第二章：08 第四講一元一次不等式（組）及其應(yīng)用--2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【精講精練+分層練習(xí)】（全國通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

命題點(diǎn)1 不等式的性質(zhì)
1、不等式的概念：用符號(hào) < 或 > 表示大小關(guān)系的式子．
2、不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值．
3、不等式的解集：一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個(gè)不等式的解集．
4、不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用
1．（2024·江蘇無錫）命題“若，則”是命題．（填“真”或“假”）
【答案】假
【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題真假、不等式的性質(zhì)
【分析】本題主要考查了真假命題的判斷以及不等式的性質(zhì)，根據(jù)，可得出，進(jìn)而可判斷出若，則是假命題．
【詳解】解：∵
∴，
∴若，則是假命題，
故答案為：假．
2．（2024·廣東廣州）若，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】不等式的性質(zhì)
【分析】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)不等式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得．
【詳解】解：A．∵，
∴，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符題意；
B．∵，
∴，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符題意；
C．∵，
∴，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D．∵，
∴，則此項(xiàng)正確，符合題意；
故選：D．
3．（2024·江蘇蘇州）若，則下列結(jié)論一定正確的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】不等式的性質(zhì)
【分析】本題主要考查不等式的性質(zhì)，掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．不等式的性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或字母，不等號(hào)方向不變；不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變；不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變．
直接利用不等式的性質(zhì)逐一判斷即可．
【詳解】解：，
A、，故錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不合題意；
B、，故錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不合題意；
C、無法得出，故錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不合題意；
D、，故正確，該選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
4．（2024·吉林長春）不等關(guān)系在生活中廣泛存在．如圖，、分別表示兩位同學(xué)的身高，表示臺(tái)階的高度．圖中兩人的對(duì)話體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理是（）
A．若，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】不等式的性質(zhì)
【分析】本題主要考查不等式的性質(zhì)，熟記不等式性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)不等式的性質(zhì)即可解答．
【詳解】解：由作圖可知：，由右圖可知：，即A選項(xiàng)符合題意．
故選：A．
命題點(diǎn)2 一元一次不等式（組）的解法及解集表示
一元一次不等式的解法及解集表示
1、定義：含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式．
2、一元一次不等式的解法
一般步驟：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1．（注意不等號(hào)的方向是否改變）
范例：解不等式：
3、一元一次不等式的解集
一元一次不等式組的解法及解集表示
1、定義：一般地，關(guān)于同一個(gè)未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組．
2、解集：一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分，叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集．
3、一元一次不等式組的解法：先分別求出每個(gè)一元一次不等式的解集，再求各解集的公共部分。
范例：解不等式組
角度一：一元一次不等式的解法及解集表示
5．（2024·河北）下列數(shù)中，能使不等式成立的x的值為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式的解集
【分析】本題考查了解不等式，不等式的解，熟練掌握解不等式是解題的關(guān)鍵．解不等式，得到，以此判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴．
∴符合題意的是A
故選A．
6．（2024·貴州）不等式的解集在數(shù)軸上的表示，正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】在數(shù)軸上表示不等式的解集
【分析】根據(jù)小于向左，無等號(hào)為空心圓圈，即可得出答案．
本題考查在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解題的關(guān)鍵．
【詳解】不等式的解集在數(shù)軸上的表示如下：
．
故選：C．
7．（2024·陜西）不等式的解集是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式的解集
【分析】本題主要考查解一元一次不等式．通過去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，未知數(shù)系數(shù)化為1，即可求解．
【詳解】解：，
去括號(hào)得：，
移項(xiàng)合并得：，
解得：，
故選：D．
8．（2024·青海）請(qǐng)你寫出一個(gè)解集為的一元一次不等式．
【答案】（答案不唯一）
【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式的解集
【分析】本題考查了不等式的解集．根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行變形，得到的不等式就滿足條件．
【詳解】解：解集是的不等式：．
故答案為：（答案不唯一）．
9．（2024·廣西）不等式的解集為．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式的解集
【分析】本題考查了解一元一次不等式，根據(jù)解一元一次不等式的步驟解答即可求解，掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：移項(xiàng)得，，
合并同類項(xiàng)得，，
系數(shù)化為得，，
故答案為：．
10．（2024·四川眉山）解不等式：，把它的解集表示在數(shù)軸上．
【答案】，見解析
【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式的解集、在數(shù)軸上表示不等式的解集
【分析】本題考查求不等式的解集，并在數(shù)軸上表示解集，去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并，系數(shù)化1，求出不等式的解集，然后在數(shù)軸上表示出解集即可.
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
其解集在數(shù)軸上表示如下：
角度二：一元一次不等式組的解法及解集表示
11．（2024·四川眉山）不等式組的解集是（）
A．B．C．或D．
12．（2024·四川雅安）不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】在數(shù)軸上表示不等式的解集、求不等式組的解集
【分析】本題考查了解一元一次不等式組和在數(shù)軸上表示不等式的解集，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．
【詳解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
則不等式組的解集為，
將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：
故選：C．
13．（2024·內(nèi)蒙古包頭）若，，這三個(gè)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)從左到右依次排列，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)與數(shù)軸、求不等式組的解集
【分析】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，求不等式組的解集，根據(jù)數(shù)軸上的數(shù)右邊的比左邊的大，列出不等式組，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：由題意，得：，
解得：；
故選B．
14．（2025·江蘇南京）解不等式組：
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式的解集、求不等式組的解集
【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”是解題關(guān)鍵．
先求出每個(gè)不等式的解集，再求出公共解集即可．
【詳解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴原不等式組的解集為．
故答案為：．
15．（2024·天津）解不等式組
請(qǐng)結(jié)合題意填空，完成本題的解答．
(1)解不等式①，得______；
(2)解不等式②，得______；
(3)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：
(4)原不等式組的解集為______．
【答案】(1)
(2)
(3)見解析
(4)
【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式的解集、在數(shù)軸上表示不等式的解集、求不等式組的解集
【分析】本題考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式組；
（1）根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、化系數(shù)為1可得出答案；
（2）根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、化系數(shù)為1可得出答案；
（3）根據(jù)前兩問的結(jié)果，在數(shù)軸上表示不等式的解集；
（4）根據(jù)數(shù)軸上的解集取公共部分即可．
【詳解】（1）解：解不等式①得，
故答案為：；
（2）解：解不等式②得，
故答案為：；
（3）解：在數(shù)軸上表示如下：
（4）解：由數(shù)軸可得原不等式組的解集為，
故答案為：．
角度三：不等式（組）的特殊解
16．（2023·內(nèi)蒙古）不等式的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)有（）
A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式的整數(shù)解
【分析】首先利用不等式的基本性質(zhì)解不等式，再從不等式的解集中找出正整數(shù)解得個(gè)數(shù)．
【詳解】解：，
∴正整數(shù)解為：，有個(gè)，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，正確解不等式，求出解集是解答本題的關(guān)鍵．
17．（2024·河南）下列不等式中，與組成的不等式組無解的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】求不等式組的解集
【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”的原則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)此原則對(duì)選項(xiàng)一一進(jìn)行判斷即可．
【詳解】根據(jù)題意，可得，
A、此不等式組無解，符合題意；
B、此不等式組解集為，不符合題意；
C、此不等式組解集為，不符合題意；
D、此不等式組解集為，不符合題意；
故選：A
18．（2023·江蘇宿遷）不等式的最大整數(shù)解是．
【答案】3
【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式的整數(shù)解
【分析】根據(jù)一元一次不等式的解法即可得．
【詳解】解：不等式的解集是，
則不等式的最大整數(shù)解是3，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握一元一次不等式的解法是解題關(guān)鍵．
19．（2024·黑龍江大慶）不等式組的整數(shù)解有個(gè)．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】求不等式組的解集、求一元一次不等式組的整數(shù)解
【分析】本題主要考查了求不等式組的整數(shù)解，先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù) “同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集，進(jìn)而求出其整數(shù)解即可．
【詳解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式組的解集為：，
∴整數(shù)解有，，，共4個(gè)，
故答案為：．
20．（2024·山東濟(jì)南）解不等式組：，并寫出它的所有整數(shù)解．
【答案】，整數(shù)解為：0，1，2，3．
【知識(shí)點(diǎn)】求不等式組的解集、求一元一次不等式組的整數(shù)解
【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，并求其整數(shù)解，分別求兩個(gè)不等式的解集，再找不等式組的解集，即可得到整數(shù)解．
【詳解】解：解不等式①，得
解不等式②，得
在同一條數(shù)軸上表示不等式①②的解集
原不等式組的解集是
整數(shù)解為0，1，2，3
21．（2024·江蘇揚(yáng)州）解不等式組，并求出它的所有整數(shù)解的和．
【答案】，整數(shù)和為6
【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式組的整數(shù)解
【分析】本題主要考查解不等式組的整數(shù)解，掌握不等式的性質(zhì)，不等式組的取值方法是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)不等式的性質(zhì)分別求出不等式①，②的解，再根據(jù)不等式組的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無解”即可求解，結(jié)合解集取整數(shù)，再求和即可．
【詳解】解：，
由①得，，
解得，；
由②得，，
移項(xiàng)得，，
解得，，
∴原不等式組的解為：，
∴所有整數(shù)解為：，
∴所有整數(shù)解的和為：．
命題點(diǎn)3 不等式（組）含參問題
1、不等式（組）含參問題的解題步驟：
2、范例解讀：
（1）的解集是時(shí)，（2）無解時(shí)；
（3）有兩個(gè)整數(shù)解時(shí)，（4）有兩個(gè)整數(shù)解時(shí)
22．（2023·遼寧）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)、求一元一次不等式的解集
【分析】若一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則根的判別式，建立關(guān)于k的不等式，解不等式即可得出答案．
【詳解】解：∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
解得．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的根與的關(guān)系：?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；?方程沒有實(shí)數(shù)根．
23．（2024·山東煙臺(tái)）關(guān)于的不等式有正數(shù)解，的值可以是（寫出一個(gè)即可）．
【答案】（答案不唯一）
【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式的解集
【分析】本題考查了一元一次不等式的求解，先求出不等式的解集，根據(jù)不等式有正數(shù)解可得關(guān)于的一元一次不等式，即可求出的取值范圍，進(jìn)而可得的值，求出的取值范圍是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：不等式移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得，，
系數(shù)化為得，，
∵不等式有正數(shù)解，
∴，
解得，
∴的值可以是，
故答案為：．
24．（2023·內(nèi)蒙古）關(guān)于的一元一次不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示，則的值為（）

A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式的解集、在數(shù)軸上表示不等式的解集
【分析】先求出不等式的解集，然后對(duì)比數(shù)軸求解即可．
【詳解】解：解得，
由數(shù)軸得：，
解得：，
故選：B．
【點(diǎn)睛】題目主要考查求不等式的解集及參數(shù)，熟練掌握求不等式解集的方法是解題關(guān)鍵．
25．（2024·四川南充）若關(guān)于x的不等式組的解集為，則m的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】由一元一次不等式組的解集求參數(shù)
【分析】本題考查根據(jù)不等式組的解集求參數(shù)的范圍，先解不等式組，再根據(jù)不等式組的解集，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：解，得：，
∵不等式組的解集為：，
∴，
∴；
故選B．
26．（2023·山東聊城）若不等式組的解集為，則m的取值范圍是．
【答案】/
【知識(shí)點(diǎn)】由一元一次不等式組的解集求參數(shù)
【分析】分別求出兩個(gè)不等式的解集，根據(jù)不等式組的解集即可求解．
【詳解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式組的解集為：，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，根據(jù)不等式的解求參數(shù)的取值范圍，熟練掌握解不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小大小小大中間找，大大小小找不到（無解）是解題的關(guān)鍵．
27．（2022·四川綿陽）已知關(guān)于x的不等式組無解，則的取值范圍是．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】由一元一次不等式組的解集求參數(shù)
【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：大大小小找不到并結(jié)合不等式組的解集可得答案．
【詳解】解∶ ，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式組無解，
∴，解得：，
∴．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
28．（2024·黑龍江大興安嶺地）關(guān)于x的不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式組的整數(shù)解、由不等式組解集的情況求參數(shù)
【分析】本題考查解一元一次不等式（組，一元一次不等式組的整數(shù)解，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式的方法．
先解出不等式組中每個(gè)不等式的解集，然后根據(jù)不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，即可得到關(guān)于的不等式組，然后求解即可．
【詳解】解：由，得：，
由，得：，
不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，
這3個(gè)整數(shù)解是0，1，2，
，
解得，
故答案為：．
29．（2023·四川宜賓）若關(guān)于x的不等式組所有整數(shù)解的和為，則整數(shù)的值為．
【答案】或
【知識(shí)點(diǎn)】由一元一次不等式組的解集求參數(shù)
【分析】根據(jù)題意可求不等式組的解集為，再分情況判斷出的取值范圍，即可求解．
【詳解】解：由①得：，
由②得：，
不等式組的解集為：，
所有整數(shù)解的和為，
①整數(shù)解為：、、、，
，
解得：，
為整數(shù)，
．
②整數(shù)解為：，，，、、、，
，
解得：，
為整數(shù)，
．
綜上，整數(shù)的值為或
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了含參數(shù)的一元一次不等式組的整數(shù)解問題，掌握一元一次不等式組的解法，理解參數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．
30．（2024·重慶）若關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程的解均為負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)分式方程解的情況求值、由一元一次不等式組的解集求參數(shù)
【分析】本題主要考查了根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)，根據(jù)不等式組的解集求參數(shù)，先解不等式組中的兩個(gè)不等式，再根據(jù)不等式組的解集求出；解分式方程得到，再由關(guān)于的分式方程的解均為負(fù)整數(shù)，推出且且a是偶數(shù)，則且且a是偶數(shù)，據(jù)此確定符合題意的a的值，最后求和即可．
【詳解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式組的解集為，
∴，
∴；
解分式方程得，
∵關(guān)于的分式方程的解均為負(fù)整數(shù)，
∴且是整數(shù)且，
∴且且a是偶數(shù)，
∴且且a是偶數(shù)，
∴滿足題意的a的值可以為4或8，
∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是．
故答案為：．
命題點(diǎn)4 一元一次不等式（組）的實(shí)際應(yīng)用
1、不等式（組）的實(shí)際應(yīng)用題的解題步驟
2、實(shí)際問題中常見的關(guān)鍵詞與不等號(hào)的對(duì)應(yīng)表
角度1 不等式的實(shí)際應(yīng)用
31．（2024·內(nèi)蒙古通遼）如圖，根據(jù)機(jī)器零件的設(shè)計(jì)圖紙，用不等式表示零件長度的合格尺寸（的取值范圍) ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】一元一次不等式組的其他應(yīng)用
【分析】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元一次不等式組，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．根據(jù)機(jī)器零件的設(shè)計(jì)圖紙給定的數(shù)值，可求出的取值范圍．
【詳解】解：由題意得，
．
故答案為：
32．（2023·廣東）某商品進(jìn)價(jià)4元，標(biāo)價(jià)5元出售，商家準(zhǔn)備打折銷售，但其利潤率不能少于，則最多可打折．
【答案】8.8
【知識(shí)點(diǎn)】用一元一次不等式解決實(shí)際問題
【分析】設(shè)打x折，由題意可得，然后求解即可．
【詳解】解：設(shè)打x折，由題意得，
解得：；
故答案為8.8．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次不等式的應(yīng)用，熟練掌握一元一次不等式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
33．（2024·山東）根據(jù)以下對(duì)話，
給出下列三個(gè)結(jié)論：
①1班學(xué)生的最高身高為；
②1班學(xué)生的最低身高小于；
③2班學(xué)生的最高身高大于或等于．
上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】用一元一次不等式解決實(shí)際問題、代入消元法
【分析】本題考查了二元一次方程、不等式的應(yīng)用，設(shè)1班同學(xué)的最高身高為，最低身高為，2班同學(xué)的最高身高為，最低身高為，根據(jù)1班班長的對(duì)話，得，，然后利用不等式性質(zhì)可求出，即可判斷①，③；根據(jù)2班班長的對(duì)話，得，，然后利用不等式性質(zhì)可求出，即可判斷②．
【詳解】解：設(shè)1班同學(xué)的最高身高為，最低身高為，2班同學(xué)的最高身高為，最低身高為，
根據(jù)1班班長的對(duì)話，得，，
∴
∴，
解得，
故①錯(cuò)誤，③正確；
根據(jù)2班班長的對(duì)話，得，，
∴，
∴，
∴，
故②正確，
故選：C．
34．（2024·山西）為加強(qiáng)校園消防安全，學(xué)校計(jì)劃購買某種型號(hào)的水基滅火器和干粉滅火器共50個(gè)．其中水基滅火器的單價(jià)為540元/個(gè)，干粉滅火器的單價(jià)為380元/個(gè)．若學(xué)校購買這兩種滅火器的總價(jià)不超過21000元，則最多可購買這種型號(hào)的水基滅火器多少個(gè)？
【答案】最多可購買這種型號(hào)的水基滅火器12個(gè)
【知識(shí)點(diǎn)】用一元一次不等式解決實(shí)際問題
【分析】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．設(shè)可購買這種型號(hào)的水基滅火器個(gè)，則購買干粉滅火器個(gè)，根據(jù)學(xué)校購買這兩種滅火器的總價(jià)不超過21000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【詳解】解：設(shè)可購買這種型號(hào)的水基滅火器個(gè)，則購買干粉滅火器個(gè)，
根據(jù)題意得：，
解得：，
為整數(shù)，
取最大值為12，
答：最多可購買這種型號(hào)的水基滅火器12個(gè)．
角度2 不等式（組）與方程結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用
35．（2024·江西）如圖，書架寬，在該書架上按圖示方式擺放數(shù)學(xué)書和語文書，已知每本數(shù)學(xué)書厚，每本語文書厚．
(1)數(shù)學(xué)書和語文書共90本恰好擺滿該書架，求書架上數(shù)學(xué)書和語文書各多少本；
(2)如果書架上已擺放10本語文書，那么數(shù)學(xué)書最多還可以擺多少本？
【答案】(1)書架上有數(shù)學(xué)書60本，語文書30本．
(2)數(shù)學(xué)書最多還可以擺90本
【知識(shí)點(diǎn)】用一元一次不等式解決實(shí)際問題、其他問題(一元一次方程的應(yīng)用)
【分析】本題主要考查了一元一次方程及不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，列出方程．
（1）首先設(shè)這層書架上數(shù)學(xué)書有本，則語文書有本，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：本數(shù)學(xué)書的厚度本語文書的厚度，根據(jù)等量關(guān)系列出方程求解即可；
（2）設(shè)數(shù)學(xué)書還可以擺m本，根據(jù)題意列出不等式求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)書架上數(shù)學(xué)書有本，由題意得：
，
解得：，
．
∴書架上有數(shù)學(xué)書60本，語文書30本．
（2）設(shè)數(shù)學(xué)書還可以擺m本，
根據(jù)題意得：，
解得：，
∴數(shù)學(xué)書最多還可以擺90本．
36．（2024·四川成都）推進(jìn)中國式現(xiàn)代化，必須堅(jiān)持不懈夯實(shí)農(nóng)業(yè)基礎(chǔ)，推進(jìn)鄉(xiāng)村全面振興．某合作社著力發(fā)展鄉(xiāng)村水果網(wǎng)絡(luò)銷售，在水果收獲的季節(jié)，該合作社用17500元從農(nóng)戶處購進(jìn)A，B兩種水果共進(jìn)行銷售，其中A種水果收購單價(jià)10元/，B種水果收購單價(jià)15元/．
(1)求A，B兩種水果各購進(jìn)多少千克；
(2)已知A種水果運(yùn)輸和倉儲(chǔ)過程中質(zhì)量損失，若合作社計(jì)劃A種水果至少要獲得的利潤，不計(jì)其他費(fèi)用，求A種水果的最低銷售單價(jià)．
【答案】(1)A種水果購進(jìn)1000千克，B種水果購進(jìn)500千克
(2)A種水果的最低銷售單價(jià)為元/
【知識(shí)點(diǎn)】銷售、利潤問題(二元一次方程組的應(yīng)用)、用一元一次不等式解決實(shí)際問題
【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，
（1）設(shè)A種水果購進(jìn)x千克， B種水果購進(jìn)y千克，根據(jù)題意列出二元一次方程組求解即可．
（2）根據(jù)題意列出關(guān)于利潤和進(jìn)價(jià)與售價(jià)的不等式求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)A種水果購進(jìn)x千克， B種水果購進(jìn)y千克，
根據(jù)題意有：，
解得：，
∴A種水果購進(jìn)1000千克，B種水果購進(jìn)500千克
（2）設(shè)A種水果的銷售單價(jià)為元/，
根據(jù)題意有：，
解得，
故A種水果的最低銷售單價(jià)為元/
37．（2024·遼寧）甲、乙兩個(gè)水池注滿水，蓄水量均為、工作期間需同時(shí)排水，乙池的排水速度是．若排水3h，則甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．
(1)求甲池的排水速度．
(2)工作期間，如果這兩個(gè)水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水幾小時(shí)？
【答案】(1)
(2)4小時(shí)
【知識(shí)點(diǎn)】用一元一次不等式解決實(shí)際問題、其他問題(一元一次方程的應(yīng)用)
【分析】本題考查了列一元一次方程解應(yīng)用題，一元一次不等式的應(yīng)用，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)甲池的排水速度為，由題意得，，解方程即可；
（2）設(shè)排水a(chǎn)小時(shí)，則，再解不等式即可．
【詳解】（1）解：設(shè)甲池的排水速度為，
由題意得，，
解得：，
答：甲池的排水速度為；
（2）解：設(shè)排水a(chǎn)小時(shí)，
則，
解得：，
答：最多可以排4小時(shí)．
38．（2024·內(nèi)蒙古赤峰）一段高速公路需要修復(fù)，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)參與施工，已知乙隊(duì)平均每天修復(fù)公路比甲隊(duì)平均每天修復(fù)公路多3千米，且甲隊(duì)單獨(dú)修復(fù)60千米公路所需要的時(shí)間與乙隊(duì)單獨(dú)修復(fù)90千米公路所需要的時(shí)間相等．
(1)求甲、乙兩隊(duì)平均每天修復(fù)公路分別是多少千米；
(2)為了保證交通安全，兩隊(duì)不能同時(shí)施工，要求甲隊(duì)的工作時(shí)間不少于乙隊(duì)工作時(shí)間的2倍，那么15天的工期，兩隊(duì)最多能修復(fù)公路多少千米？
【答案】(1)甲隊(duì)平均每天修復(fù)公路6千米，則乙隊(duì)平均每天修復(fù)公路9千米；
(2)15天的工期，兩隊(duì)最多能修復(fù)公路千米．
【知識(shí)點(diǎn)】用一元一次不等式解決實(shí)際問題、最大利潤問題(一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用)、分式方程的工程問題
【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用．
（1）設(shè)甲隊(duì)平均每天修復(fù)公路千米，則乙隊(duì)平均每天修復(fù)公路千米，根據(jù)“甲隊(duì)單獨(dú)修復(fù)60千米公路所需要的時(shí)間與乙隊(duì)單獨(dú)修復(fù)90千米公路所需要的時(shí)間相等”列分式方程求解即可；
（2）設(shè)甲隊(duì)的工作時(shí)間為天，則乙隊(duì)的工作時(shí)間為天，15天的工期，兩隊(duì)能修復(fù)公路千米，求得關(guān)于的一次函數(shù)，再利用“甲隊(duì)的工作時(shí)間不少于乙隊(duì)工作時(shí)間的2倍”求得的范圍，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)甲隊(duì)平均每天修復(fù)公路千米，則乙隊(duì)平均每天修復(fù)公路千米，
由題意得，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，
，
答：甲隊(duì)平均每天修復(fù)公路6千米，則乙隊(duì)平均每天修復(fù)公路9千米；
（2）解：設(shè)甲隊(duì)的工作時(shí)間為天，則乙隊(duì)的工作時(shí)間為天，15天的工期，兩隊(duì)能修復(fù)公路千米，
由題意得，
，
解得，
∵，
∴隨的增加而減少，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，
答：15天的工期，兩隊(duì)最多能修復(fù)公路千米．
1．（2024·上海）如果，那么下列正確的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】不等式的性質(zhì)
【分析】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，根據(jù)不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變．不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變．不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．
【詳解】解：A．兩邊都加上，不等號(hào)的方向不改變，故錯(cuò)誤，不符合題意；
B．兩邊都加上，不等號(hào)的方向不改變，故錯(cuò)誤，不符合題意；
C．兩邊同時(shí)乘上大于零的數(shù)，不等號(hào)的方向不改變，故正確，符合題意；
D．兩邊同時(shí)乘上小于零的數(shù)，不等號(hào)的方向改變，故錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C．
2．（2024·江蘇徐州）若有意義，則x的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件、求一元一次不等式的解集
【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件，即二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可．
【詳解】解：二次根式有意義，
，解得．
故選：A．
3．（2023·吉林）不等式x+1≥2的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】在數(shù)軸上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集
【詳解】解：∵x+1≥2
∴x≥1
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式；在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的方法是解題的關(guān)鍵．
4．（2024·河北）若，則下列不等式一定成立的是（）
A． B．
C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】不等式的性質(zhì)
【分析】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合特值法逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：由得：
A．不妨設(shè)，，則，故本選項(xiàng)不合題意；
B．，∴，故本選項(xiàng)符合題意；
C．，∴ ，故本選項(xiàng)不合題意；
D．，∴，故本選項(xiàng)不合題意；
故選：B．
5．（2024·浙江）不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】在數(shù)軸上表示不等式的解集、求不等式組的解集
【分析】本題考查解一元一次不等式組和在數(shù)軸上表示不等式的解集，先分別求出每一個(gè)不等式的解集，再根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上表示方法畫出圖示是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式組的解集為．
在數(shù)軸上表示如下：
．
故選：A．
6．（2023·四川綿陽）關(guān)于x的不等式組有且只有兩個(gè)整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)m的和為（）
A．11B．15C．18D．21
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】由不等式組解集的情況求參數(shù)
【分析】本題主要考查了根據(jù)不等式組的解集情況求參數(shù)，正確得到關(guān)于m的不等式組是解題的關(guān)鍵．
先求出兩個(gè)不等式的解集，再根據(jù)不等式組有且只有兩個(gè)整數(shù)解得到，解不等式組即可得到答案．
【詳解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式組有且只有兩個(gè)整數(shù)解，
∴，
∴，
∴符合要求的所有整數(shù)m的值為5，6，7，
∴符合要求的所有整數(shù)m的和為．
故選C．
7．（2024·廣東）關(guān)于x的不等式組中，兩個(gè)不等式的解集如圖所示，則這個(gè)不等式組的解集是．

【答案】/
【知識(shí)點(diǎn)】在數(shù)軸上表示不等式的解集、求不等式組的解集
【分析】本題主要考查了求不等式組的解集，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可．
【詳解】解：由數(shù)軸可知，兩個(gè)不等式的解集分別為，，
∴不等式組的解集為，
故答案為：．
8．（2024·內(nèi)蒙古）關(guān)于x的不等式的解集是，這個(gè)不等式的任意一個(gè)解都比關(guān)于x的不等式的解大，則m的取值范圍是．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式的解集
【分析】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握不等式的解法是解題關(guān)鍵．先分別求出不等式的解集，再根據(jù)題意列出關(guān)于的不等式，求解即可得．
【詳解】解：，
，
，
．
解不等式得：，
∵不等式任意一個(gè)解都比關(guān)于的不等式的解大，
∴，
解得，
故答案為：；．
9．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾）對(duì)于實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“※”為，例如，則關(guān)于的不等式有且只有一個(gè)正整數(shù)解時(shí)，的取值范圍是．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式的整數(shù)解、求不等式組的解集
【分析】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，解一元一次不等式組，根據(jù)新定義和正整數(shù)解列出關(guān)于的不等式組是解題的關(guān)鍵．根據(jù)新定義列出不等式，解關(guān)于的不等式，再由不等式的解集有且只有一個(gè)正整數(shù)解得出關(guān)于的不等式組求解可得．
【詳解】解：根據(jù)題意可知，
解得：
有且只有一個(gè)正整數(shù)解
解不等式①，得：
解不等式②，得：
故答案為：．
10．（2023·湖北黃石）若實(shí)數(shù)使關(guān)于的不等式組的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．
【答案】/
【知識(shí)點(diǎn)】由不等式組解集的情況求參數(shù)
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等組，再根據(jù)不等式組的取值方法即可且求解．
【詳解】解：，
由①得，；由②得，；
∵解集為，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解不等式組，求不等式組解集，掌握解不等式組的方法，不等組的取值方法等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
11．（2024·江蘇連云港）解不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來．
【答案】，圖見解析
【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式的解集、在數(shù)軸上表示不等式的解集
【分析】本題主要考查解一元一次不等式以及在數(shù)軸上表示不等式的解集，根據(jù)去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)可得不等式的解集，然后再在數(shù)軸上表示出它的解集即可.
【詳解】解：，
去分母，得，
去括號(hào)，得，
移項(xiàng)，得，
解得．
這個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示如下：

12．（2024·北京）解不等式組：
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】求不等式組的解集
【分析】先求出每一個(gè)不等式的解集，再根據(jù)不等式組解集的確定方法“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解”確定不等式組的解集．
本題考查了一元一次不等式組的解法，熟練進(jìn)行不等式求解是解題的關(guān)鍵．
【詳解】
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式組的解集為．
13．（2024·寧夏）解不等式組．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】求不等式組的解集
【分析】本題主要考查解不等式組，掌握不等式的性質(zhì)，取值方法是解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)不等式的性質(zhì)分別求出各不等式的解集，再根據(jù)取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解”即可求解．
【詳解】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，
∴不等式組的解集為．
14．（2024·江蘇鹽城）求不等式的正整數(shù)解．
【答案】，．
【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式的整數(shù)解、求一元一次不等式的解集
【分析】本題考查了求一元一次不等式的解集以及正整數(shù)解，先求出不等式的解集，進(jìn)而可得到不等式的正整數(shù)解，正確求出一元一次不等式的解集是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：去分母得，，
去括號(hào)得，，
移項(xiàng)得，，
合并同類項(xiàng)得，，
系數(shù)化為得，，
∴不等式的正整數(shù)解為，．
15．（2024·山東淄博）解不等式組：并求所有整數(shù)解的和．
【答案】，
【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式組的整數(shù)解、求不等式組的解集
【分析】本題考查了解一元一次不等式組以及求一元一次不等式組的整數(shù)解．解各不等式，可得出x的取值范圍，取其公共部分即可得出不等式組的解集，再將各整數(shù)解相加，即可求出結(jié)論．
【詳解】解：，
解不等式①得：；
解不等式②得：，
∴原不等式組的解集，
∴不等式組所有整數(shù)解的和為．
15．（2023·寧夏）解不等式組
下面是某同學(xué)的部分解答過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)：
解：由①得：
第1步
第2步
第3步
第4步
任務(wù)一：該同學(xué)的解答過程第_______步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，錯(cuò)誤原因是_______，不等式①的正確解集是_______；
任務(wù)二：解不等式②，并寫出該不等式組的解集．
【答案】任務(wù)一：4，不等號(hào)的方向沒有發(fā)生改變，；任務(wù)二：，
【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式的解集、求不等式組的解集
【分析】任務(wù)一：系數(shù)化1時(shí)，系數(shù)小于0，不等號(hào)的方向要發(fā)生改變，即可得出結(jié)論；
任務(wù)二：移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化1，求出不等式②的解集，進(jìn)而得出不等式組的解集即可．
【詳解】解：任務(wù)一：∵，
∴；
∴該同學(xué)的解答過程第4步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，錯(cuò)誤原因是不等號(hào)的方向沒有發(fā)生改變，不等式①的正確解集是；
故答案為：4，不等號(hào)的方向沒有發(fā)生改變，；
任務(wù)二：，
，
，
；
又，
∴不等式組的解集為：．
【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式，求不等式組的解集．解題的關(guān)鍵是正確的求出每一個(gè)不等式的解集，注意系數(shù)化1時(shí)，系數(shù)是負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向要發(fā)生改變．
16．（2024·四川瀘州）某商場(chǎng)購進(jìn)A，B兩種商品，已知購進(jìn)3件A商品比購進(jìn)4件B商品費(fèi)用多60元；購進(jìn)5件A商品和2件B商品總費(fèi)用為620元．
(1)求A，B兩種商品每件進(jìn)價(jià)各為多少元？
(2)該商場(chǎng)計(jì)劃購進(jìn)A，B兩種商品共60件，且購進(jìn)B商品的件數(shù)不少于A商品件數(shù)的2倍．若A商品按每件150元銷售，B商品按每件80元銷售，為滿足銷售完A，B兩種商品后獲得的總利潤不低于1770元，則購進(jìn)A商品的件數(shù)最多為多少？
【答案】(1)A，B兩種商品每件進(jìn)價(jià)各為100元，60元；
(2)購進(jìn)A商品的件數(shù)最多為20件
【知識(shí)點(diǎn)】銷售、利潤問題(二元一次方程組的應(yīng)用)、一元一次不等式組的其他應(yīng)用
【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用：
（1）設(shè)A，B兩種商品每件進(jìn)價(jià)各為x元，y元，根據(jù)購進(jìn)3件A商品比購進(jìn)4件B商品費(fèi)用多60元；購進(jìn)5件A商品和2件B商品總費(fèi)用為620元列出方程組求解即可；
（2）設(shè)購進(jìn)A商品的件數(shù)為m件，則購進(jìn)B商品的件數(shù)為件，根據(jù)利潤不低于1770元且購進(jìn)B商品的件數(shù)不少于A商品件數(shù)的2倍列出不等式組求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)A，B兩種商品每件進(jìn)價(jià)各為x元，y元，
由題意得，，
解得，
答：A，B兩種商品每件進(jìn)價(jià)各為100元，60元；
（2）解：設(shè)購進(jìn)A商品的件數(shù)為m件，則購進(jìn)B商品的件數(shù)為件，
由題意得，，
解得，
∵m為整數(shù)，
∴m的最大值為20，
答：購進(jìn)A商品的件數(shù)最多為20件．
17．（2023·湖南常德）“六一”兒童節(jié)將至，張老板計(jì)劃購買A型玩具和B型玩具進(jìn)行銷售，若用1200元購買A型玩具的數(shù)量比用1500元購買B型玩具的數(shù)量多20個(gè)，且一個(gè)B型玩具的進(jìn)價(jià)是一個(gè)A型玩具進(jìn)價(jià)的1.5倍．
(1)求A型玩具和B型玩具的進(jìn)價(jià)分別是多少？
(2)若A型玩具的售價(jià)為12元/個(gè)，B型玩具的售價(jià)為20元/個(gè)，張老板購進(jìn)A，B型玩具共75個(gè)，要使總利潤不低于300元，則A型玩具最多購進(jìn)多少個(gè)？
【答案】(1)A型，B型玩具的單價(jià)分別是10元/個(gè)，15元/個(gè)
(2)最多可購進(jìn)A型玩具25個(gè)
【知識(shí)點(diǎn)】用一元一次不等式解決實(shí)際問題、分式方程和差倍分問題
【分析】（1）設(shè)型玩具的單價(jià)為元/件．依題意列出分式方程，進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)題意列出不等式進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）設(shè)型玩具的單價(jià)為元/件．
由題意得：，
解得：
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解
B型玩具的單價(jià)為元/個(gè)
∴A型，B型玩具的單價(jià)分別是10元/個(gè)，15元/個(gè)．
（2）設(shè)購進(jìn)A型玩具個(gè)．
解得：
∴最多可購進(jìn)A型玩具25個(gè)．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出相應(yīng)的方程或不等式．
18．（2023·湖北鄂州）已知不等式組的解集是，則（）
A．0B．C．1D．2023
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】已知字母的值，求代數(shù)式的值、由一元一次不等式組的解集求參數(shù)
【分析】按照解一元一次不等式組的步驟進(jìn)行計(jì)算，可得，再結(jié)合已知可得，，然后進(jìn)行計(jì)算可求出，的值，最后代入式子中進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式組的解集為：，
∵不等式組的解集是，
∴，，
∴，，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)一元一次不等式組的解集求參數(shù)，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
19．（2023·重慶）若關(guān)于x的不等式組的解集為，且關(guān)于y的分式方程的解為正數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為．
【答案】13
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)分式方程解的情況求值、由不等式組解集的情況求參數(shù)
【分析】先求出一元一次不等式組中兩個(gè)不等式的解集，從而可得，再解分式方程可得且，從而可得且，然后將所有滿足條件的整數(shù)的值相加即可得．
【詳解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵關(guān)于的不等式組的解集為，
，
解得，
方程可化為，
解得，
關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，
且，
解得且，
且，
則所有滿足條件的整數(shù)的值之和為，
故答案為：13．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組、分式方程，熟練掌握不等式組和分式方程的解法是解題關(guān)鍵．
20．（2023·山東聊城）今年五一小長假期間，我市迎來了一個(gè)短期旅游高峰．某熱門景點(diǎn)的門票價(jià)格規(guī)定見下表：
某旅行社接待的甲、乙兩個(gè)旅游團(tuán)共102人（甲團(tuán)人數(shù)多于乙團(tuán)），在打算購買門票時(shí)，如果把兩團(tuán)聯(lián)合作為一個(gè)團(tuán)體購票會(huì)比兩團(tuán)分別各自購票節(jié)省730元．
(1)求兩個(gè)旅游團(tuán)各有多少人？
(2)一個(gè)人數(shù)不足50人的旅游團(tuán)，當(dāng)游客人數(shù)最低為多少人時(shí)，購買B種門票比購買A種門票節(jié)省？
【答案】(1)甲團(tuán)人數(shù)有58人，乙團(tuán)人數(shù)有44人；
(2)當(dāng)游客人數(shù)最低為46人時(shí)，購買B種門票比購買A種門票節(jié)?。?br>【知識(shí)點(diǎn)】其他問題(二元一次方程組的應(yīng)用)、用一元一次不等式解決實(shí)際問題
【分析】（1）設(shè)甲團(tuán)人數(shù)有x人，乙團(tuán)人數(shù)有y人，根據(jù)“甲、乙兩個(gè)旅游團(tuán)共102人，把兩團(tuán)聯(lián)合作為一個(gè)團(tuán)體購票會(huì)比兩團(tuán)分別各自購票節(jié)省730元”列方程組求解即可；
（2）設(shè)游客人數(shù)為a人時(shí)，購買B種門票比購買A種門票節(jié)省，根據(jù)“人數(shù)不足50人，購買B種門票比購買A種門票節(jié)省”列不等式求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)甲團(tuán)人數(shù)有x人，乙團(tuán)人數(shù)有y人，
由題意得：，
解得：，
答：甲團(tuán)人數(shù)有58人，乙團(tuán)人數(shù)有44人；
（2）解：設(shè)游客人數(shù)為a人時(shí)，購買B種門票比購買A種門票節(jié)省，
由題意得：，
解得：，
∵a為整數(shù)，
∴當(dāng)游客人數(shù)最低為46人時(shí)，購買B種門票比購買A種門票節(jié)?。?br>【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，找出合適的等量關(guān)系和不等關(guān)系列出方程組和不等式是解題的關(guān)鍵．
教材知識(shí)
中考考點(diǎn)
課標(biāo)要求
一元一次不等式（組）及其解法
1.不等式的性質(zhì)
結(jié)合具體問題，了解不等式的意義，探索不等式的基本性質(zhì)；能用不等式的基本性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行變形
整式及其運(yùn)算
2.一元一次不等式（組）及其解法及其解集表示
能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集；會(huì)用數(shù)軸確定兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集
3.一元一次不等式（組）的含參問題
一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用
4.一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用
能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式,解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題
類別
具體內(nèi)容
表示
應(yīng)用
性質(zhì)1
不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變
如果，那么
解不等式中的移項(xiàng)
性質(zhì)2
不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變
如果，，那么
解不等式中的去分母（或系數(shù)化為1）
性質(zhì)3
不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變
如果，，那么
解不等式中的去分母（或系數(shù)化為1）
步驟
操作方法
依據(jù)
示例
去分母
不等式兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù)
不等式的性質(zhì)2
方程兩邊同乘6得：
去括號(hào)
括號(hào)前的數(shù)乘括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)
乘法分配律或去括號(hào)法則
移項(xiàng)
把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到不等式一邊,常數(shù)項(xiàng)移到另一邊
不等式的性質(zhì)1
合并同類項(xiàng)
把不等式化成的形式
合并同類項(xiàng)法則
系數(shù)化為1
不等式兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得到不等式的解集
不等式的性質(zhì)2或性質(zhì)3
解集
在數(shù)軸上表示
總結(jié)
方向：小于向左，大于向右；
邊界：
“”“”用實(shí)心圓點(diǎn)，
“”“”用空心圓點(diǎn)．
不等式組
在數(shù)軸上表示
解集
口訣
同大取大
同小取小
大小小大中間找
無解
大大小小取不了
步驟
示例
解每個(gè)不等式
解不等式①，得
解不等式②，得
在數(shù)軸上表示各個(gè)不等式的解集，并確定公共部分
在數(shù)軸上表示每個(gè)不等式的解集為：
寫出不等式組的解集
不等式組的解集為：
常見關(guān)鍵詞
符號(hào)
大于、多于、超過、高于
小于、少于、不足、低于
至少、不少于、不低于、不小于
最多、不高于、不大于、不超過
票的種類
A
B
C
購票人數(shù)/人
1~50
51~100
100以上
票價(jià)/元
50
45
40

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