時量：120分鐘分值：150分
考試內(nèi)容：必修一，必修二第六章1-3節(jié)
一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 如圖，是全集，是兩個子集，則圖中的陰影部分可以表示為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定的圖形，利用集合的交并補運算即可求解.
【詳解】觀察圖形知，陰影部分在集合中，且不在集合，在中，ABC不可選，也不在中，
所以陰影部分可表示為.
故選：D
2. 函數(shù)的零點所在區(qū)間是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)解析式判斷函數(shù)單調(diào)性，再應(yīng)用零點存在性定理確定所在區(qū)間即可.
【詳解】由在上遞減，
所以在上遞減，
又，，
所以零點所在區(qū)間為.
故選：B
3. 函數(shù)的部分圖象大致為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函數(shù)的奇偶性與函數(shù)值符號判斷．
【詳解】∵函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，
∴其圖象既不關(guān)于原點對稱，也不關(guān)于軸對稱，故選項C錯誤；
當(dāng)時，，故A，D錯誤，
故選：B
4. 已知為角終邊上一點，則（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式及由弦化切化簡目標(biāo)式為，結(jié)合三角函數(shù)的定義求得，即可求值.
【詳解】由，又，
所以.
故選：B
5. 已知，則的大小關(guān)系為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用對數(shù)換底公式，結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)及媒介數(shù)比較大小即得.
【詳解】依題意，，，
又，
所以的大小關(guān)系為.
故選：A
6. 已知．若存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通過對參數(shù)分類討論，研究在和的單調(diào)性，再結(jié)合已知條件，即可求解.
【詳解】解：由題意，不妨令，；，，
①當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞減，易知在上的值域為，
又因為存在最小值，只需，解得，
又由，從而；
②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因為存在最小值，故，
即，解得，，這與矛盾；
③當(dāng)時，，易知的值域為，顯然無最小值；
④當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，從而無最小值.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.
故選：A.
7. 如圖，在中，，，，，邊上的兩條中線，相交于點，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題得為直角三角形，建立平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為求與夾角的余弦即可.
【詳解】因為，，，
由余弦定理得，，
得到，又，所以為直角三角形，
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則有，又分別為中點，
所以，故，
所以，
故選：D.
8. 已知點在函數(shù)（且，，）的圖像上，直線是函數(shù)圖像的一條對稱軸.若在區(qū)間上單調(diào)，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由在區(qū)間內(nèi)單調(diào)求出的范圍，先由函數(shù)零點與對稱軸之間的關(guān)系求出周期，進(jìn)而求得，利用對稱軸即可求出.
【詳解】∵在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，，得，所以
∵是函數(shù)的零點，直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸，∴，
若，則，此時，得，滿足條件，
若，則，此時，得，不滿足條件，
綜上可知，函數(shù)，
∵是函數(shù)的圖象的一條對稱軸，∴，即，
∵，∴，
故選：C
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，結(jié)合的單調(diào)區(qū)間以及對稱軸對稱中心之間的關(guān)系求出周期和是解決本題的關(guān)鍵，屬于一般題.
二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 下列說法正確是（）
A. 若不等式的解集為，則
B. 若命題p：，，則p的否定為，
C. 已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是
D. 已知.若的值域為R，則實數(shù)m的取值范圍
【答案】AB
【解析】
【分析】對于A，不等式解集的端點即對應(yīng)方程的根，可求出，判斷正誤；
對于B，使用含有一個量詞的命題的否定的知識進(jìn)行判斷；
對于C，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合分段函數(shù)單調(diào)性知識進(jìn)行判斷；
對于D，可使用復(fù)合函數(shù)的值域知識進(jìn)行判斷.
【詳解】對于A，不等式解集為，
則和是方程的兩個根，故，
解得，所以，故A正確；
對于B，全稱量詞命題“，”的否定為存在量詞命題“，”
因此命題，則其否定為，故B正確；
對于C，因為是增函數(shù)，需滿足當(dāng)時，為增函數(shù)，當(dāng)時，為增函數(shù)，且當(dāng)時，，所以，解得，故C不正確；
對于D，令，，的值域為R，則的值域為R，即為值域的子集，當(dāng)時，，值域為R，滿足題意，當(dāng)時，需，即，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是，故D不正確.
故選：AB.
10. 下列說法正確的是（）
A. 函數(shù)的零點是
B. 方程有兩個解
C. 函數(shù)的圖象關(guān)于對稱
D. 用二分法求方程在內(nèi)的近似解的過程中得到，，則方程的根落在區(qū)間上
【答案】BC
【解析】
【分析】對于A，由零點的定義即可得解；對于BD，由零點存在定理即可判斷；對于C，由互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象的位置關(guān)系即可判斷.
【詳解】對于A，零點不是點，而是函數(shù)圖象與軸交點的橫坐標(biāo)，故A錯誤；
對于B，令，
則，，
所以由零點存在定理可知（其圖象連續(xù)不斷）在內(nèi)各有一個零點，故B正確；
對于C，若，所以函數(shù)互為反函數(shù)，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，故C正確；
由零點存在定理可知方程的根落在區(qū)間，故D錯誤.
故選：BC.
11. 給出下列命題，其中正確的選項有（）
A. 等邊中，向量與向量的夾角為
B. ，，則向量在向量上的投影向量為
C. 非零向量滿足，則與的夾角為
D. 若，，，為銳角，則實數(shù)的取值范圍為
【答案】ABC
【解析】
【分析】由向量夾角定義知A正確；由投影向量定義，結(jié)合向量坐標(biāo)運算知B正確；根據(jù)向量線性運算的幾何意義可確定C正確；由，根據(jù)為銳角可構(gòu)造不等式組求得D錯誤.
【詳解】對于A，，為等邊三角形，，A正確；
對于B，，，
在上的投影向量為，B正確；
對于C，，以構(gòu)成如圖所示的等邊三角形，
其中，，，
以為鄰邊作平行四邊形，則，四邊形為菱形，
，又，平分，
，C正確；
對于D，，，
，
為銳角，，解得：且，D錯誤.
故選：ABC.
12. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）.
A. 是周期函數(shù)
B. 是函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間
C. 若，則
D. 不等式的解集為，
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】對于A，因為，
所以是的一個周期，正確；
對于B，因為，且函數(shù)的定義域為R，
所以是奇函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，
又因為是奇函數(shù)且過原點，所以是函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間，正確；
對于C，由AB可畫出函數(shù)在上的圖象，又因為，
所以的圖像關(guān)于對稱，可畫出函數(shù)在上的圖象，
即得到函數(shù)在上的圖象，即一個周期的圖象，如圖：
則，滿足，但，錯誤；
對于D，先求不等式在一個周期內(nèi)的解集，
取區(qū)間，因為，所以，
則，則在整個定義域上有，解得，正確.
故選：ABD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于新的三角函數(shù)，往往先畫出一個周期的函數(shù)圖象，進(jìn)而得到整個函數(shù)圖象，利用三角函數(shù)圖象不僅解決三角函數(shù)性質(zhì)問題，還可以解不等式、方程零點個數(shù)等問題.
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分．
13. __________．
【答案】9
【解析】
【分析】由指數(shù)與對數(shù)的運算法則以及誘導(dǎo)公式即可求解.
【詳解】原式
故答案為：9
14. 若扇形的弧長為8，圓心角為，則扇形的面積為__________.
【答案】8
【解析】
【分析】由弧長公式求出扇形的半徑，再由扇形的面積公式求解即可.
【詳解】解：
.
故答案：8
15. ，，且恒成立，則的最大值為__．
【答案】4
【解析】
【分析】將不等式變形分離出，不等式恒成立即大于等于右邊的最小值；由于，湊出兩個正數(shù)的積是常數(shù)，利用基本不等式求最值．
【詳解】解：由于恒成立，且
即恒成立
只要的最小值即可
，，故，因此
故答案為：4．
16. 如圖，是等邊三角形，邊長為是平面上任意一點．則的最小值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】取的中點，的中點，利用向量數(shù)量積的運算律計算即得.
【詳解】在邊長為2的在中，取的中點，連接并取其中點，連接，則，
于是
，
當(dāng)且僅當(dāng)點與點重合時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：
四?解答題：本題共6小題，共計70分．解答時應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．
17. 如圖所示，已知在△AOB中，BC=2AC，OD=2DB，DC和OA交于點E，設(shè)，．
（1）用和表示向量、；
（2）若，求實數(shù)λ的值
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）結(jié)合向量的加法、減法法則運算即可
（2）根據(jù)向量的減法法則可得、，結(jié)合平行向量的基本定理計算即可.
【小問1詳解】
由題意知，A是BC的中點，且，
由平行四邊形法則，，
所以，
.
【小問2詳解】
因為，又，
，
所以＝，解得．
18. 已知函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，其中，點P的坐標(biāo)為，點Q是圖象上的最低點且坐標(biāo)為，點R是圖象上的最高點.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）記，（α，β均為銳角），求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由圖象可得A，由函數(shù)的最小正周期求得的值，利用正弦函數(shù)的對稱中心結(jié)合的取值范圍可求得的值，即可求得函數(shù)的解析式；
（2）利用函數(shù)周期求得，由兩點式斜率公式及誘導(dǎo)公式求得，，進(jìn)而利用二倍角正切公式和兩角和的正切公式求解即可.
【小問1詳解】
由圖象及，可知，，
又函數(shù)的最小正周期，所以，
因為點為函數(shù)的一個對稱中心，所以，即，
又，所以，所以.
【小問2詳解】
由（1）函數(shù)周期及最值知，因為，，，，
所以，，即，
所以，
所以.
19. 為了預(yù)防流感病毒，某中學(xué)對教室進(jìn)行藥熏消毒，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（單位：毫克）隨時間（單位：）的變化情況如圖所示，在藥物釋放過程中，與成正比，藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)），根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：
（1）寫出從藥物釋放開始，與之間的函數(shù)關(guān)系；
（2）據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低至毫克以下時，學(xué)生方可進(jìn)入教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少小時后，學(xué)生才能回到教室（精確到）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知圖象過的點的坐標(biāo)，即可直接求出相應(yīng)解析式；
（2）令，即可得出結(jié)果.
【小問1詳解】
由題知，藥物釋放過程中，設(shè)，
將代入解析式可得，，解得，
以及，解得，
所以從藥物釋放開始，.
【小問2詳解】
由（1）知，，
令，則，
所以從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過約小時后，學(xué)生才能回到教室.
20. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的零點以及不等式的解集；
（2）設(shè)中的最大數(shù)是，正數(shù)滿足，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）將函數(shù)寫為分段函數(shù)的形式，再根據(jù)范圍依次解不等式即可.
（2）確定，變換，再利用均值不等式計算得到最值.
【小問1詳解】
，
當(dāng)時，，解得；
當(dāng)時，，解得，即；
當(dāng)時，，解得，即；
綜上所述：，即.
【小問2詳解】
，，
.
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立.
21. 已知．
（1）若（為坐標(biāo)原點），求與的夾角；
（2）若，求的值．
【答案】21.
22. ，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量模長以及夾角的坐標(biāo)公式計算即可；
（2）由向量垂直得到數(shù)量積為，進(jìn)而得到，通過平方得到，進(jìn)而可得，再根據(jù)的范圍確定正負(fù)，開方得解；再利用立方和公式展開，進(jìn)而得解.
【小問1詳解】
由得，，
又，，，
設(shè)與的夾角為,，則,
又，故與的夾角為.
【小問2詳解】
由得，即，
，，故,
，.
又.
22. 已知函數(shù)
（1）求f(x)的定義域；
（2）若，求f(x)的值域;
（3）設(shè)，函數(shù)，，若對于任意，總存在唯一，使得成立，求a的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由對數(shù)函數(shù)的意義，列出不等式，再求解作答.
（2）求出函數(shù)在上的值域，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解作答.
（3）利用二次函數(shù)對稱軸分類，結(jié)合（2）的結(jié)論列出不等式，求解作答.
【小問1詳解】
函數(shù)有意義，有，即，解得，
所以函數(shù)f(x)的定義域為.
【小問2詳解】
當(dāng)時，，則，，，
所以f(x)的值域是.
【小問3詳解】
由（2）知，，，函數(shù)圖象對稱軸，
而，當(dāng)，即時，顯然，
因為任意，總存在唯一的，使得成立，
則必有，解得或，顯然無解，
當(dāng)，即或時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，
因為任意，總存在唯一的，使得成立，則，
于是得，解得或，滿足或，因此或，
所以a的取值范圍是.
【點睛】結(jié)論點睛：若，，有，則的值域是值域的子集．

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