時(shí)量：120分鐘滿分：150分
考試范圍：必修一、必修二第六章1-3節(jié)
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 設(shè)全集，集合，集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求，再求
【詳解】,故．
故選：A
2. 必存在零點(diǎn)的區(qū)間是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可知的零點(diǎn)即為與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，結(jié)合圖象分析判斷.
【詳解】令，可得，
可知的零點(diǎn)即為與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出與的圖象，
又，
可知與在內(nèi)有交點(diǎn)，在，和內(nèi)無交點(diǎn)，
所以在內(nèi)必存在零點(diǎn)，其它區(qū)間無零點(diǎn).
故選：C.
3. 已知，則的大小關(guān)系是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求得的取值范圍，即可求解.
【詳解】由指數(shù)函數(shù)在定義域?yàn)閱握{(diào)遞增函數(shù)，
因?yàn)?，可得?br>由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以.
故選：D.
4. 函數(shù)的部分圖象大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】奇偶性定義判斷函數(shù)奇偶性，結(jié)合上函數(shù)符號，應(yīng)用排除法即可得答案.
【詳解】因?yàn)椋郧叶x域?yàn)镽，
所以是奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除A、B.
當(dāng)時(shí)，，排除D.
故選：C
5. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）
A. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
B. 將的圖象向左平移個(gè)單位長度可以得到的圖象
C. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
D. 的圖象關(guān)于直線對稱
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)“五點(diǎn)法”求解．可先求出函數(shù)解析式，然后判斷各選項(xiàng)．
【詳解】，，，，又，∴，∴，
，A錯(cuò)；
將圖象向左平移個(gè)單位長度所得函數(shù)解析式為，B錯(cuò)；
時(shí)，，應(yīng)為增函數(shù)，C錯(cuò)；
由得，，時(shí)，是對稱軸，D正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)圖象求三角函數(shù)解析式，考查三角函數(shù)的性質(zhì)．掌握“五點(diǎn)法”是解題關(guān)鍵．
6. 如圖，正方形中，是的中點(diǎn)，若，則（）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)分別表示出，，，由已知，求解出和，再計(jì)算即可.
【詳解】由題意，以為軸，以為軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)正方形邊長為，
則，，，，，
所以，，，
，
又，
所以，解得，
所以.
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，恰當(dāng)?shù)慕⒅苯亲鴺?biāo)系將向量形式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式，屬于基礎(chǔ)題.
7. 已知，且為第二象限角,，則的值為（）
A. －B. －
C. D. －
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求正弦，再弦化切應(yīng)用，結(jié)合誘導(dǎo)公式代入求值即可.
【詳解】因?yàn)椋覟榈诙笙藿?，所以?br>則
故選:C.
8. 已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的為（）
A. B. 的最小正周期
C. 有4個(gè)零點(diǎn)D.
【答案】D
【解析】
【分析】對于A：根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)運(yùn)算求解；對于B：根據(jù)對稱性和奇偶性分析可得，進(jìn)而可得周期性；對于C：分別作出的圖象，結(jié)合圖象分析判斷；對于D：根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)性質(zhì)分析運(yùn)算.
【詳解】對于A：由題意可得：，解得，故A正確；
對于B：∵是偶函數(shù)，則，則，
又∵為奇函數(shù)，則，可得，
∴，則的最小正周期，故B正確；
對C：令，則，
注意到此時(shí)，分別作出的圖象，
由圖象可知：有4個(gè)交點(diǎn)，故有4個(gè)零點(diǎn)，
故C正確；
對D：∵，
則，
可得，故D不正確.
故選：D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列說法正確的是（）
A. 命題“”的否定是“，使得”
B. 若集合中只有一個(gè)元素，則
C. 關(guān)于的不等式的解集，則不等式的解集為
D. “”是“”的充分不必要條件
【答案】CD
【解析】
【分析】因?yàn)槊}的否定一定要否定結(jié)論，故A錯(cuò)誤；B中方程應(yīng)該對是否為0進(jìn)行討論，有兩個(gè)結(jié)果，故B錯(cuò)誤；根據(jù)一元二次不等式的解法確定C的真假；根據(jù)充要條件的判定對D進(jìn)行判斷.
【詳解】對A：命題“”的否定是“，使得”，故A錯(cuò)誤；
對B：當(dāng)時(shí)，集合中也只有一個(gè)元素，故B錯(cuò)誤；
對C：因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，故，不妨設(shè)，則由韋達(dá)定理可得，，所以不等式，故C正確；
對D：由“，”可得“”，但“”，比如時(shí)，“，”就不成立，故D成立.
故選：CD
10. 下列關(guān)于基本不等式的說法正確的是（）
A. 若，則的最大值為
B. 函數(shù)的最小值為2
C. 已知，，，則最小值為
D. 若正數(shù)x，y滿足，則的最小值是3
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)均值不等式求最值，注意驗(yàn)證等號成立的條件.
【詳解】因?yàn)?，所以，?br>當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立，故A正確；
函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，，?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故C正確；
由可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故D錯(cuò)誤.
故選：AC
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.
11. 水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具.據(jù)史料記載，水車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，是人類的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的特征.如圖是一個(gè)半徑為的水車，一個(gè)水斗從點(diǎn)出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒.經(jīng)過秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足（，，），則下列敘述正確的是（）
A.
B. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增
C. 當(dāng)時(shí)，的最大值為
D. 當(dāng)時(shí)，
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件可得的值，從而求得函數(shù)的解析式，然后根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，對選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意，，，所以，
則，
又點(diǎn)，此時(shí)代入可得，解得，
又，所以，故A正確；
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)先增后減，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，所以，
則，則，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，的縱坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)為，
所以，故D正確；
故選：AD
12. 已知為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.記，下列結(jié)論正確的是
A. 奇函數(shù)
B. 若的一個(gè)零點(diǎn)為，且，則
C. 在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)
D. 若大于1的零點(diǎn)從小到大依次為，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)奇偶性的定義判斷A選項(xiàng)；將等價(jià)變形為，結(jié)合的奇偶性判斷B選項(xiàng)，再將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，結(jié)合函數(shù)的奇偶性判斷C選項(xiàng)，結(jié)合圖象，得出的范圍，由不等式的性質(zhì)得出的范圍.
【詳解】由題意可知的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱
因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，故A正確；
假設(shè)，即時(shí)，
所以當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)，，則
由于的一個(gè)零點(diǎn)為， 則，故B正確；
當(dāng)時(shí)，令，則大于的零點(diǎn)為的交點(diǎn)，由圖可知，函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)有2個(gè)，由于函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)有1個(gè)，并且
所以函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)，故C錯(cuò)誤；
由圖可知，大于1的零點(diǎn)
所以
故選：ABD
【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷函數(shù)的奇偶性以及判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，屬于較難題.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．
13. 計(jì)算：_______.
【答案】5
【解析】
【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算公式、指數(shù)式與結(jié)數(shù)式恒等式，指數(shù)的運(yùn)算公式進(jìn)行運(yùn)算即可.
【詳解】.
故答案為：5
【點(diǎn)睛】本題考查了對數(shù)、指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了對數(shù)與指數(shù)恒等式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.
14. 已知，則______.
【答案】
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡已知等式的左邊求出的值，再利用二倍角的正弦公式得到，分母除以，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式得到，最后轉(zhuǎn)化為即可求出的值.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角的正切函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及誘導(dǎo)公式的作用，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.
15. 已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)，任意時(shí)，總存在使得，則的取值范圍_______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意得到，再計(jì)算值域?yàn)椋玫?，?jì)算得到答案.
【詳解】冪函數(shù)則或
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，舍去；
故，當(dāng)時(shí)：
故；
綜上所述：
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)，函數(shù)值域，將存在問題和恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵.
16. 已知函數(shù)，若存在，，…，滿足，，且，，當(dāng)取最小值時(shí)，則此時(shí)的值為_____________．
【答案】
【解析】
【分析】由正弦函數(shù)的有界性可得，對任意，都有，要使取得最小值，盡可能多讓取得最高點(diǎn)，然后作圖可得滿足條件的最小值．
【詳解】對任意，
都有
要使取得最小值，盡可能多讓取得最值點(diǎn)，
考慮，
則按下圖取值即可滿足條件，的最小值為.
故答案為：．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：正確理解對任意，都有是解答該題的關(guān)鍵.
四、解答題：本題共6小題，共計(jì)70分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知集合A=，B=
（1）若m=3，求A∪B；
（2）設(shè)全集為R，若BCRA，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】（1）A∪B；（2）.
【解析】
【分析】（1）先求出集合A,B,再求A∪B得解；（2）先求出或，再對m分類討論得解.
【詳解】（1）m=3時(shí)，B=，
A=，
所以A∪B.
（2）由題得或，
B=，
當(dāng)m=5時(shí)，B=滿足已知.
當(dāng)時(shí)，，滿足已知.
當(dāng)時(shí)，，，所以.
綜上，.
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的關(guān)系和運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平.
18. 已知是定義在上的奇函數(shù)，且.
（1）若，求的值；
（2）對任意的，，，恒有，解關(guān)于的不等式.
【答案】（1）0；（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性計(jì)算即可得解；
（2）由可推出函數(shù)單調(diào)遞減，可得單調(diào)遞減，不等式可轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，
則，
因?yàn)?，所以?br>【小問2詳解】
不妨設(shè)，則，
又因?yàn)椋?br>所以，
則在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增；
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以
，
則不等式的解集為.
19.
已知向量，，且.
（1）求及；
（2）求函數(shù)的最大值，并求使函數(shù)取得最大值時(shí)的值
【答案】（1）,;（2）3,
【解析】
【詳解】解：（1），
∵， ∴∴.
（2）
∵， ∴，
∴當(dāng)，即時(shí).
20. 設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且的最小值是.
（1）求函數(shù)的解析式;
（2）已知實(shí)數(shù)滿足，且對恒有，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)圖象性質(zhì)可知周期，可計(jì)算得，即可求出；
（2）易知對可得，即只需，可求得，再由基本不等式即可求得的最小值為.
【小問1詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離最小值為，
所以周期，
可得，解得；
即函數(shù)；
所以函數(shù)的解析式為；
【小問2詳解】
由可得，所以
又恒有，
只需，所以，解得，
即；
易知，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立；
即可得的最小值為.
21. 2022年我市某新能源汽車生產(chǎn)企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)一批新能源汽車設(shè)備，經(jīng)過前期的市場調(diào)研，生產(chǎn)新能源汽車制造設(shè)備，預(yù)計(jì)全年需投入固定成本500萬元，每生產(chǎn)百臺(tái)設(shè)備，需另投入成本萬元，且根據(jù)市場行情，每百臺(tái)設(shè)備售價(jià)為700萬元，且當(dāng)年內(nèi)生產(chǎn)的設(shè)備當(dāng)年能全部銷售完．
（1）求2022年該企業(yè)年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）2022年產(chǎn)量為多少百臺(tái)時(shí)，企業(yè)所獲年利潤最大？最大年利潤是多少萬元？（注：利潤=銷售額－成本）
【答案】（1）
（2）2022年產(chǎn)量為100百臺(tái)時(shí)，企業(yè)所獲年利潤最大，最大年利潤是8900萬元
【解析】
【分析】（1）根據(jù)利潤=（銷售額－投入成本－固定成本）求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
（2）分別求兩段函數(shù)的最大值，再取它們中較大者為最大年利潤.
【小問1詳解】
由題知當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
所以
【小問2詳解】
若，，所以當(dāng)時(shí)，
若，，，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，．
因?yàn)?
所以2022年產(chǎn)量為100百臺(tái)時(shí)，企業(yè)所獲年利潤最大，最大年利潤是8900萬元.
22. 已知
（1）當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，解決以下兩個(gè)問題：
①求k的值；
②若關(guān)于x的不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)是偶函數(shù)時(shí)，設(shè)，那么當(dāng)n為何值時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn)．
【答案】（1）①；②；
（2）當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn).
【解析】
【分析】（1）①根據(jù)函數(shù)的奇偶性列方程，由此求得；②化簡已知不等式，利用換元法、分離常數(shù)法，結(jié)合對勾函數(shù)的知識(shí)求得的取值范圍.
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性求得，轉(zhuǎn)化，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合二次函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行分類討論，從而求得的范圍.
【小問1詳解】
①當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，，
，解得.
②由得，則不等式，
可化為，
令，因?yàn)樵龊瘮?shù)，所以也為增函數(shù)，
，
，
，
由對勾函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)?shù)淖钚≈禐椋?br>，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
【小問2詳解】
當(dāng)是偶函數(shù)時(shí)，，
，解得，
，
所以，即，
令，則，
則函數(shù)有零點(diǎn)，
轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程在時(shí)有實(shí)數(shù)根，
即是在時(shí)有實(shí)數(shù)根，
令為開口向下的二次函數(shù)，
當(dāng)方程在有兩相等實(shí)數(shù)根時(shí)，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，
，即，解得或，
若時(shí)，的零點(diǎn)為，符合題意，
若，
此時(shí)的零點(diǎn)為，符合題意，
所以或.
當(dāng)方程有—負(fù)—非負(fù)實(shí)數(shù)根時(shí)，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，
則，解得或，
若時(shí)，，此時(shí)的零點(diǎn)為或，
與有—負(fù)—非負(fù)實(shí)數(shù)根矛盾，所以或.
當(dāng)方程有兩不等非負(fù)實(shí)數(shù)根時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，
所以，解得，
綜上所述：n的取值范圍為或，
所以當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn).
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1.根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，關(guān)鍵是利用函數(shù)奇偶性的定義，由或列方程來求參數(shù)；

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湖南省衡陽市2023_2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期1月期末聯(lián)考試題含解析：

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湖南省衡陽市2023_2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期11月期中聯(lián)考試題pdf：

這是一份湖南省衡陽市2023_2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期11月期中聯(lián)考試題pdf，共10頁。

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