1. 方程3x﹣1=0的根是（ ）
A. 3B. C. ﹣D. ﹣3
【答案】B
【解析】
【詳解】試題分析：移項(xiàng)得：3x=1，
化系數(shù)為1得：x=，
故選B．
考點(diǎn)：解一元一次方程．
2. 如圖，線段的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，以原點(diǎn)O為位似中心，將線段在第一象限縮小為原來的，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于或．
根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算即可．
【詳解】解：∵以原點(diǎn)為位似中心，將線段在第一象限縮小為原來的，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，
故選：A．
3. 2024年國務(wù)院政府工作報(bào)告指出：經(jīng)濟(jì)總體回升向好，國內(nèi)生產(chǎn)總值超過126萬億元，增長5.2%，增速居世界主要經(jīng)濟(jì)體前列，將126萬億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．當(dāng)原數(shù)大于10時(shí)，n等于原數(shù)的整數(shù)數(shù)位減1，按此方法即可正確求解．
【詳解】解：126萬億=，
故選：B．
4. 已知，且，則x的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了解一元一次不等式．熟練掌握解一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．
由，可得，由，可得，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得，，
故選：D．
5. 我國明朝珠算發(fā)明家程大位著作的《直指算法統(tǒng)宗》，是東方古代數(shù)學(xué)名著，詳述了傳統(tǒng)的珠算規(guī)則，確立了算盤用法．書中記載了問題：“一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無爭，小僧三人分一個(gè)，大小和尚得幾丁．”其大意是：有100個(gè)和尚分100個(gè)饅頭，如果大和尚1人分3個(gè)，小和尚3人分1個(gè)，正好分完，問大、小和尚各有多少人？若設(shè)大和尚有x人，據(jù)題意可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，根據(jù)題意，找到等量關(guān)系是正確列出方程關(guān)鍵．
設(shè)大和尚有人，根據(jù)有100個(gè)和尚分100個(gè)饅頭，如果大和尚1人分3個(gè)，小和尚3人分1個(gè)，正好分完，列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)大和尚有人，則小和尚有人，
由題意得：．
故選：B．
6. 如圖，在中，是的內(nèi)切圓，連接并延長與交于點(diǎn)D，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟練掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，由形的內(nèi)切圓，得到平分平分，根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵，
，
是的內(nèi)切圓，
分別平分，
，
，
，
故選：B．
7. 若將拋物線向右平移個(gè)單位或向左平移個(gè)單位后都經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)和幾何變換，由題意可知拋物線與x軸的交點(diǎn)為和，則拋物線的對稱軸為軸，即可求得，求得拋物線的對稱軸是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵拋物線向右平移個(gè)單位或向左平移個(gè)單位后都經(jīng)過點(diǎn)，
∴拋物線物線與x軸的交點(diǎn)為和，
∴，
∴，
故選：．
8. 如圖，分別以A，B為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M，N作直線，分別與交于點(diǎn)D，E，再以點(diǎn)D為圓心長為半徑畫弧，與交于點(diǎn)C，連接．若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，故A正確，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和得到，故B正確；根據(jù)勾股定理得到，求得，故C正確；根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，故D錯(cuò)誤．
【詳解】解：連接，由作圖知，垂直平分，
，故A正確，
∴，
∴，，
∴，
∴，故B正確；
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故C正確；
∵，
∴，故D錯(cuò)誤，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖-基本作圖、線段垂直平分線、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．
9. 已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，將變形為據(jù)此可知，為方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，整理得，，代入所求代數(shù)式化簡即可，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系及分式的化簡是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，易得，方程兩側(cè)同除得：
，
又∵，且，
∴，為方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，，整理得，，
∴，
故選：．
10. 如圖，在等邊中，，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（），得線段，連接，作的平分線交射線于點(diǎn)E．下列三個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，；③面積的最大值為．其中正確的結(jié)論是（ ）
A. ①②③B. ①②C. ①③D. ②③
【答案】C
【解析】
【分析】①首先利用等邊三角形的性質(zhì)和性質(zhì)的性質(zhì)得到，然后利用的等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求解；②如圖，過作于，利用等腰三角形的性質(zhì)得到，然后利用已知條件得到，接著利用勾股定理和三角函數(shù)即可求解；③根據(jù)①，故點(diǎn)在的外接圓上，當(dāng)點(diǎn)到的距離最大時(shí)，面積有最大值，由此即可求解．
【詳解】解：①等邊中，，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，
，
∴，故①正確；
②如圖，過作于F，
∵平分線，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
在中，，
而，
，
在中，，
，
∴，故②錯(cuò)誤；
③根據(jù)①，故點(diǎn)在的外接圓上，
當(dāng)點(diǎn)到的距離最大時(shí)，面積有最大值，
此時(shí)點(diǎn)與重合，
∴面積的最大值為，故③正確，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，同時(shí)也利用了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)及勾股定理，有一定的綜合性，對于學(xué)生的能力要求比較高．
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）請將答案填在答題卡對應(yīng)的橫線上．
11. 若的值為整數(shù)，則x的值可以為________．（寫一個(gè)即可）
【答案】3(答案不唯一)
【解析】
【分析】本題考查算術(shù)平方根，掌握整數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)算術(shù)平方根的定義進(jìn)行解題即可．
【詳解】解：∵的值為整數(shù)，
，
故答案為：3(答案不唯一)．
12. 通常情況下，紫色石蕊試液遇酸性溶液變紅色，遇堿性溶液變藍(lán)色，李老師讓學(xué)生用紫色石蕊試液檢測五瓶因標(biāo)簽污損無法分辨的無色溶液的酸堿性．這五種溶液分別是：鹽酸（呈酸性），氫氧化鈉溶液（呈堿性），氫氧化鈣溶液（呈堿性），稀硫酸（呈酸性），白醋（呈酸性）．小偉同學(xué)隨機(jī)任選一瓶溶液，將紫色石蕊試液滴入其中進(jìn)行檢測，則溶液變紅色的概率為_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了概率公式，直接根據(jù)概率公式解答即可，熟練掌握概率公式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵將紫色石蕊試液滴入鹽酸（呈酸性），稀硫酸（呈酸性），白醋（呈酸性）中，溶液變紅色，
∴溶液變紅色的概率．
故答案為：．
13. 榫卯是古代中國建筑、家具及其它器械的主要結(jié)構(gòu)方式．如圖，在某燕尾榫中，榫槽的橫截面是梯形，其中，，燕尾角，外口寬為，榫槽深度為，則它的里口寬為________（結(jié)果保留根號）．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)：過點(diǎn)A作，垂足為E，過點(diǎn)D作，垂足為F，根據(jù)垂直定義可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再利用證明，從而可得，最后根據(jù)題意得：，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【詳解】解：過點(diǎn)A作，垂足為E，過點(diǎn)D作，垂足為F，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由題意得：，
∴，
故答案為：．
14. 如圖，直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式的解集為________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，以及根據(jù)交點(diǎn)情況求不等式解集，利用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．先求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)圖象即可求解．
【詳解】解：直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，
，
，
，
關(guān)于x的不等式的解集為，
故答案為：．
15. 如圖，菱形中，，點(diǎn)，分別在，邊上，將沿直線折疊，使點(diǎn)恰好落在的中點(diǎn)處，若，則的長為________．
【答案】##5.6
【解析】
【分析】過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，求出，，設(shè)，用表示出，，再在中，利用勾股定理列方程解出即可．
【詳解】解：過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，
設(shè)，
四邊形是菱形，，，
，，，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
在中，
，，
，
在中，
由勾股定理，得，
即，
解得，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，通過作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
16. 如圖，拋物線頂點(diǎn)為M，點(diǎn)A是拋物線上異于點(diǎn)M的一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)M作交拋物線于點(diǎn)B，則點(diǎn)M到直線的距離的最大值為________．
【答案】1
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)知識．
如圖，軸于軸于于，設(shè)4)，直線的解析式為：，利用待定系數(shù)法得到，又因?yàn)椋瑒t，推出，則，所以，則，得到，當(dāng)時(shí)，即2時(shí)，，則直線必過定點(diǎn)，根據(jù)垂線段最短可知，點(diǎn)到直線的距離小于等于，故點(diǎn)到直線的最大距離為1．
【詳解】解：如圖，軸于軸于于，
∵
∴
設(shè)，直線解析式為：，
∴，
解得，
∴，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，
∴直線必過定點(diǎn)，根據(jù)垂線段最短可知，點(diǎn)到直線距離小于等于，故點(diǎn)到直線的最大距離為1．
故答案為：1．
三、解答題（本大題9個(gè)小題，共86分）解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 先化簡，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查了分式的化簡求值，二次根式的加減法，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
先利用異分母分式加減法法則計(jì)算括號里，再算括號外，然后把x，y的值代入化簡后的式子進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【詳解】解：
，
當(dāng)時(shí)，原式．
18. 如圖，在中，點(diǎn)D是中點(diǎn)，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作，交的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：；
（2）連接，判斷和的位置關(guān)系，并說明理由．
【答案】（1）證明過程見解答
（2），理由見解答
【解析】
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到．
（1）證明，即可解決問題；
（2）結(jié)合（1）證明四邊形是平行四邊形，即可解決問題．
【小問1詳解】
證明：∵點(diǎn)是中點(diǎn)，
，
，
，
和中，
，
，
；
【小問2詳解】
解：，理由如下：
，
∴四邊形是平行四邊形，
．
19. 某校為增強(qiáng)學(xué)生對國防知識的了解，激發(fā)青少年的崇軍愛國之志，在八、九年級開展國防知識競賽，兩年級隨機(jī)各抽取5名同學(xué)參賽選手的成績統(tǒng)計(jì)如圖所示，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖所給信息解答下列問題：
參賽選手成績數(shù)據(jù)分析表
（1）統(tǒng)計(jì)表中，．
（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析本次競賽，八，九年級中哪個(gè)年級成績更好？說明理由．
（3）賽后，學(xué)校決定八、九年級競賽成績分列年級前兩名的同學(xué)與校長合影，校長坐最中間，其余四名同學(xué)隨機(jī)就座，座位號分別記為1，2，3，4（如圖所示）．請用畫樹狀圖或列表的方法，求八年級兩名同學(xué)均與校長相鄰的概率．
【答案】（1）85，90
（2）九年級成績更好，理由見解析
（3）
【解析】
【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、中位數(shù)、眾數(shù)，掌握列表法與樹狀圖法、中位數(shù)、眾數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義可得答案．
（2）結(jié)合八年級和九年級的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)可得結(jié)論．
（3）列表可得八年級兩名同學(xué)的所有等可能的就座結(jié)果，以及八年級兩名同學(xué)均與校長相鄰的結(jié)果，再利用概率公式可得出答案．
【小問1詳解】
將八年級5名參賽選手的成績按照從小到大的順序排列，排在第3名的成績?yōu)?5，
八年級參賽選手成績的中位數(shù)．
由統(tǒng)計(jì)圖可知，九年級參賽選手成績的眾數(shù)．
故答案為：85；90．
【小問2詳解】
九年級成績更好．
理由：八年級和九年級的平均分相同，但九年級成績的中位數(shù)大于八年級成績的中位數(shù)，九年級成績的眾數(shù)大于八年級成績的眾數(shù)，
所以九年級成績更好．
【小問3詳解】
八年級兩名同學(xué)的所有等可能的就座情況列表如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中八年級兩名同學(xué)均與校長相鄰的結(jié)果有：，，共2種，
八年級兩名同學(xué)均與校長相鄰的概率為．
20. 已知關(guān)于x的一元二次方程．
（1）求證：此一元二次方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）已知兩邊長a，b分別為該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且第三邊長，若的周長為偶數(shù)，求m的值．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
【分析】（1）由根的判別式進(jìn)行求解即可；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，則的周長為，設(shè)，可求，由此時(shí)的周長為7，不是偶數(shù)，不符合題意，舍去；設(shè)，則：，由三角形三邊關(guān)系得，，，即，，可得，根據(jù)的周長為是偶數(shù)，求解作答即可．
【小問1詳解】
證明：∵，
∴，
∴此一元二次方程總有實(shí)數(shù)根；
【小問2詳解】
解：由題意得：，
∴的周長為，
設(shè)，則，
解得，，
此時(shí)的周長為，不是偶數(shù)，不符合題意，舍去；
設(shè)，則：，
由三角形三邊關(guān)系得，，，即，，
解得：，
∵周長m為偶數(shù)，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用等知識．熟練掌握一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
21. 如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象在第二象限交于，兩點(diǎn)．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)M在線段上，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)C，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)N，若的面積為2，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】（1）反比例函數(shù)解析式為，一次函數(shù)解析式為：
（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或
【解析】
【分析】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形面積，解一元二次方程，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）設(shè)，則，利用三角形面積公式得到，整理得：，解方程即可求得的值，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)．
【小問1詳解】
解：∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
，
∴反比例函數(shù)解析式為，
∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，則，
，
把代入得，
解得，
∴一次函數(shù)解析式為：；
【小問2詳解】
設(shè)，則，，
，
，
∴，整理得：，
解得，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為或．
22. 如圖，在中，，以為直徑作，交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作的切線交于點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)F．
（1）求證：；
（2）若，，求的長．
【答案】（1）證明見解答
（2）
【解析】
【分析】（1）由為的直徑，得，再證明是的切線，由切線長定理得，則，即可推導(dǎo)出，得，所以；
（2）連接，根據(jù)三角形的中位線定理證明，則，由，得，則，求得，由，求得，再證明，得，則．
【小問1詳解】
證明：∵為的直徑，
，
，
，
，
是的直徑，
，
，
，，
，
，
；
【小問2詳解】
解：連接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴的長是．
【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查直徑所對的圓周角等于90°、切線的判定定理、切線長定理、勾股定理、三角形的中位線定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
23. 南充古稱有“果氏之國”，素有“果城”盛譽(yù)，有近年的柑橘種植歷史，所產(chǎn)“黃柑”常為古代朝廷貢品．每年月底至第二年月，總會(huì)吸引大批游客前來品嘗．當(dāng)?shù)啬成碳覟榛仞侇櫩?，將?biāo)價(jià)為元/千克的某品牌柑橘降價(jià)銷售天后，第二次降價(jià)到元/千克又銷售了天，且兩次降價(jià)的百分率相同．設(shè)銷售時(shí)間為（天）（為正整數(shù)），日銷量為，日儲(chǔ)存及損耗費(fèi)為（元），與滿足函數(shù)關(guān)系；與滿足函數(shù)關(guān)系．（注：利潤銷售毛利潤儲(chǔ)存及損耗費(fèi)）
（1）求此品牌柑橘每次降價(jià)的百分率；
（2）已知此品牌柑橘進(jìn)價(jià)為元，設(shè)銷售該柑橘的日利潤為（元），求與之間的函數(shù)解析式．并求第幾天時(shí)銷售利潤最大？最大利潤為多少元？
（3）在（）的條件下，求這天中有多少天的利潤不低于元？
【答案】（1）；
（2）當(dāng)時(shí)，即第天利潤最大，最大利潤為元；
（3）天．
【解析】
【分析】（）依據(jù)題意，設(shè)每次降價(jià)的百分率為，從而可得，解方程即可判斷得解；
（）依據(jù)題意，第一次降價(jià)后的價(jià)格為元，從而可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而分類討論分析即可得解；
（）依據(jù)題意，由當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)兩種情形分別進(jìn)行計(jì)算分析進(jìn)而可以判斷得解．
【小問1詳解】
解：設(shè)由題意，設(shè)每次降價(jià)的百分率為，據(jù)題意可得
∴，（不符合題意，舍去）；
答：此品牌柑橘每次降價(jià)的百分率為；
【小問2詳解】
由題意，第一次降價(jià)后的價(jià)格為元，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，
∵，隨的增大而減小，
∴當(dāng)時(shí)，（元），
當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，最大值為（元）
綜上可知：，
∴當(dāng)時(shí)，即第天利潤最大，最大利潤為元；
【小問3詳解】
由題意，當(dāng)時(shí)，，
∴解得：，
∴，
又為正整數(shù)，
∴，故此時(shí)為天利潤不低于元，
當(dāng)時(shí)，，
∴解得：，
∴當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)，
故此時(shí)有天利潤不低于元．
又（天），
綜上可知，共有天利潤不低于元．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)和二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式和一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，找出等量關(guān)系，列出等式和不等式是解題的關(guān)鍵．
24. 如圖，在正方形中，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)，重合），于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，，的平分線交于點(diǎn)，連接并延長與的延長線交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究的大小是否發(fā)生變化？若不變，求出的度數(shù)；若變化，說明理由；
（3）若，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，求的長．
【答案】（1）證明見解答過程
（2）的大小不會(huì)變化，
（3）
【解析】
【分析】（1）由，可證，從而，得；
（2）過點(diǎn)作，與的延長線交于點(diǎn)，連接，證明，得，，再證，得，故平分，；
（3）連接，用面積法求出，再證，可得，故．
【小問1詳解】
證明：四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
；
【小問2詳解】
解：的大小不會(huì)變化，理由如下：
過點(diǎn)作，與的延長線交于點(diǎn)，連接，如圖：
，
，
又，
，
平分，
，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
平分，
；
【小問3詳解】
解：連接，如圖：
為中點(diǎn)，
，
，，
，
，
四邊形是正方形，
是等腰直角三角形，
，
由（2）知，為定值，且，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，即，
．
【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合應(yīng)用，涉及全等三角形判定與性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)，等腰直角三角形三邊的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形，相似三角形的判定定理．
25. 如圖，已知拋物線與x軸交于，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，，拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)M是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）如圖2，過點(diǎn)C作交x軸于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【答案】（1）
（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或；
（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或
【解析】
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）當(dāng)時(shí)，列出等式，即可求解；當(dāng)或時(shí)，同理可解；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方的拋物線上時(shí)，證明，得到，求出，進(jìn)而求解；當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上時(shí)，同理可解．
【小問1詳解】
解：∵，，
∴，
∴，
由題意得：，
解得：，
則拋物線的解析式為：；
【小問2詳解】
解：拋物線 的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為，
∵，
∴，則，
設(shè)，則，
則，
①當(dāng)時(shí)，有，
則，
解得：，
故；
②當(dāng)時(shí)，有，則，
此時(shí)無解；
③當(dāng)時(shí)，有，則，
解得：或；
故或；
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或；
【小問3詳解】
解：存在，理由：
在拋物線上存在點(diǎn)P，使．
令，
解得：，，
∴拋物線交x軸于點(diǎn)，
則，
∵，
∴，
∴，又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方的拋物線上時(shí)，
作于G，于H，延長與直線交于點(diǎn)I，過點(diǎn)I作軸于J，
則，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，把，代入得：
，
解得：，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立上式和拋物線的表達(dá)式得：，
解得：（不合題意的值已舍去），
則；
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上時(shí)，延長與直線交于點(diǎn)K．過點(diǎn)K作軸于L，
∵，，，
∴，
∴，
∴點(diǎn)C為的中點(diǎn)，
∵，，
∴，
同理根據(jù)，可求出直線的解析式為：
，
聯(lián)立上式和拋物線的表達(dá)式得：，
解得：（不合題意的值已舍去），
則點(diǎn)，
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，求二次函數(shù)解析，相似三角形的判定和性質(zhì)，求一次函數(shù)解析式，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的定義，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，勾股定理，兩點(diǎn)間距離公式，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，數(shù)形結(jié)合，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．年級
平均分
中位數(shù)
眾數(shù)
八年級
85
m
85
九年級
85
90
n
1
2
3
4
1
2
3
4

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