1. 2024的相反數(shù)是（）
A. 2024B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了相反數(shù)，“只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)”，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)相反數(shù)的定義即可求解．
【詳解】解：2024的相反數(shù)是,
故選：B．
2. 原子鐘（）是一種精密的計(jì)時(shí)儀器和頻率標(biāo)準(zhǔn)，精度可以達(dá)到每2000萬年才誤差1秒．將數(shù)據(jù)2000萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．
【詳解】解：數(shù)據(jù)2000萬用科學(xué)記數(shù)法表示為．
故選：C．
3. 下列計(jì)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分別根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，合并同類項(xiàng)，積的乘方，完全平方公式逐一分析判斷即可．
【詳解】解：，故A不符合題意，
，故B不符合題意；
，故C符合題意；
，故D不符合題意；
故選C
【點(diǎn)睛】本題考查的是同底數(shù)冪的乘法，合并同類項(xiàng)，積的乘方運(yùn)算，完全平方公式的應(yīng)用，熟記運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
4. 如圖，在和中，點(diǎn)在同一直線上，，，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使，這個(gè)條件可以是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了全等三角形的判定，靈活運(yùn)用全等三角形的判定定理是本題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴，即：，
又∵，
∴，
添加，可根據(jù)得出，故C選項(xiàng)符合題意；
故選：C．
5. 菲爾茲獎(jiǎng)（）是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的國際最高獎(jiǎng)項(xiàng)之一，每四年頒發(fā)一次，每次授予至名有卓越貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家．下面數(shù)據(jù)是部分獲獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)時(shí)的年齡（單位：歲）：，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了眾數(shù)，根據(jù)眾數(shù)的定義即可求解，掌握眾數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：在數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)的次數(shù)最多，
∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是，
故選：．
6. 如圖，有四張形狀、大小、質(zhì)地均相同的卡片，正面分別印有“速度滑冰”、“冰球”、“單板滑雪”、“冰壺”四種不同的圖案，現(xiàn)將這四張卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取兩張卡片，則抽到的兩張卡片的正面圖案恰好是“冰球”和“冰壺”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了用樹狀圖或列表法求概率，畫出樹狀圖，根據(jù)樹狀圖即可求解，掌握樹狀圖或列表法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)“速度滑冰”、“冰球”、“單板滑雪”、“冰壺”四張卡片分別用表示，畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，共有種等結(jié)果，其中抽到的兩張卡片的正面圖案恰好是“冰球”和“冰壺”的結(jié)果有種，
∴抽到的兩張卡片的正面圖案恰好是“冰球”和“冰壺”的概率是，
故選：．
7. 《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問題，原文如下：今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)，物價(jià)各幾何？譯文為：現(xiàn)有一些人共同買一個(gè)物品，每人出8元，還盈余3元；每人出7元，則還差4元．問共有多少人？這個(gè)物品的價(jià)格是多少？設(shè)共有個(gè)人，則可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)物品的價(jià)格是定值，列出方程即可．
【詳解】解：每人出8元，還盈余3元，得到物品的價(jià)格為：；每人出7元，則還差4元，得到物品的價(jià)格為：，
∴可列方程為；
故選A．
8. 如圖，二次函數(shù)的圖象與軸相交于，兩點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線，下列說法正確的是（）
A. B. 當(dāng)時(shí)，y的值隨著x的值增大而減小
C. 點(diǎn)A的坐標(biāo)為D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與軸的交點(diǎn)．拋物線開口向上則，即可判斷A；又，對(duì)稱軸是直線，從而當(dāng)時(shí)，的值隨著的值增大而增大，故可判斷B；又，對(duì)稱軸是直線，則，故可判斷C；結(jié)合，，拋物線開口向上，從而當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而可以判斷D．
【詳解】解：拋物線開口向上，
，故A錯(cuò)誤；
開口向上，對(duì)稱軸是直線，
當(dāng)時(shí)，的值隨著的值增大而增大，故B錯(cuò)誤．
，對(duì)稱軸是直線，
，故C錯(cuò)誤．
結(jié)合，，拋物線開口向上，
當(dāng)時(shí)，．
故D正確．
故選：D．
二、填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分．
9. 因式分解：=_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可．
【詳解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ．
故答案為：（a+2b）（a-2b）
10. 在平面直角坐標(biāo)系中，若反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，則k的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)反比例函數(shù)圖象分布情況，繼而得到的取值范圍即可．
【詳解】解：反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，
，
．
故答案為：．
11. 如圖，和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，若，若和的面積之比是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查的是位似變換、相似三角形的性質(zhì)．根據(jù)位似圖形的概念得到，，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算，得到答案．
【詳解】解：，
，
和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，
，，
，
，
與的面積比為：，
故答案為：．
12. 分式方程的解是________________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了解分式方程．方程兩邊都乘得出，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．
【詳解】解：，
，
方程兩邊都乘，得，
去括號(hào)得，
移項(xiàng)得，
合并同類項(xiàng)得，
解得，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
所以分式方程的解是．
故答案為：．
13. 在中，，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分別交于點(diǎn)M，N；②分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)O，作射線，交于點(diǎn)D，則的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)和尺規(guī)作圖，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，過D點(diǎn)作于H點(diǎn)，由角平分線的性質(zhì)得到，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：如圖，過D點(diǎn)作于H點(diǎn)，
由題中作法得平分，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
故答案為：．
三、解答題：本大題共5個(gè)小題，共48分．
14. （1）計(jì)算：．
（2）解不等式組：．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算和解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
（1）先代入三角函數(shù)值、計(jì)算零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、去絕對(duì)值符號(hào)，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減即可；
（2）分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．
【詳解】解：（1）
；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
則不等式組的解集為．
15. 2022年3月25日，教育部印發(fā)《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，優(yōu)化了課程設(shè)置，將勞動(dòng)從綜合實(shí)踐活動(dòng)課程中獨(dú)立出來．某校為了初步了解學(xué)生的勞動(dòng)情況，對(duì)全校學(xué)生“參加家務(wù)勞動(dòng)的時(shí)間”進(jìn)行了抽樣調(diào)查，對(duì)他們的勞動(dòng)時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表．
根據(jù)圖表信息，解答下列問題：
（1）分別求出m，n的值；
（2）該校共有900名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)等級(jí)為C的學(xué)生人數(shù)；
（3）本次調(diào)查中，等級(jí)為D的4人中有2名男生和2名女生，若從中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)交流勞動(dòng)感受，請(qǐng)利用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）；
（2）估計(jì)等級(jí)為的學(xué)生人數(shù)約360人；
（3）恰好抽到一名男生和一名女生的概率為．
【解析】
【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體，能夠讀懂統(tǒng)計(jì)圖表，掌握列表法與樹狀圖法以及用樣本估計(jì)總體是解答本題的關(guān)鍵．
（1）用統(tǒng)計(jì)圖中的人數(shù)除以扇形統(tǒng)計(jì)圖中的百分比可得抽樣調(diào)查的人數(shù)，再用的人數(shù)除以抽樣調(diào)查的人數(shù)再乘以可得，即可得的值．用抽樣調(diào)查的人數(shù)分別減去，，等級(jí)的人數(shù)，可得的值．
（2）根據(jù)用樣本估計(jì)總體，用900乘以等級(jí)的人數(shù)所占的百分比，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及恰好抽到一名男生和一名女生的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【小問1詳解】
解：抽樣調(diào)查的人數(shù)為（人，
，
．
．
【小問2詳解】
解：（人）．
估計(jì)等級(jí)為的學(xué)生人數(shù)約360人；
【小問3詳解】
解：列表如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的結(jié)果有8種，
恰好抽到一名男生和一名女生的概率為．
16. 平板支架是一種可以固定和支撐平板電腦或其他電子設(shè)備的裝置．它可以使平板電腦保持平穩(wěn)不動(dòng)，方便使用者進(jìn)行多種操作，例如觀看電影、閱讀文獻(xiàn)、打字及視頻會(huì)議等．
如圖，在側(cè)面示意圖中，，，可分別繞點(diǎn)，，轉(zhuǎn)動(dòng)，測(cè)得，，，，，，，求點(diǎn)到的距離．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）
【答案】點(diǎn)到的距離約為．
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，延長交的延長線于點(diǎn)，根據(jù)題意可得：，，，，從而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可求出和的長，再利用平角定義可得，從而可得，進(jìn)而可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可求出和的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，延長交的延長線于點(diǎn)，
由題意得：，，，，
，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，，
在中，，，
，
，
點(diǎn)到的距離約為．
17. 如圖，是的直徑，為上一點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，延長至，使．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求和長．
【答案】（1）證明見解析
（2），
【解析】
【分析】（）連接，由是的直徑可得，，進(jìn)而得，垂直平分，得到，根據(jù)三線合一可得，又由點(diǎn)是的中點(diǎn)得，即可得，即得，即可求證；
（）由（）可得，利用三角函數(shù)可得，即可得到，再利用三角函數(shù)可得，得到，又由圓周角定理得，設(shè)，則，，由勾股定理得，解方程求出即可求解；
本題考查了圓周角定理，切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：連接，
∵是的直徑，
∴，，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
即，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵為半徑，
∴是的切線；
【小問2詳解】
解：由（）可知，，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴，
設(shè)，則，，
在中，，
∴，
解得（不合，舍去）或，
∴．
18. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)圖象交于兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)在直線上，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）我們把有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．設(shè)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，是坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形是以兩鄰邊相等且對(duì)角線互相垂直的“等鄰邊四邊形”時(shí)，求兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）反比例函數(shù)的表達(dá)式為，；
（2）或；
（3），或，．
【解析】
【分析】（）利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的表達(dá)式，再聯(lián)立兩函數(shù)解析式解所得方程組即可求出點(diǎn)坐標(biāo)；
（）分兩種情況：點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段的延長線上，畫出圖形，根據(jù)解答即可求解；
（）分兩種情況：點(diǎn)在軸上和點(diǎn)在軸上，畫出圖形，進(jìn)行解答即可求解；
本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，運(yùn)用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：把代入得，，
∴，
∴，
把代入得，，
∴，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為，
由，解得或，
∴；
【小問2詳解】
解：有兩種情況：
點(diǎn)在線段上，如圖，
∵，
∴點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
∴；
點(diǎn)在線段的延長線上，如圖，
∵，
∴，
設(shè)，
則，
整理得，，
解得（不合，舍去）或，
∴；
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
【小問3詳解】
解：∵，
∴，
當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，如圖，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴平分，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴，
設(shè)直線的解析式為，把代入得，，
∴，
∴直線的解析式為，
由，解得或（不合，舍去），
∴；
當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，如圖，
同理可得，，
設(shè)直線的解析式為，把代入得，，
∴，
∴直線的解析式為，
由，解得或（不合，舍去），
∴；
綜上，，或，．
一、填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分．
19. 已知，則代數(shù)式的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，先利用分式的性質(zhì)和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再由得，代入化簡(jiǎn)后的結(jié)果中計(jì)算即可求解，掌握化簡(jiǎn)分式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：原式
，
，
，
∵，
∴，
∴原式，
故答案為：．
20. 若m，n是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得出，，然后根據(jù)完全平方公式變形即可求解．
【詳解】解：，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
，，
∴．
故答案為：．
21. 如圖，是的直徑，與弦交于點(diǎn)，，、，則圖中陰影部分的面積為_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查扇形面積的計(jì)算．連接、，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，求得，從而求得，利用扇形的面積公式和三角形的面積公式，根據(jù)“”求出陰影部分的面積公式即可．
【詳解】解：連接、．
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
22. 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，．若，則m的取值范圍____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)．利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出關(guān)于的不等式組，解不等式組即可．
【詳解】解：拋物線，
該拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)，可知點(diǎn)，，從左至右分布，
，
，
解得；
當(dāng)時(shí)，
，
，不合題意，
綜上，的取值范圍是．
故答案為：．
23. 如圖，在菱形中，，，，分別是邊，上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，與交于點(diǎn)．的度數(shù)為_____；當(dāng)最大時(shí)，線段的長是_____．
【答案】 ①. ##60度 ②.
【解析】
【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，軌跡，切線等知識(shí)．證明，推出，推出．由，推出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是，設(shè)圓心為，連接，，．求出是切線時(shí)的長即可．
【詳解】解：如圖，
四邊形是菱形，
，
，
是等邊三角形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是，
設(shè)圓心為，連接，，．
，，
垂直平分線段，
，，，，
，
，
當(dāng)與相切時(shí)，的值最大，此時(shí)．
故答案為：，．
二、解答題：本大題共3個(gè)小題，共30分．
24. “低碳環(huán)保，綠色出行”成為大家的生活理念，不少人選擇自行車出行．某公司銷售甲、乙兩種型號(hào)的自行車，其中甲型自行車進(jìn)貨價(jià)格為每臺(tái)400元，乙型自行車進(jìn)貨價(jià)格為每臺(tái)600元．該公司銷售5臺(tái)甲型自行車和3臺(tái)乙型自行車，可獲利1350元，銷售3臺(tái)甲型自行車和2臺(tái)乙型自行車，可獲利850元．
（1）該公司銷售一臺(tái)甲型、一臺(tái)乙型自行車的利潤各是多少元？
（2）為滿足大眾需求，該公司準(zhǔn)備加購甲、乙兩種型號(hào)自行車共25臺(tái)，且資金不超過12000元，最少需要購買甲型自行車多少臺(tái)？
【答案】（1）一臺(tái)甲型自行車?yán)麧櫈?50元，一臺(tái)乙型自行車?yán)麧櫈?00元；
（2）最少需要購買15臺(tái)甲型自行車．
【解析】
【分析】本題考查二元一次方程組及一元一次不等式解實(shí)際應(yīng)用題，涉及解二元一次方程組、解一元一次不等式等知識(shí)，讀懂題意，準(zhǔn)確列出方程組及不等式求解是解決問題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)一臺(tái)甲型自行車?yán)麧櫈樵慌_(tái)乙型自行車?yán)麧櫈樵?，讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系列二元一次方程組求解即可得到答案；
（2）設(shè)購買臺(tái)甲型自行車，則乙型自行車購買臺(tái)，讀懂題意，找到不等關(guān)系列不等式求解即可得到答案．
【小問1詳解】
解：設(shè)一臺(tái)甲型自行車?yán)麧櫈樵?，一臺(tái)乙型自行車?yán)麧櫈樵?br>由題意可得：，
解得：
一臺(tái)甲型自行車?yán)麧櫈?50元，一臺(tái)乙型自行車?yán)麧櫈?00元；
【小問2詳解】
解：設(shè)購買臺(tái)甲型自行車，則乙型自行車購買臺(tái)，
由題意可得：，
解得：，
最少需要購買15臺(tái)甲型自行車．
25. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上異于點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為．直線與拋物線交于另一點(diǎn)，連接．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若直線的表達(dá)式為，試探究k是否為定值．若是，請(qǐng)求出k值；若不是，請(qǐng)說明理由；
（3）若為直角三角形，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
【答案】（1）；
（2）為定值，理由見解析
（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．
【解析】
【分析】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系，解決相關(guān)問題．
（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）求點(diǎn)，即可求解；
（3）當(dāng)為直角時(shí)，證明，得到，即，即可求解；當(dāng)為直角時(shí)，過點(diǎn)作軸的平行線，過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為點(diǎn)，求得，，，，證明，利用相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算可求解；當(dāng)為直角時(shí)，同理可解．
【小問1詳解】
解：拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，
則，
則拋物線的表達(dá)式為：；
【小問2詳解】
解：為定值，理由：
設(shè)點(diǎn)，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，
令，
解得：，則點(diǎn)，
則點(diǎn)，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，的表達(dá)式為：，
聯(lián)立上式和拋物線的表達(dá)式得：，
解得：（舍去）或，
則點(diǎn)，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，
即；
【小問3詳解】
解：當(dāng)為直角時(shí)，
過點(diǎn)作軸的平行線交過點(diǎn)和軸的平行線于點(diǎn)，交過點(diǎn)和軸的平行線于點(diǎn)，
由（2）知，，，
則，，，，
，，
，
，即，
解得：或，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為：或；
當(dāng)為直角時(shí)，
即，
過點(diǎn)作軸平行線，過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為點(diǎn)，如圖，
∵，，，
∴，，
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
則點(diǎn)；
當(dāng)為直角時(shí)，
即，
同理，求得，
則點(diǎn)，
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．
26. 如圖，在矩形中，（n為正整數(shù)），點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，P為中點(diǎn)，連接，將射線繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，與矩形的邊交于點(diǎn)F．
【嘗試初探】
（1）在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)F在邊上時(shí)，試探究線段，之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出結(jié)論并證明；
【深入探究】
（2）若，在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)F在邊上時(shí)，求的最小值；
【拓展運(yùn)用】
（3）若，設(shè)的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路程（用含n的代數(shù)式表示）．
【答案】（1），理由見解析；（2）的最小值為；（3）點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為．
【解析】
【分析】（1）過點(diǎn)作于，于，可證得，得出，再由，，得出：，，可得：，，則，，結(jié)合已知即可求得答案；
（2）設(shè)，，，過點(diǎn)作于，可證得，得出，進(jìn)而推出，，則，即可求得答案；
（3）確定以下幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)時(shí)點(diǎn)的位置：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，即可求得答案．
【詳解】解：（1）結(jié)論：，
理由：如圖1，過點(diǎn)作于，于，
則，
四邊形是矩形，
，
，
四邊形是矩形，
，，，
由旋轉(zhuǎn)得：，
，
即，
，
，
，
為中點(diǎn)，
，
∵，，
，，
，，
，，
，
，
，
；
（2）當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，，，過點(diǎn)作于，如圖2，
則，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
點(diǎn)在邊上，
，
即，
，
，
的最小值為；
（3），
，，
在中，，
為中點(diǎn)，
，
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，如圖3，
，，
，
，即，
，
的中點(diǎn)為，
；
當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，如圖4，
是斜邊的中點(diǎn)，
，
，
，
，
，即，
，
的中點(diǎn)為，
，
；
當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖5，過點(diǎn)作于，
則，，
，
點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為．
【點(diǎn)睛】本題是矩形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等，綜合性較強(qiáng)，要求學(xué)生有較強(qiáng)的識(shí)圖和邏輯思維能力，屬于中考?jí)狠S題．等級(jí)
時(shí)長（單位：分鐘）
人數(shù)
10
10
4
男
男
女
女
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）

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