恰有2個的概率；
（2）現(xiàn)隨機打開一箱該水果，并從中任取2個，設(shè)X為壞水果的個數(shù)，求X的分布列及期望．
【答案】（1）0.15
（2）的分布列為：

0
1
2




期望為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)兩種情況以及概率乘法公式即可求解，
（2）分別求解為0,1,2的概率，即可求解分布列以及期望
【小問1詳解】
三箱水果中壞果總數(shù)恰有2個壞果的情況有：有一箱有2個壞果，其他兩箱沒有壞果，或者有兩箱各有一個壞果，另一箱沒有壞果，
三箱水果中壞果總數(shù)恰有2個壞果的概率為，
【小問2詳解】
由題意可知：可取0,1,2
則 ,
,
,
所以分布列為：

0
1
2




期望為
20. 如圖，三棱錐滿足：，，，．

（1）求證：；
（2）若D為中點，求二面角的平面角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通過線面垂直的判定定理證得面，再運用線面垂直的性質(zhì)定理證得.
（2）過點P作，運用線面垂直的判定定理證得面，以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系，運用空間向量的坐標(biāo)計算即可.
【小問1詳解】
∵，，，
∴，
又∵，，
∴，
取AB中點E，連接PE、CE，如圖所示，

則，，
又∵，、面，
∴面，又∵面，
∴.
【小問2詳解】
過點P作交延長線于點O，過O作，
由（1）知，面，
又因為面，所以，
又因為，、面，
所以面，
所以以點O為原點，分別以CE、、為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

在中，,
在中，，
∴，，
∴在中，，，
∴，，，，
∴，
∴，，，
設(shè)面的一個法向量為，
，
取，則，，所以，
設(shè)面的一個法向量為，

取，則，，所以，
∴，
∴.
即二面角的平面角的正弦值為.
21. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，，左頂點為，點M為雙曲線上一動點，且的最小值為18，O為坐標(biāo)原點．

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖，已知直線與x軸的正半軸交于點T，過點T的直線交雙曲線C右支于點B，D，直線AB，AD分別交直線l于點P，Q，若O，A，P，Q四點共圓，求實數(shù)m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)雙曲線的方程可得，根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的定義，運算求解即可得結(jié)果；
（2）設(shè)直線，根據(jù)題意求的坐標(biāo)，由圓的性質(zhì)可得，結(jié)合韋達定理運算求解.
【小問1詳解】
設(shè)，不妨設(shè)M為雙曲線右支上一動點，則，
則，即，
可得，
注意到，則，
由題意可得：，即，
則，
∵的對稱軸為，則在上單調(diào)遞增，
故，
則，解得或（舍去），
可得，
故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
由題意可得，設(shè)直線，
聯(lián)立方程，消去y得，
則，
直線，令，則，
即點，
同理可得點，
若O，A，P，Q四點共圓，則，
∵，
注意到，，且點P，Q位于同一象限，即，
可得，
故，
整理得，
則，
整理得，解得或（舍去），
故實數(shù)m的值為.
【點睛】方法定睛：解決與弦端點有關(guān)的向量關(guān)系、位置關(guān)系等問題的一般方法，就是將其轉(zhuǎn)化為端點的坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)聯(lián)立消元后的一元二次方程根與系數(shù)的大小關(guān)系，構(gòu)建方程(組)求解．
22. 已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，設(shè)直線l為在處的切線，且l與的圖像在內(nèi)有兩個不同公共點，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）.
【解析】
【分析】(1)由題意可得，根據(jù)的正負(fù)及即可得答案；
(2)由題意可得，記，利用導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)在內(nèi)有兩個不同的零點求解即可.
【小問1詳解】
解：因為當(dāng)時，，，
所以，
令，得；
令，得，
所以單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
【小問2詳解】
解：因為，
，
所以，
所以切點為 ，切線的斜率
所以切線，
記，
則，
令，
則，
所以當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，
令，
①當(dāng)，即時，則，不滿足條件；
②當(dāng)，即時，易有，使得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
又因為，
所以在上單調(diào)遞增，在內(nèi)只可能單調(diào)遞減或者先減后增，
又因為，，
所以存在為函數(shù)的一個零點，
所以只需在內(nèi)存在一個零點即可，
因為，
所以只需即可，
解得，此時存在，使得，滿足題意；
當(dāng)時，在內(nèi)再無零點.
綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為.
【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性時，如果第一次求導(dǎo)后不能確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)時，需進行再次求導(dǎo)，或構(gòu)造函數(shù)進行再求導(dǎo).




相關(guān)試卷

重慶市南開中學(xué)2023屆高三第七次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)：

這是一份重慶市南開中學(xué)2023屆高三第七次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)，文件包含重慶市南開中學(xué)校2023屆高三第七次質(zhì)量檢測丨數(shù)學(xué)答案pdf、重慶市南開中學(xué)校2023屆高三第七次質(zhì)量檢測丨數(shù)學(xué)pdf等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共9頁， 歡迎下載使用。

2023屆重慶市南開中學(xué)校高三第十次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題含解析：

這是一份2023屆重慶市南開中學(xué)校高三第十次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題含解析，共21頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

重慶市南開中學(xué)校2023屆高三第七次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題：

這是一份重慶市南開中學(xué)校2023屆高三第七次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題，共9頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2023屆重慶市南開中學(xué)校高三第九次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題含解析

2023屆重慶市南開中學(xué)校高三第九次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題含解析
重慶市南開中學(xué)校2023屆高三第九次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

重慶市南開中學(xué)校2023屆高三第九次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題
重慶市南開中學(xué)校2023屆高三第七次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

重慶市南開中學(xué)校2023屆高三第七次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題
2022屆重慶市南開中學(xué)校高三第九次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題含解析

2022屆重慶市南開中學(xué)校高三第九次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題含解析
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部