命題點(diǎn)1 二次根式的概念、有意義的條件
1、二次根式：一般地，形如的式子叫做二次根式，叫做被開方數(shù)，“”稱為二次根號.
2、二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于或等于0.
【要點(diǎn)解讀】
①二次根式有意義的條件是被開方數(shù)，若二次根式在分母上，則被開方數(shù).
②表示的意義是非負(fù)數(shù)的算數(shù)平方根.
3、最簡二次根式：一般地，（1）被開方數(shù)不含分母（也就是說分母中不含根號）；（2）也不含能開的盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式叫做最簡二次根式.
4、同類二次根式：幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式就叫做同類二次根式，如，，是同類二次根式.
1．（2024·北京）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【知識點(diǎn)】二次根式有意義的條件
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得，
解得：．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·山東煙臺）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】同類二次根式
【分析】根據(jù)同類二次根式的定義，逐個進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、，與不是同類二次根式，不符合題意；
B、與不是同類二次根式，不符合題意；
C、，與是同類二次根式，符合題意；
D、，與不是同類二次根式，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了同類二次根式，解題的關(guān)鍵是掌握同類二次根式的定義：將二次根式化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式是同類二次根式；最簡二次根式的特征：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．
3．（2024·上海）已知，則 ．
【答案】1
【知識點(diǎn)】二次根式有意義的條件、解一元一次方程（一）——合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)
【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．由二次根式被開方數(shù)大于0可知，則可得出，求出x即可．
【詳解】解：根據(jù)題意可知：，
∴，
解得：，
故答案為：1．
4．（2024·黑龍江齊齊哈爾）在函數(shù)中，自變量的取值范圍是 ．
【答案】且
【知識點(diǎn)】分式有意義的條件、二次根式有意義的條件、求自變量的取值范圍
【分析】本題考查了求自變量的取值范圍，根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不等式組解答即可求解，掌握二次根式有意義的條件和分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意可得，，
解得且，
故答案為：且．
命題點(diǎn)2 二次根式的性質(zhì)
1、的雙重非負(fù)性：
【要點(diǎn)解讀】
①如果若干個非負(fù)數(shù)的和為0，那么這若干個非負(fù)數(shù)每個都必須為0.
②非負(fù)性常見于絕對值、偶次方、二次根式中，若與同時存在，則都為0，即.
2、
3、
4、.
5、.
5．（2020·湖北武漢）化簡二次根式的結(jié)果等于 ．
【答案】3
【知識點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡
【分析】本題主要考查了化簡二次根式，根據(jù)進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：，
故答案為：3．
6．（2024·四川樂山）已知，化簡的結(jié)果為（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【知識點(diǎn)】化簡絕對值、利用二次根式的性質(zhì)化簡
【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，去絕對值，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)化簡二次根式，然后再根據(jù)去絕對值即可．
【詳解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
7．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾）實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)位置如圖所示，則的化簡結(jié)果是（ ）
A．2B．C．D．-2
【答案】A
【知識點(diǎn)】實(shí)數(shù)與數(shù)軸、利用二次根式的性質(zhì)化簡
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，二次根式的性質(zhì)和絕對值的化簡法則，根據(jù)數(shù)軸可得，，，再利用二次根式的性質(zhì)和絕對值的化簡法則，化簡計算即可．
【詳解】解∶由數(shù)軸知∶，，
∴，
∴
，
故選：A．
8．（2024·四川樂山）已知，化簡的結(jié)果為（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【知識點(diǎn)】化簡絕對值、利用二次根式的性質(zhì)化簡
【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，去絕對值，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)化簡二次根式，然后再根據(jù)去絕對值即可．
【詳解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
命題點(diǎn)3 二次根式的運(yùn)算
【要點(diǎn)解讀】 二次根式分母有理化的方法
（1）分母為單項(xiàng)式：湊平方
①；
②.
（2）分母為多項(xiàng)式：湊平方差
.
9．（2023·湖南）對于二次根式的乘法運(yùn)算，一般地，有．該運(yùn)算法則成立的條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】二次根式有意義的條件、二次根式的乘法、求不等式組的解集
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得出不等式組，再解不等式組即可得出結(jié)果．
【詳解】解：根據(jù)二次根式有意義的條件，得，
，
故選：D．
【點(diǎn)睛】二次根式有意義的條件，及解不等式組，掌握二次根式有意義的條件是被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)是本題的關(guān)鍵．
10．（2024·山東濟(jì)寧）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知識點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡、二次根式的乘法、二次根式的加減運(yùn)算
【分析】此題考查二次根式的運(yùn)算法則，根據(jù)二次根式的加法法則對A進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對B進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對C進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的性質(zhì)對D進(jìn)行判斷．
【詳解】A. 不能合并，所以A選項(xiàng)錯誤；
B. ，所以B選項(xiàng)正確；
C. ，所以C選項(xiàng)錯誤；
D. ，所以D選項(xiàng)錯誤．
故選：B．
11．（2023·河北）若，則（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】A
【知識點(diǎn)】二次根式的乘除混合運(yùn)算
【分析】把代入計算即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
12．（2024·山東威海）計算： ．
【答案】
【知識點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算
【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及二次根式的乘法進(jìn)行計算即可求解．
【詳解】解：
故答案為：．
命題點(diǎn)4 二次根式的估值
1、確定一個數(shù)（如）在哪兩個相鄰整數(shù)之間
（1）先對根式平方，如；
（2）找出與平方后所得數(shù)字相鄰的兩個開的盡方的整數(shù)，如；
（3）同時開方，即可確定這個根式的值在那兩個相鄰整數(shù)之間，如，則在3和4之間.
2、確定一個數(shù)（如）離哪兩個整數(shù)較近
（1）確定這個二次根式在哪兩個相鄰整數(shù)之間，如；
（2）求這兩個整數(shù)的平均數(shù)，如；
（3）用平方法比較根式與平均數(shù)的大小，若根式的平方大于平均數(shù)的平方，則離較大的整數(shù)近，否則離較小的整數(shù)近，如，，因?yàn)?，所以離3較近.
【要點(diǎn)解讀】
記住常見開方數(shù)的值可以快速解題，如，，.
3、確定的整數(shù)部分
（1）確定在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間，如（為整數(shù)）；
（2）確定整數(shù)部分：的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為.
13．（2024·江蘇鹽城）矩形相鄰兩邊長分別為、，設(shè)其面積為，則S在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間（ ）
A．1和2B．2和3C．3和4D．4和5
【答案】C
【知識點(diǎn)】二次根式的乘法、無理數(shù)的大小估算
【分析】本題主要考查無理數(shù)的估算，二次根式的乘法，先計算出矩形的面積，再利用放縮法估算無理數(shù)大小即可．
【詳解】解：，
，
，
，
即S在3和4之 間，
故選：C．
14．（2024·重慶）估計的值應(yīng)在（ ）
A．8和9之間B．9和10之間C．10和11之間D．11和12之間
【答案】C
【知識點(diǎn)】無理數(shù)的大小估算、二次根式的乘法
【分析】本題考查的是二次根式的乘法運(yùn)算，無理數(shù)的估算，先計算二次根式的乘法運(yùn)算，再估算即可．
【詳解】解：∵，
而，
∴，
故答案為：C
15．（2023·湖北荊州）已知，則與最接近的整數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【知識點(diǎn)】無理數(shù)的大小估算、二次根式的混合運(yùn)算
【分析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算進(jìn)行計算，進(jìn)而估算無理數(shù)的大小即可求解．
【詳解】解：
∵，
∴,
∴與最接近的整數(shù)為，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，無理數(shù)的估算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
命題點(diǎn)5 實(shí)數(shù)的大小比較
1、數(shù)軸比較法：在數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大.
2、法則比較法：正數(shù)負(fù)數(shù)；兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小.
3、作差比較法：；；.
4、作商比較法：
（1）若，則；；.
（2）若，則；；
5、平方比較法：若，則，則.如，則.
【要點(diǎn)解讀】
適用于含根號的無理數(shù)與其他數(shù)比較大小或二次根式的估值.
6、倒數(shù)比較法：若，則.
7、特殊值法：含有字母時，給字母取特殊值更加簡便快捷.
16．（2024·廣東廣州）四個數(shù)，，，中，最小的數(shù)是（ ）
A．B．C．0D．10
【答案】A
【知識點(diǎn)】有理數(shù)大小比較
【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，解題關(guān)鍵是掌握有理數(shù)大小比較法則：正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個正數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)大；兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)反而?。?br>【詳解】解：，
最小的數(shù)是，
故選：A．
17．（2024·江蘇蘇州）用數(shù)軸上的點(diǎn)表示下列各數(shù)，其中與原點(diǎn)距離最近的是（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【知識點(diǎn)】用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)、絕對值的意義
【分析】本題考查了絕對值的定義，一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．到原點(diǎn)距離最近的點(diǎn)，即絕對值最小的點(diǎn)，首先求出各個數(shù)的絕對值，即可作出判斷．
【詳解】解：∵，，，，，
∴與原點(diǎn)距離最近的是1，
故選：B．
18．（2024·安徽）我國古代數(shù)學(xué)家張衡將圓周率取值為，祖沖之給出圓周率的一種分?jǐn)?shù)形式的近似值為．比較大?。? （填“>”或“
【知識點(diǎn)】實(shí)數(shù)的大小比較
【分析】本題考查的是實(shí)數(shù)的大小比較，先比較兩個正數(shù)的平方，從而可得答案．
【詳解】解：∵，，
而，
∴，
∴；
故答案為：
19．（2023·江蘇）實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（ ）．

A．B．C．D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】實(shí)數(shù)與數(shù)軸、實(shí)數(shù)的大小比較
【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置，判斷實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：由圖可知，，，
A、，錯誤；
B、，錯誤；
C、，錯誤；
D、，正確；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)軸比較實(shí)數(shù)的大小關(guān)系．正確的識圖，掌握數(shù)軸上的數(shù)從左到右依次增大，是解題的關(guān)鍵．
20．（2022·山東濟(jì)南）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】實(shí)數(shù)的大小比較、實(shí)數(shù)與數(shù)軸
【分析】利用數(shù)軸與實(shí)數(shù)的關(guān)系，及正負(fù)數(shù)在數(shù)軸上的表示求解．
【詳解】解：根據(jù)圖形可以得到：
，，
∴，故A項(xiàng)錯誤，
，故B項(xiàng)錯誤，
，故C項(xiàng)錯誤，
，故D項(xiàng)錯誤．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸與實(shí)數(shù)的關(guān)系，理解并正確運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
命題點(diǎn)6 實(shí)數(shù)的運(yùn)算
1、實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則
（1）四則運(yùn)算
①加法：同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數(shù)的兩數(shù)相加得0；一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù).
②減法：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，即.
③乘法：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；一個數(shù)同0相乘，仍得0，即，，
，.
④除法：除以一個不為0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，即，.
（2）乘方運(yùn)算：求幾個相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪.
（3）零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪
①；
②（，為正整數(shù)）.
（4）冪的運(yùn)算：.
（5）絕對值：
2、實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的順序
（1）先乘方、開方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，注意一定先計算各小項(xiàng)的值.
（2）同級運(yùn)算按從左往右的順序運(yùn)算.
3、運(yùn)算律
21．（2024·吉林）若的運(yùn)算結(jié)果為正數(shù)，則?內(nèi)的數(shù)字可以為（ ）
A．2B．1C．0D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】兩個有理數(shù)的乘法運(yùn)算
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘法計算，根據(jù)有理數(shù)的乘法計算法則，分別計算出與四個選項(xiàng)中的數(shù)的乘積即可得到答案．
【詳解】解：，，，，
四個算式的運(yùn)算結(jié)果中，只有3是正數(shù)，
故選：D．
22．（2024·天津）的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點(diǎn)】特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算
【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵；根據(jù)代入即可求解.
【詳解】，
故選：A.
23．（2023·湖南常德）下面算法正確的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】有理數(shù)加法運(yùn)算、有理數(shù)的減法運(yùn)算
【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減法則計算即可．
【詳解】A、，故A不符合題意；
B、，故B不符合題意；
C、，故C符合題意；
D、，故D不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的加減法，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
24．（2024·陜西）小華探究“幻方”時，提出了一個問題：如圖，將0，，，1，2這五個數(shù)分別填在五個小正方形內(nèi)，使橫向三個數(shù)之和與縱向三個數(shù)之和相等，則填入中間位置的小正方形內(nèi)的數(shù)可以是 ．（寫出一個符合題意的數(shù)即可）
【答案】0
【知識點(diǎn)】有理數(shù)加法運(yùn)算
【分析】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)橫向三個數(shù)之和與縱向三個數(shù)之和相等，進(jìn)行填寫即可得出結(jié)果．
【詳解】解：由題意，填寫如下：
，滿足題意；
故答案為：0．
25．（2024·重慶）計算：＝ ．
【答案】3
【知識點(diǎn)】零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪
【分析】根據(jù)零指數(shù)冪和負(fù)指數(shù)冪的意義計算．
【詳解】解：，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，熟練掌握零指數(shù)冪和負(fù)指數(shù)冪的意義是解題關(guān)鍵．
26．（2024·四川涼山）計算：．
【答案】2
【知識點(diǎn)】特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算、二次根式的混合運(yùn)算、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算．分別進(jìn)行零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、二次根式及絕對值的運(yùn)算，然后代入特殊角的三角函數(shù)值代入運(yùn)算即可．
【詳解】解：
．
27．（2024·貴州節(jié)選）（1）在①，②，③，④中任選3個代數(shù)式求和；
【答案】（1）見解析 【知識點(diǎn)】實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、分式化簡求值、零指數(shù)冪
【分析】本題考查分式的化簡求值和實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
（1）利用實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算的法則和運(yùn)算順序解題即可；
【詳解】（1）解：選擇①，②，③，
；
選擇①，②，④，
；
選擇①，③，④，
；
選擇②，③，④，
；
28．（2024·河北）如圖，有甲、乙兩條數(shù)軸．甲數(shù)軸上的三點(diǎn)A，B，C所對應(yīng)的數(shù)依次為，2，32，乙數(shù)軸上的三點(diǎn)D，E，F(xiàn)所對應(yīng)的數(shù)依次為0，x，12．
(1)計算A，B，C三點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)的和，并求的值；
(2)當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)D上下對齊時，點(diǎn)B，C恰好分別與點(diǎn)E，F(xiàn)上下對齊，求x的值．
【答案】(1)，
(2)
【知識點(diǎn)】數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)
【分析】本題考查的是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的含義，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意是解本題的關(guān)鍵；
（1）直接列式求解三個數(shù)的和即可，再分別計算，從而可得答案；
（2）由題意可得，對應(yīng)線段是成比例的，再建立方程求解即可．
【詳解】（1）解：∵甲數(shù)軸上的三點(diǎn)A，B，C所對應(yīng)的數(shù)依次為，2，32，
∴，，，
∴；
（2）解：∵點(diǎn)A與點(diǎn)D上下對齊時，點(diǎn)B，C恰好分別與點(diǎn)E，F(xiàn)上下對齊，
∴，
∴，
解得：；
1．（2024·遼寧）亞洲、歐洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表：
其中最低海拔最小的大洲是（ ）
A．亞洲B．歐洲C．非洲D(zhuǎn)．南美洲
【答案】A
【知識點(diǎn)】有理數(shù)大小比較的實(shí)際應(yīng)用
【分析】此題主要考查了負(fù)數(shù)的大小比較，掌握負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小是解題關(guān)鍵．比較各負(fù)數(shù)的絕對值，絕對值最大的，海拔就最低，故可得出答案．
【詳解】，，，
∵，
∴，
∴海拔最低的是亞洲．
故選：A．
2．（2024·四川自貢）在0，，，四個數(shù)中，最大的數(shù)是（ ）
A．B．0C．D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】實(shí)數(shù)的大小比較
【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，正實(shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個負(fù)實(shí)數(shù)絕對值大的反而小，據(jù)此判斷即可，解答此題的關(guān)鍵是要明確：正實(shí)數(shù)負(fù)實(shí)數(shù)，兩個負(fù)實(shí)數(shù)絕對值大的反而?。?br>【詳解】解：根據(jù)實(shí)數(shù)比較大小的方法，可得：
，
∴在0，，，四個數(shù)中，最大的數(shù)是，
故選：C．
3．（2024·新疆）估計的值在（ ）
A．2和3之間B．3和4之間C．4和5之間D．5和6之間
【答案】A
【知識點(diǎn)】無理數(shù)的大小估算
【分析】本題主要考查無理數(shù)的估算，掌握無理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)無理數(shù)的估算方法計算即可．
【詳解】解：∵，
∴，即，
故選：A．
4．（2023·山東）實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列式子正確的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】實(shí)數(shù)與數(shù)軸、實(shí)數(shù)的大小比較、實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算
【分析】根據(jù)數(shù)軸可得，，再根據(jù)逐項(xiàng)判定即可．
【詳解】由數(shù)軸可知，
∴，故A選項(xiàng)錯誤；
∴，故B選項(xiàng)錯誤；
∴，故C選項(xiàng)正確；
∴，故D選項(xiàng)錯誤；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)進(jìn)行判斷是解題關(guān)鍵．
5．（2023·四川綿陽）若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的最小值為 ．
【答案】/
【知識點(diǎn)】二次根式有意義的條件
【分析】本題考查二次根式有意義的條件，根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式計算是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：∵式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，
∴，
解得：，
∴x的最小值為，
故答案為：．
6．（2024·山東煙臺）若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為 ．
【答案】/
【知識點(diǎn)】分式有意義的條件、二次根式有意義的條件
【分析】本題考查代數(shù)式有意義，根據(jù)分式的分母不為0，二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：由題意，得：，
解得：；
故答案為：．
7．（2023·遼寧丹東）若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是 ．
【答案】且
【知識點(diǎn)】分式有意義的條件、二次根式有意義的條件
【分析】本題考查分式和二次根式有意義時的取值范圍．根據(jù)題意可得，即可得到本題答案．
【詳解】解：∵代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，
∴，解得：，
故答案為：且．
8．（2023·四川涼山）計算 ．
【答案】
【知識點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡、零指數(shù)冪、實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算
【分析】根據(jù)零指數(shù)冪、二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計算即可．
【詳解】
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，二次根式的性質(zhì)等知識，掌握任何一個不為零的數(shù)的零次冪都是1是解題的關(guān)鍵．
9．（2024·天津）計算的結(jié)果為 ．
【答案】
【知識點(diǎn)】二次根式的乘法
【分析】利用平方差公式計算后再加減即可．
【詳解】解：原式．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的混合運(yùn)算法則及平方差公式是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·湖北荊州）若，則 ．
【答案】
【知識點(diǎn)】絕對值非負(fù)性、求一個數(shù)的算術(shù)平方根
【分析】根據(jù)絕對值的非負(fù)性，平方的非負(fù)性求得的值進(jìn)而求得的算術(shù)平方根即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根，熟練掌握絕對值的非負(fù)性，平方的非負(fù)性求得的值是解題的關(guān)鍵．
11．（2012·江蘇連云港）寫一個比大的整數(shù)是 ．
【答案】2(答案不唯一)
【知識點(diǎn)】無理數(shù)的大小估算
【分析】本題考查實(shí)數(shù)大小比較，估算無理數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵．
先估算出的大小，再找出符合條件的整數(shù)即可．
【詳解】解：，
，
符合條件的數(shù)可以是：2(答案不唯一)．
故答案為：2．
12．（2022·山東臨沂）比較大?。? （填“”，“”或“”）．
【答案】
【知識點(diǎn)】實(shí)數(shù)的大小比較
【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)大小比較解答即可．
【詳解】解：∵，，，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查實(shí)數(shù)大小的比較，關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)數(shù)大小比較解答．
13．（2024·甘肅蘭州）計算：．
【答案】
【知識點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡、二次根式的乘法、二次根式的加減運(yùn)算
【分析】本題考查二次根式的運(yùn)算，先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，進(jìn)行乘法運(yùn)算，再合并同類二次根式即可．
【詳解】解：原式
．
14．（2024·江蘇蘇州）計算：．
【答案】2
【知識點(diǎn)】求一個數(shù)的絕對值、求一個數(shù)的算術(shù)平方根、實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、零指數(shù)冪
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，利用絕對值的意義，零指數(shù)冪的意義，算術(shù)平方根的定義化簡計算即可．
【詳解】解：原式
．
15．（2024·山西節(jié)選）（1）計算：；
【答案】（1）；
【知識點(diǎn)】有理數(shù)四則混合運(yùn)算、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪
【分析】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟知運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
（1）先算括號里面的，再算乘法，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，最后算加減即可；
【詳解】解：（1）
；
16．（2024·新疆節(jié)選）計算：
(1)；
【答案】(1)7
【知識點(diǎn)】求一個數(shù)的算術(shù)平方根、實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、零指數(shù)冪
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，分式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：
（1）利用絕對值的意義，乘方法則，算術(shù)平方根的定義，零指數(shù)冪的意義化簡計算即可；
【詳解】（1）解：原式
；
17．（2024·四川成都節(jié)選）（1）計算：．
【答案】（1）5；
【知識點(diǎn)】求一個數(shù)的算術(shù)平方根、實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算
【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、解一元一次不等式組，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則并正確求解是解答的關(guān)鍵．
（1）先計算算術(shù)平方根、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪、化簡絕對值，然后加減運(yùn)算即可；
【詳解】解：（1）
；
18．（2024·山東泰安節(jié)選）（1）計算：；
【答案】（1）7；
【知識點(diǎn)】實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、二次根式的混合運(yùn)算、特殊三角形的三角函數(shù)
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算和分式的化簡，實(shí)數(shù)運(yùn)算涉及特殊角的三角函數(shù)，負(fù)指數(shù)冪，二次根式和絕對值，熟練掌握相關(guān)的法則是解題的關(guān)鍵．
（1）利用特殊角的三角函數(shù)，負(fù)指數(shù)冪，二次根式和絕對值進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算；
【詳解】解：（1）；
；
19．（2023·山東臨沂）在實(shí)數(shù)中，若，則下列結(jié)論：①，②，③，④，正確的個數(shù)有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】A
【知識點(diǎn)】實(shí)數(shù)與數(shù)軸、實(shí)數(shù)的大小比較、不等式的性質(zhì)
【分析】根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)即可判斷①，根據(jù)已知條件得出，即可判斷②③，根據(jù)，代入已知條件得出，即可判斷④，即可求解．
【詳解】解：∵
∴，故①錯誤，
∵
∴，
又
∴，故②③錯誤，
∵
∴
∵
∴
∴
∴，故④正確
或借助數(shù)軸，如圖所示，

故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，實(shí)數(shù)的大小比較，借助數(shù)軸比較是解題的關(guān)鍵．
20．（2023·廣東廣州）已知關(guān)于x的方程有兩個實(shí)數(shù)根，則的化簡結(jié)果是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【知識點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)
【分析】首先根據(jù)關(guān)于x的方程有兩個實(shí)數(shù)根，得判別式，由此可得，據(jù)此可對進(jìn)行化簡．
【詳解】解：∵關(guān)于x的方程有兩個實(shí)數(shù)根，
∴判別式，
整理得：，
∴，
∴，，
∴
．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程根的判別式，二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)，理解一元二次方程根的判別式是解答此題的關(guān)鍵．
21．（2023·湖北黃岡）請寫出一個正整數(shù)m的值使得是整數(shù)； ．
【答案】8
【知識點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡
【分析】要使是整數(shù)，則要是完全平方數(shù)，據(jù)此求解即可
【詳解】解：∵是整數(shù)，
∴要是完全平方數(shù)，
∴正整數(shù)m的值可以為8，即，即，
故答案為：8（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡，正確理解題意得到要是完全平方數(shù)是解題的關(guān)鍵．
22．（2024·河北）已知a，b，n均為正整數(shù)．
（1）若，則 ；
（2）若，則滿足條件的a的個數(shù)總比b的個數(shù)少 個．
【答案】
【知識點(diǎn)】與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題、無理數(shù)的大小估算
【分析】本題考查的是無理數(shù)的估算以及規(guī)律探究問題，掌握探究的方法是解本題的關(guān)鍵；
（1）由即可得到答案；
（2）由，，為連續(xù)的三個自然數(shù)，，可得，，再利用完全平方數(shù)之間的數(shù)據(jù)個數(shù)的特點(diǎn)探究規(guī)律即可得到答案．
【詳解】解：（1）∵，而，
∴；
故答案為：；
（2）∵a，b，n均為正整數(shù)．
∴，，為連續(xù)的三個自然數(shù)，而，
∴，，
觀察，，，，，，，，，，，
而，，，，，
∴與之間的整數(shù)有個，
與之間的整數(shù)有個，
∴滿足條件的a的個數(shù)總比b的個數(shù)少（個），
故答案為：．
教材知識
中考考點(diǎn)
課標(biāo)要求
二次根式
1.二次根式的相關(guān)概念
了解二次根式、最簡二次根式的概念
掌握二次根式的有關(guān)性質(zhì)，能夠運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡
2.二次根式的性質(zhì)
3.二次根式的運(yùn)算
了解二次根式（根號下僅限于數(shù)）加、減、乘、除運(yùn)算法則，會用它們進(jìn)行簡單的四則運(yùn)算
實(shí)數(shù)的運(yùn)算
4.實(shí)數(shù)的大小比較
可能利用有理數(shù)估算一個無理數(shù)的大致范圍；
能比較實(shí)數(shù)的大小
5.實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算
理解乘方的意義；
掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運(yùn)算（以三步以內(nèi)為主）；
理解有理數(shù)的運(yùn)算律，能用運(yùn)算律簡化運(yùn)算
類別
法則
示例
乘法
除法
加減法
①將二次根式化成最簡二次根式；
②將被開方數(shù)相同的二次根式（同類二次根式）進(jìn)行合并.
類別
表示
加法交換律
加法結(jié)合律
乘法交換律
乘法結(jié)合律
乘法對加法的分配律
大洲
亞洲
歐洲
非洲
南美洲
最低海拔

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